轴对称与中心对称

PAGE13-轴对称与中心对称◆课前热身1.下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）2.如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P’BA，则∠PBP’的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°3.如图，镜子中号码的实际号码是___________．4.请写出一个是轴对称图形的图形名称．答：．【参考答案】DB3265圆、矩形等◆考点聚焦1．理解轴对称和轴对称图形的联系与区别，会判断一个图形是否是轴对称图形或中心对称图形．2．掌握轴对称的基本特征，并能用这些特征解决简单的问题（如折叠）．3．能用轴对称和中心对称的性质设计图案．◆备考兵法1．本节试题多以日常生活中的工艺品、商标图案、宣传画、字母、数字为材料，判断是否是轴对称图形或中心对称图形，所以应熟练掌握基本图形的轴对称性，结合实际图形进行辨认．2．在解轴对称和折叠类问题时，应知道折叠问题要用轴对称解决，折痕就是两个重叠部分的对称轴，往往需要设未知数，利用勾股定理建立方程（组）解决．3．平面上的最短距离问题，往往要作出对称点，利用“两点之间线段最短”解决．◆考点链接1.如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能，那么这个图形就是，这条直线就是它的.2.如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形，那么这两个图形成，这条直线就是，折叠后重合的对应点就是.3.如果两个图形关于对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的.4.把一个图形绕着某一个点旋转°，如果旋转后的图形能够与原来的图形，那么这个图形叫做图形，这个点就是它的．5.把一个图形绕着某一个点旋转°，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点，这个点叫做．这两个图形中的对应点叫做关于中心的．6.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被对称中心所．关于中心对称的两个图形是图形.7.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号，即点关于原点的对称点为.◆典例精析例1（内蒙古包头）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，轴对称图形是指将图形沿某条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形，而中心对称图形是指将图形沿某个点旋转180°后得到的图形与原图形完全重合的图形.故同时符合上面两个条件的是第1、3和4个图形，正确答案选B.例2如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD，EF均与x轴垂直，以O为顶点，仅开口方向相反的两条抛物线分别经过点两半圆的C，E和D，F，则图中阴影部分的面积是_______．【答案】【解析】由题可知，半圆A与半圆B关于y轴对称，两条抛物线关于x轴对称，∴S1=S3，S2=S4，∴图中阴影部分的面积实际为半圆A的面积．例3如图，已知折叠矩形的一边AD，使得点D落在BC边上的点F处，且AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．【答案】解：由折叠性质知，AF=AD=10cm，EF=DE．设EC=xcm，则DE=（8-x）cm．在Rt△ABF中，BF==6，∴FC=BC-BF=10-6=4cm．在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，∴（8-x）2=x2+42，∴x=3．即EC的长为3cm．【点拨】①折叠问题中注意它的对称性即对应边（角）的相等性；②求这类问题中的未知线段长，常设所求线段长为x，把其他线段用含x的代数式表示，选择一个直角三角形．根据勾股定理列方程，用方程的思想求解．拓展变式1如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿AC对折，点D落在D′处，求：（1）线段CF的长；（2）△AFC的面积．答案（1）CF=5（2）S△AFC=10拓展变式2如图，ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，把矩形沿直线AC重叠，点B落在E处，连结DE．四边形ACED是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长是多少？答案四边形ACED是等腰梯形．（理由略）面积为cm2．周长为cm．◆迎考精练一、选择题1.（四川内江）下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（）2.（辽宁锦州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()ABCD3.（湖北荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则（）A．40°B．30°C．20°D．10°4.（广东深圳）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()ABCD5.（山东烟台）视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A．平移 B．旋转 C．对称 D．位似6.（浙江嘉兴）判断下列两个结论：①正三角形是轴对称图形；②正三角形是中心对称图形，结果（▲）A．①②都正确 B．①②都错误C．①正确，②错误 D．①错误，②正确7.（黑龙江哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．8.（广东省）如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虑线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（）二、填空题1.（湖北孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=时，AC+BC的值最小．2.（北京市）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ;若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（,且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）3.（湖南娄底）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是.4.(陕西省)如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．三、解答题1.（湖南娄底）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.（1）画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是.（2）画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2C2，并求出点C旋转到点C2经过的路径的长度.2.（吉林长春）图①、图②均为的正方形网格，点在格点上．（1）在图①中确定格点，并画出以为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）（3分）（2）在图②中确定格点，并画出以为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）（3分）AABC图①ABC图②3.（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．（1）求、，并比较它们的大小；（2）请你说明的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．4.（广西南宁）已知在平面直角坐标系中的位置如图10所示．（1）分别写出图中点的坐标；（2）画出绕点按顺时针方向旋转；（3）求点旋转到点所经过的路线长（结果保留）．5.（湖南益阳）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.【参考答案】选择题DBD解析：本题考查轴对称的有关知识，由折叠可知，∠ACD=∠A′CD=45°，∠A=∠CA′D=50°，∴∠ADC=∠A′DC=85°，∴∠A′DB=10°，故选D．DDCD【解析】A、B均是轴对称图形但不是中心对称图形，C是中心对称图形但不是轴对称图形.只有D即是轴对称图形又是中心对称图形C填空题(或–0.4)，（，且n为整数）2π4解答题1.解：（1）如图：B1的坐标是（-6，2）（2）如图：L==2.解：（1）有以下答案供参考：（2）有以下答案供参考：3.解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,∴AC=30在Rt△ABC中，AB=50AC=30∴BC=40∴BP=S1=⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，又BC=40∴BA'=由轴对称知：PA=PA'∴S2=BA'=∴﹥(2)如图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B∴S2=BA'为最小（3）过A作关于X轴的对称点A',过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B',交X轴于点P,交Y轴于点Q,则P,Q即为所求过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,A'B'=∴所求四边形的周长为4.解：（1）、；（2）图略．（3）5.(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF