2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷含解析)

2015年一般高等学校招生全国一致考试数学文试题（山东卷，含分析）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合要求的1.已知会集A={x|2<x<4}，B={x|（x-1）（x-3）<0}，则AB=( )（A）（1,3）（B）（1,4）（C）（2,3）（D）（2,4）【答案】C【分析】试题分析：由于B｛x|1<x<3｝,所以AB(2,3)，应选C.考点：1.会集的基本运算；2.简单不等式的解法.2.若复数Z满足z=i，此中i为虚数单位，则Z=( )1i（A）1-i（B）1+i（C）-1-i（D）-1+i【答案】C考点：1.复数的运算；2.共轭复数.3.设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是()（A）a＜b＜c（B）a＜c＜b（C）b＜a＜c（D）b＜c＜a【答案】C【分析】试题分析：由y0.6x在区间(0,)是单调减函数可知，00.61.50.60.61，又1.50.61，应选C.考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.4.要获得函数y=sin（4x-）的图象，只要要将函数y=sin4x的图象（）3（A）．向左平移个单位（B）向右平移个单位1212（C）.向左平移

个单位

（D）向右平移

个单位3

3【答案】

B考点：三角函数图象的变换.5.设mR,命题“若m>0,则方程x2xm0有实根”的逆否命题是( )A.若方程x2xm0有实根，则>0B.若方程x2xm0有实根，则0.若方程x2xm0没有实根，则>0.若方程x2xm0没有实根，则0【答案】D【分析】试题分析：一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，而且加以互换，应选D.考点：命题的四种形式.6.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机采用该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成以下列图的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月

14时的均匀气温低于乙地该月

14时的均匀气温；②甲地该月

14时的均匀气温高于乙地该月

14时的均匀气温；③甲地该月14时的均匀气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的均匀气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.此中依据茎叶图能获得的统计结论的标号为( )（A）①③(B)①④(C)②③(D)②④【答案】B考点：1.茎叶图；2.均匀数、方差、标准差.7.在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1log（1x1）1”发生的概率为22（A）3（B）2（C）1（D）14334【答案】A【分析】试题分析：由-1log（1x1）1得，log12log（1x1）log11,1x1222222222303几何概型概率的计算公式得，P2，应选A.204考点：1.几何概型；2.对数函数的性质.8.若函数f(x)2x1是奇函数，则使f（x）>3成立的x的取值范围为()2xa（A）()(B)()（C）（0,1）（D）（1，+）【答案】C【分析】

( )32,0x，所以，由2试题分析：由题意f(x)f(x)，即2x12x1,所以，(1a)(2x1)0,a1，f(x)2x1,2xa2xa2x1由f(x)2x13得，12x2,0x1,应选C.2x1考点：1.函数的奇偶性；2.指数运算.9.已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（）（）（）22（）42【答案】B考点：1.旋转体的几何特色；2.几何体的体积.10.设函数f(x)3xb,x15))4，则b=()2x,x1，若f(f(6（A）1（B）7（C）3(D)1842【答案】D【分析】515b1f(5)55b,由f(f(5))b试题分析：由题意，3b4得，2或2，解得662655b3(b)b422421，应选D.2考点：1.分段函数；2.函数与方程.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分11.执行右侧的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是.【答案】13考点：算法与程序框图.yx112.若x,y满足拘束条件xy3,则zx3y的最大值为.y1【答案】7【分析】试题分析：画出可行域及直线x3y0，平移直线x3y0，当其经过点A(1,2)时，直线的纵截距最大，所以zx3y最大为z1327.考点：简单线性规划.13.过点P（1，）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则=.【答案】

32考点：1.直线与圆的地点关系；2.平面向量的数目积.14.定义运算“”：xyx2y2R,xy0）.当x0，y0时，xy(2y)x的最（x，yxy小值是.【答案】2【分析】试题分析：由新定义运算知，(2y)x(2y)2x24y2x20，y0，(2y)x，由于，x2xy所以，xy(2y)xx2y24y2x2x22y222xy2，当且仅当x2y时，xy2xy2xy2xyxy(2y)x的最小值是2.考点：1.新定义运算；2.基本不等式.15.过双曲线x2y2C：1a0,b0交C于点P.若点P的a2a2横坐标为2a,则C的离心率为.【答案】23考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.三、解答题：本大题共6小题，共75分（本小题满分12分）某中学检查了某班所有45名同学参加书法社团和演讲社团的状况，数据以下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（1）从该班随机选1名同学，求该同学最少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A，A，A，A，A,3名12345女同学B，B，B.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A被选中且B未被选中的12311概率.【答案】(1)1；(2)2.315【分析】试题分析：（1）由检查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故最少参加上述一个社团的共有453015人，所以从该班级随机选1名同学，利用公式计算即得.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其全部可能的结果构成的基本领件有：{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3}，共15个.依据题意，这些基本领件的出现是等可能的.事件“A1被选中且B1未被选中”所包括的基本领件有：{A1,B2},{A1,B3}，共2个.应用公式计算即得.试题分析：（1）由检查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故最少参加上述一个社团的共有453015人，所以从该班级随机选1名同学，该同学最少参加上述一个社团的概率为151.453(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其全部可能的结果构成的基本领件有：{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3}，共15个.依据题意，这些基本领件的出现是等可能的.事件“A1被选中且B1未被选中”所包括的基本领件有：{A1,B2},{A1,B3}，共2个.所以A1被选中且B12未被选中的概率为P.15考点：1.古典概型；2.随机事件的概率.17.(本小题满分12分)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知cosB3,sin(AB)6,ac2339求sinA和c的值.22【答案】,1.由正弦定理可得a23c，联合ac23即得.试题分析：在ABC中，由cosB36，得sinB.33由于ABC，所以sinCsin(A6，B)9由于sinCsinB，所以CB，C为锐角，cosC539，所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC65336223939.3accsinA22c由,可得a323c，又ac23，所以c1.sinAsinCsinC69考点：1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.18.如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点.I）求证：BD//平面FGH；II）若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.【答案】证明见分析思路二：在三棱台

DEF

ABC中，由

BC

2EF,H

为BC的中点，可得

HBEF

为平行四边形，

BE//HF.在ABC中，G，H分别为AC，BC的中点，获得GH//AB,又GHHFH，获得平面FGH//平面ABED.(II)证明：连接HE.依据G，H分别为AC，BC的中点，获得GH//AB,由ABBC,得GHBC，又H为BC的中点，获得四边形EFCH是平行四边形，从而CF//HE.又CFBC，获得HEBC.试题分析：（I）证法一：连接DG,CD.设CDGFM,连接MH，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G分别为AC的中点，可得DF//GC,DFGC，所以四边形DFCG是平行四边形，则M为CD的中点，又H是BC的中点，所以HM//BD,又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD//平面FGH.证法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF,H为BC的中点，可得BH//EF,BHEF,所以HBEF为平行四边形，可得BE//HF.在ABC中，G，H分别为AC，BC的中点，所以GH//AB,又GHHFH，所以平面FGH//平面ABED，由于BD平面ABED，所以BD//平面FGH.(II)证明：连接HE.由于G，H分别为AC，BC的中点，所以GH//AB,由ABBC,得GHBC，又H为BC的中点，所以EF//HC,EFHC,所以四边形EFCH是平行四边形，所以CF//HE.又CFBC，所以HEBC.又HE,GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH，又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.考点：1.平行关系；2.垂直关系.19.（本小题满分12分）1n.已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为anan12n1（I）求数列an的通项公式；（II）设bnan12an，求数列bn的前n项和Tn.【答案】（I）an2n1.(II)Tn4(3n1)4n19.【分析】试题分析：（I）设数列an的公差为d，令n得11，获得a1a23.1,3a1a2令n2,得112，获得a2a315.a1a2a2a35解得a11,d2即得解.（II）由（I）知bn2n22n4n4n,获得Tn141242......n4n,从而4Tn142243......(n1)4nn4n1,利用“错位相减法”乞降.试题分析：（I）设数列an的公差为d，令n1,得11，所以a1a23.a1a23令n2,得112，所以a2a315.a1a2a2a35解得a11,d2，所以an2n1.（II）由（I）知bn2n22n4n4n,所以Tn141242......n4n,所以4Tn142243......(n1)4nn4n1,两式相减，得3Tn4142......4nn4n14(14n)n113n4n1414n43,3所以Tn3n14n144(3n1)4n1999.考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的乞降、“错位相减法”.(本小题满分13分)设函数.已知曲线在点(1,f(1))处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）能否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k,k1)内存在独一的根？假如存在，求出k；假如不存在，请说明原由；（Ⅲ）设函数m(x)min{f(x),g(x)}（min{p，q}表示，p，q中的较小值），求m(x)的最大值.【答案】（I）a1；(II)k1；(III)4.e2【分析】试题分析：（I）由题意知，f'(1)2，依据f'(x)lnxa1,即可求得.x（II）k1时，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在独一的根.设h(x)f(x)g(x)(x1)lnxx2,ex经过研究x(0,1]时，h(x)0.又h(2)3ln24ln84110,e2e2得知存在x0(1,2)，使h(x0)0.应用导数研究函数h(x)的单调性，当x(1,)时，h(x)单调递加.作出结论：k1时，方程f(x)g(x)在(k,k1)内存在独一的根.（III）由（II）知，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在独一的根x0，且x(0,x0)时，f(x)g(x)，(x1)lnx,x(0,x0]x(x0,)时，f(x)g(x)，获得m(x)x2.,x(x0,)xe当x(0,x0)时，研究获得m(x)m(x0).当x(x0,)时，应用导数研究获得m(x)m(2)42,且m(x0)m(2).e综上可得函数m(x)的最大值为4.e2试题分析：（I）由题意知，曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为2，所以f'(1)2，又f'(x)lnxa1,所以a1.x（II）k1时，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在独一的根.设h(x)f(x)g(x)(x1)lnxx2,xe当x(0,1]时，h(x)0.又h(2)3ln24ln84110,e2e2所以存在x0(1,2)，使h(x0)0.由于h'(x)lnx11x(x2),所以当x(1,2)时，h'(x)110，当x(2,)时，h'(x)0，xexe所以当x(1,)时，h(x)单调递加.所以k1时，方程f(x)g(x)在(k,k1)内存在独一的根.（III）由（II）知，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在独一的根x0，且x(0,x0)时，f(x)g(x)，(x1)lnx,x(0,x0]x(x0,)时，f(x)g(x)，所以m(x)x2(x0,).x,xe当x(0,x0)时，若x(0,1],m(x)0;若x(1,x0),由m'(x)lnx110,可知0m(x)m(x0);故m(x)m(x0).x当x(x0,)时，由m'(x)x(2x)(x0,2)时，m'(x)0,m(x)单调递加；x(2,)时，ex,可得xm'(x)0,m(x)单调递减；可知m(x)m(2)4,且m(x0)m(2).2e综上可得函数m(x)的最大值为42.e考点：1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值.21.(本小题满分14分)C：x2y23，且点（3，1平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2+2=1(>b>0)的离心率为）在椭b22圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：x2+y2=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，4a24b2B两点，射线PO交椭圆E于点Q.|OQ|（i）求的值；求ABQ面积的最大值.【答案】（I）x2y21；（II）（i）|OQ|2；（ii）63.4|OP|【分析】试题分析：（I）由题意知311,a2b23a24,b21.，解得a24b2a2（II）由（I）知椭圆E的方程为x2y21.164（i）设P(x0,y0),|OQ|,由题意知Q(x0,y0).|OP|依据x02y021.及(x0)2(y0)21，知2.4164（ii）设A(x1,y1),B(x2,y2),将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0,可得m2416k2①应用韦达定理计算|x1x2|416k24m2.及OAB的面积14k2S1|m||x1x2|2|m|16k24m22(16k24m2)m22(4m2)m2.14k214k24k2214k21设m2t.将直线ykxm代入椭