无穷小与无穷大和极限的关系_第1页
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文档简介

关于无穷小与无穷大和极限的关系第一页，共十七页，2022年，8月28日一、无穷小与无穷大的概念极限为零的变量称为无穷小.1.无穷小第二页，共十七页，2022年，8月28日例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.第三页，共十七页，2022年，8月28日2.无穷大定义2

如果对于任意给定的正数M(不论它多么小),总存在正数

d(或正数X),使得对于适合不等式d<-<00xx(或>xX)的一切x,所对应的函数值)(xf都满足不等式

Mxf>)(,

则称函数)(xf当0xx(或x)时为无穷小,记作

).)(()(==xfxf或

绝对值无限增大的变量称为无穷大.第四页，共十七页，2022年，8月28日特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.第五页，共十七页，2022年，8月28日),3,2,1,0(221kL=+=kkxpp取(1),22)(kpp+=kxy.)(,kMxy>充分大时当k),3,2,1,0(21kL==kkxp取(2)不是无穷大．无界，第六页，共十七页，2022年，8月28日证第七页，共十七页，2022年，8月28日1.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性二、无穷小与无穷大和极限的关系是时无穷小.第八页，共十七页，2022年，8月28日2.无穷小与无穷大的关系即：无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大.第九页，共十七页，2022年，8月28日证(2)注

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.第十页，共十七页，2022年，8月28日.0)(,0)(

)1(=xfxf且设

第十一页，共十七页，2022年，8月28日意义1.将一般的极限问题转化为特殊的极限问题(无穷小）；

2.给出了函数在附近的近似表达式

第十二页，共十七页，2022年，8月28日三、无穷小的运算性质

定理3同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证：第十三页，共十七页，2022年，8月28日注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小.例如，第十四页，共十七页，2022年，8月28日定理4有界函数与无穷小量的积仍是无穷小.证

恒有又设是当时的无穷小，使得当取则当

时恒有时第十五页，共十七页，2022年，8月28日推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小

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