A201516035032-王佳佳-常婉莹-陈星宇

)将已知公式代人式（2.2）化简得将上述两个函数表达式联立得认为与参数大致相同。可得，当地纬度为φ=79.02°或39.45°。（3）确定当地经度已求得当地与北京时间间隔1.3485个小时，经度间相隔已知北京经度为116.3914°，则该地区经度即东经。（4）确定可能的观测点已知此时为2015年4月18日，太阳直射点位于赤道和北回归线之间，故此时可能的观测点有四个，即5.3确定直杆所处的地点和日期5.3.1模型建立与求解已知北京时间与当地影长的变化。由附件一知北京时间时，对应的某地的影子顶点坐标，将数据进行拟合，找出当地正午影子最短时对应的北京时间，确定其经度同时与北京时间的时差也能确定，所以知道了当地时间与影长变化的规律后，代入以上模型，可确定太阳高度角与影长之间的函数关系。具体步骤如下：（1）确定观测地经度已知附件二中某地影长顶点坐标，通过坐标可确定影长，用Matlab软件对时间与影长的变化规律进行拟合，得到拟合函数为拟合图像如下所示：图SEQ图\*ARABIC8拟合函数图像由以上拟合函数图象知，影长随时间变化确有一最小值，计算可得，此时x=51.46,此时当地时间为12:00,北京时间为即15:23。则当地时间与北京时间相隔3.383个小时。以北京地理位置作为参考点，当地与北京经度相隔已知北京经度为116.3914。则该地区经度为即东经。（2）确定一天之中太阳高度角h随影长变化函数问题三要求根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标，建立数学模型确定直杆所处地点与日期。由于在本问题中不知道当地的日期，即太阳直射点的坐标未知，只能根据影长的变化来建立模型求出可能的地点位置。我们根据具体的定理、公理及公式通过对日地系统的运转规律的分析来建立模型求解。对于一个某个固定的地点，在固定的时间内，先考虑地球公转的变化与影长的关系，再考虑自转与影长的关系，通过求解方程组来求解模型，进而得到当地在空间中的坐标。求解过程如下：根据坐标的正交变换可知：①考虑同一地点在当地正午的情况图SEQ图\*ARABIC9一天中太阳的变化轨道②考虑太阳直射赤道时的情况由图9可知，太阳直射赤道时H为当地的太阳高度角根据勾股定理有式中由于现在考虑的是太阳直射在赤道上，于是其中为物体的高度，为影子的长度。所以任意一点的纬度坐标即是该点的太阳高度角。③考虑日期引起的太阳高度角变化的情况图SEQ图\*ARABIC10太阳直射点随日期的变化关系当太阳直射南半球时，太阳轨道平面将沿图10中地轴向南平移，所以可知北半球任意一点太阳高度为在南半球上的任意一点其中为地球轴线与太阳轨道平面的夹角。（3）求解地区纬度当太阳直射赤道时，各地正午太阳高度角是不同的，影长也是不同的。找出影长随太阳高度角的变化规律。由上述条件可求得在地球直射赤道时，各地正午时而在任意一个日期时，当太阳直射点在南回归线与赤道之间时，对于北半球各地区，有当太阳直射点在赤道与北回归线之间时，对于北半球各地区，有其中查阅资料可知，太阳直射点纬度随时间的变化函数为:综上，可得（4）确定纬度由公式可知，所以假定A、B两点分别为这不同纬度所在的位置。图SEQ图\*ARABIC11太阳高度角和纬度差的关系1当时，由图11可知而lx可通过计算两点间直线距离得出，进而可求出lh。图中R为地球半径，由勾股定理可知地球中心点O的经纬是已知的，通过公式可得出A的纬度φ，则δ也可同时求出。图SEQ图\*ARABIC12太阳高度角和纬度差的关系2当时，AB两点间的纬度差已知，得出lx，然后得出lh，仍根据勾股定理则可得出lOA，通过公式（4.1）得A点的纬度φ，则δ也可同时求出。（4）确定太阳与地心间角度θ由图10可知（5）确定太阳直射点与当地间距离已知则（6）确定太阳赤纬度设太阳赤纬点到同一经度上赤道的距离为l`x其中R为太阳到地心距离，为太阳到赤纬点的距离。太阳赤纬δ与各距离间的关系为则(7)确定观测日期太阳赤纬δ可由问题1中模型一式（1.1）求得，故观测地点日期的确定可由以上太阳直射点纬度逆推得出。过程如下：N为积日，与日期直接相关，故设积日为（8）确定观测地纬度即正午时，太阳高度角即为所求的观测地纬度。5.4确定视频拍摄地点5.4.1模型建立与求解（1）确定每时刻直杆长度与影长的变化附件四为某地2015年7月13日8:54-9:34这一时段内直杆影长随太阳高度角的变化而改变的一个视频，使用截图工具对视频进行截图，可得若干时刻太阳影子的长度。现每隔4分钟截取一帧图片，再用读图软件对其进行测量，得到图片中截取时刻与对应影子长度。如下表3：表SEQ表\*ARABIC3截取时刻与对应影子长度时刻8:548:589:029:069:10影长（/m)1.19741.16921.14621.11801.0846时刻9:149:189:229:269:309:34影长（/m)1.05641.03851.00770.97690.95640.9307（2）确定拟合函数影长随时间变化遵从一定的函数关系，在Matlab中将其各时刻点与此时直杆影长进行拟合，得到函数关系：拟合图像如下图SEQ图\*ARABIC13影长随时间的变化关系（3）确定当地经度在该拟合函数下，求得影长对应每时刻的变化图像如下：图SEQ图\*ARABIC14拟合函数图像由图可知，影长最短时，x=97.68，此时所对应的北京时刻已知当地与北京时间相隔3.345小时，经度相差北京经度为116.3914，所以该地区经度为即东经。（4）确定太阳赤纬已知此时为2015年7月13日，则由式（1.2）并通过计算知。积日，便可得日角将上式求出的结果带入式（1.1）得太阳直射点纬度。（5）确定当地纬度正午时刻时，得。已知此时为北半球时间7月13日，太阳直射点在赤道与北回归线之间，即直射点纬度为20.26°N，联立上述关系式及数据，有便得出当地纬度或。（6）确定该地地理位置假设附件4中的时间为北半球时间，已知在7月13日时，太阳直射点在赤道与北回归线之间，即直射点纬度为20.26°N，所以该地可能的地点有四个5.5拍摄时间未知情况下的分析由于在本问题中不知道当地的日期，即太阳直射点的坐标未知，只能根据影长的变化来建立模型求出可能的地点位置。我们根据具体的定理、公理及公式通过对日地系统的运转规律的分析来建立模型求解。现在我们用两种模型进行求解。5.5.1模型一建立如问题一所述，对于一个固定的地点，固定的时间，先考虑公转与影长的关系，然后再考虑地球的自转的变化与影长的关系，通过求解方程组来求解模型，进而得到当地在空间中的坐标。求解过程如下：我们将视频中所给的影长正交分解，分解成与经纬度重合的分量，即根据坐标的正交变换可知：（1）考虑同一地点在当地正午的情况图SEQ图\*ARABIC15（2）考虑太阳直射赤道时的情况由图13可知，太阳直射赤道时H为当地的太阳高度角根据勾股定理有式中由于现在考虑的是太阳直射在赤道上，于是其中为物体的高度，为影子的长度。所以任意一点的纬度坐标即是该点的太阳高度角。（3）考虑日期引起的太阳高度角变化的情况图SEQ图\*ARABIC16当太阳直射南半球时，太阳轨道平面将沿图14中地轴向南平移，所以可知北半球任意一点太阳高度为在南半球上的任意一点当太阳直射北半球时，太阳轨道平面将沿着图14中地轴向北平移，所以可知南半球任意一点太阳高度为在北半球上的任意一点其中为地球轴线与太阳轨道平面的夹角。以此可求出太阳高度角，根据太阳高度角与太阳直射点纬度和物体的纬度之间的变化关系可以得到几组对应纬度和日期的组合，即可求出纬度。（4）考虑地球自转引起的影长变化的情况当地球自转角度时有由勾股定理得由余弦定理得其中角为当地点偏离正午的角度。以此可求出当地点的时间点，与当地正午的时间差即为当地与北京的经度的差值。根据以上的数据可以得出当地的坐标信息。5.5.2模型二建立我们可以通过求解三维空间内由于日地系统的运转关系建立三维坐标，通过研究任意两点之间的位置关系来求解任意点在三维空间的坐标。我们设：A点的坐标为；B的坐标为（0，0，0）；C点的坐标为。图SEQ图\*ARABIC17如图17，通过建立太阳高度角与时间的关系，进行外推得到当地12点时当地的太阳高度，根据余玄定理式中为AB和BC之间的夹角。可得到太阳高度角随时间的变化率。又有物体的影长随时间的变化率，联立这两个方程组也可以得到几组地点与日期的组合。六、模型的评价与推广模型的优点：

对问题一，我们从不同的角度观察、分析问题，建立了不同的数学模型，经过对比两模型结果的比较，发现两模型在偏离当地正午时刻小角度范围内是有很强的耦合性，因此，当偏离当地正午角度不是很