线面,面面平行复习

线面平行判定知识梳理：1．直线与平面平行的定义：直线与平面______公共点．2．直线与平面平行的判定定理：______________一条直线与________________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为____________________________．面面平行的判定：1．平面α与平面β平行是指两平面________公共点．若α∥β，直线a⊂α，则a与β的位置关系为________．2．下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(M，n为直线，α，β为平面)，则此条件应为________．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,))⇒α∥β小小热身：1.下列条件中,能得出直线a与平面α平行的条件是().AA.a⊄α,b⊂α,a∥b B.b⊂α,a∥bC.b⊂α,c∥a,a∥b,c∥α D.b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC=BD2.下列说法正确的是().DA.若平面α内的无数条直线分别与平面β平行,则α∥βB.两个平面分别经过两条平行线,则这两个平面平行C.过已知平面外一条直线,必能作出与该平面平行的平面D.平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与此平面平行3.已知直线l1,l2,平面α,且l1∥l2,l1∥α,则l2与α的位置关系是.

DA:l2∥α或l2⊂α4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1C1,B1C1的中点.求证:EF∥平面ABC1.4.解:因为E,F分别是A1C1,B1C1的中点,所以EF∥A1B1,又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以EF∥AB,又EF⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1,所以EF∥平面ABC1.方法与探究：直线与平面平行的判定正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是面对角线A1B、B1C的中点.求证:EF∥平面ABCD.【解析】分别取AB、BC的中点G、H,连接EG,FH,GH.则由三角形中位线性质知:EG∥FH,且EG=FH,∴四边形EGHF是平行四边形,∴EF∥GH.∵EF⊄平面ABCD,而GH⊂平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.变式练习：1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1(1)与直线AB平行的平面是________；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______3．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1求证：EF∥平面BDD1B1．证明：取D1B1的中点O，连接OF，OB．∵OF綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，∴OF綊BE．∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO．∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．4．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．11．证明连接AF延长交BC于G，连接PG．在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA．∴eq\f(GF,FA)＝eq\f(BF,FD)＝eq\f(PE,EA)，∴EF∥PG．而EF⊄平面PBC，PG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC．（二）平面与平面平行的判定例：如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,点E、D分别是B1C1、BC的中点.求证:平面A1EB∥平面C1AD.【解析】连接DE.由DE∥BB1,又BB1∥AA1,∴DE∥AA1.由DE=BB1,又BB1=AA1,∴DE=AA1,∴四边形A1EDA是平行四边形,A1E∥AD.∵A1E⊄平面C1AD,AD⊂平面C1AD,∴A1E∥平面C1AD.易证得EB∥C1D,EB⊄平面C1AD,C1D⊂平面C1AD,∴EB∥平面C1AD.又A1E∩EB=E,平面A1EB经过A1E和EB,∴平面A1EB∥平面C1AD.变式练习：1．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是(A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1C．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH12．两个平面平行的条件是()CA．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线3．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β．其中正确的有________．(填序号)③4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1．5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1证明如图所示，连接SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．6．三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C求证：平面A1BD1∥平面AC1D．证明连接A1C交AC1于点E∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED∵A1B∥平面AC1D，ED⊂平面AC1D，∴A1B与ED没有交点，又∵ED⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴ED∥A1B．∵E是A1C的中点，∴D是BC又∵D1是B1C1∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D．又A1D1∩BD1＝D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D．7.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．一、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则_____________________________________．(1)符号语言描述：________________．(2)性质定理的作用：可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作________的方法．过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊂β,β∩α＝b))⇒a∥b(2)直线和直线平行线二、1．平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________________．(1)符号表示为：________________⇒a∥b．(2)性质定理的作用：利用性质定理可证________________，也可用来作空间中的平行线．2．面面平行的其他性质(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于____________________，即eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊂α))⇒________，可用来证明线面平行；(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；(3)平行于同一平面的两个平面________．小小热身：1.已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于a的直线().A.只有一条,不在平面α内 B.有无数条,不一定在α内C.只有一条,且在平面α内 D.有无数条,一定在α内2.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中().A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线3.已知平面α∥平面β,它们之间的距离为d,直线a⊂α,则在β内与直线a相距为2d的直线有条.

例题解析：（一）线面平行的性质和判定的综合应用底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点.求证:AB1∥平面C1BD.【解析】如图,延长CB到E,使EB=BC,连接AE,EB1.因为D是AC的中点,B是EC的中点,所以AE∥DB.又因为B1C1∥BC且B1C1=BC,所以B1C1∥EB且B1C1=EB.所以四边形EBC1B1是平行四边形,即EB1∥BC1.因为AE,EB1⊂平面AEB1,DB,BC1⊂平面C1BD,所以平面AEB1∥平面C1BD.又AB1⊂平面AEB1,所以AB1∥平面C1BD.变式练习：1.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E为B1D1上任意一点.求证:AE∥平面BC1D.应用一:∵ABDCD1C1,∴四边形ABC1D1是平行四边形,∴AD1∥BC1,∵AD1⊄平面BC1D,BC1⊂平面BC1D,∴AD1∥平面BC1D.同理,B1D1∥平面BC1D.∵AD1∩B1D1=D1,∴平面BC1D∥平面AB1D1.又∵AE⊂平面AB1D1,∴AE∥平面BC1D.2．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．证明如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP∥GH．3．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH．又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD．∴EF∥平面BCD．而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．（二）面面平行的性质定理的应用例：如图,已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点.求证:MN∥平面α.1．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N求证：N为AC的中点．证明∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C1N∥AM，又AC∥A1C∴四边形ANC1M为平行四边形，∴AN綊C1M＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)AC，∴N为AC的中点．2．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．解：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE，①由EM＝eq\f(1,2)PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE，②由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF⊂平面BFM，∴BF∥平面AEC．13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1解能．取AB，C1D1的中点