第八章 动能定理

第八章动能定理引言基本要求应用动力学基本方程是解决运动变化与力之1、加深对功和动能概念的理间的关系的基本方法，但在许多实际问题中，特种功和动能的求法，别是研究运动过程较复杂的质点系问题时，要列2、加深对动能定理的理解，出每一个质点的运动方程十分困难。动能定理建理的应用。立了物体动能变化与受力所作的功之间的关系，3、了解功率和效率的概念应用动能定理解决动力学问题，淡化了具体的运动过程，使计算得到简化。在物理中，质点的动能定理已作为重点内容进行了研究。在理论力学中，动能定理的基本意义与物理所讲的完全相同。为了避免重复，在本章，重点对动能定理的应用范围进行拓宽。第一节力的功一、功的概念物体受力的作用后，其运动状态将发生改变，这种改变不仅与力的大小和方向有关，还与物体在力的作用下所走过的路程有关。功就是描述力在一段路程中对物体的积累效应，我们将（不变的）力F在物体运动方向上的投影Fcos与物体所走过的路程S的乘积，称为力F在路程S中对物体所作的功。即：W二FSCOSa在上式中，a表示力F与运动方向的夹角，a<90。时，力作正功；反之力做负功。可见，功是一个只有大小、正负而没有方向的量，是一个代数量。功的单位由力和路程的单位来确定，在国际单位制中，功的单位是焦耳（J）,即：焦耳=牛顿x米（1J=1N-m若在变力F作用下物体沿曲线运动，则可将路程S分成为无限多个小微段ds，并将ds视为直线，将该微段内的力F视为常力。力在此微段上所作的功称为元功，用dW表示。即dW=Fcosa-dS若求变力F在一段路程s上所作的功，可对元功积分。即：W=fsdW=fsFcosadS00二、几种常见力的功1、 重力的功重力的功等于物体的重力与物体重心始末位置的高度差的乘积，即W=土Gh可见，重力的功只与物体的始末位置有关，而与物体运动的具体路径无关。在应用上式时，物体由高向低运动，重力作正功；反之，重力作负功。2、 弹力的功弹力的功等于弹簧初位置与末位置变形量的平方差与刚性系数乘积的一半，即1W=—C（82-§2）212可见，弹力的功只与弹簧的始末位置有关，而与物体的具体运动轨迹无关。3、力矩的功刚体在力矩M的作用下转动时，力矩所作的元功为：dW=Md申当力矩为常量时，力矩对转动刚体所作的功等于力矩M与刚体转角9的乘积。W二M9

显然，当力矩与刚体转向相同时，力矩作正功，反之作负功。三、合力的功

可以证明，在任意一段路程上，合力对物体所作的功，等于所有分力在同一

段路程上所作的功的代数和。例8-1如图所示，高压开关主弹簧的刚性系数C=54kN/m，弹黄原长1°=18.2cm，在合闸位置0A时，弹簧长度11=28.4cm，在分闸位置OB时，弹簧长度12=19毗口，试求闸刀由合闸位置到分闸位置的过程中，弹力做作的功。解：闸刀在0A位置（初位置）时，弹簧的变形量为:5=l—l=28.4—18.2=10.2cm=0.102m110闸刀在OB位置（末位置）时，弹簧的变形量为：5=l—l=19.8—18.2=1.6cm=0.016m220弹簧在由OA到OB的过程中，弹力所作的功为：11W=一C(52—52)=X54X103X(0.1022—0.0162)=274J2122第二节物体的动能动能就是物体由于运动而具有的作功的能力。一切运动着的物体都具有动能。一、质点的动能由实际现象可知，物体的质量越大，运动速度越高，其作功的能力越强，即动能越大。因此，力学中把质点的质量m与其运动速度v平方的乘积的一半称为质点的动能，用T表示。即1T=—mv22动能是非负的标量，它与质点速度的方向无关，因此动能无方向性。动能的单位与功相同，也是焦耳。二、质点系的动能质点系的动能等于质点系内各质点的动能的代数和。即刚体是一个不变质点系，其平动和转动时的动能的求法如下：1、平动刚体的动能由于平动刚体内各质点的速度都相同，设其都等于质心的速度vC，于是平动刚体的动能为：2、转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方的乘积的一半。即1T=J&22z第三节动能定理功是力在一段时间、一个过程中对物体的积累效应；而动能是物体在某一瞬时、某一状态下所具有的作功的能力。可以证明，在任意过程中，物体的动能的改变量，等于作用于物体上的所有力在该过程中对物体所作的功的总和。即T-T二W2112此即动能定理的基本含义。该式说明功是能量转化的度量，描述了物体在机械运动过程中，功与动能变化之间的关系。动能定理是一个标量方程，只能解一个未知量。应用动能定理解题的二般步骤是：选取研究对象，并画出其受力图。分析研究对象的运动。确定力学过程(即初位置和末位置)，并分别计算物体在初位置和末位置的动能。计算所有力所作的功。应用动能定理列方程，求解未知量。在应用动能定理时，应注意内力和约束反力是否作功的问题：对于质点系而言，各个质点既受外力也受内力。若质点系内各质点之间的距离是可变的，我们称之为可变质点系；若质点系内各质点之间的距离是不变的，我们称之为不变质点系，不变质点系即是我们常说的刚体。经分析可知，可变质点系的内力作功之和不等于零，刚体(不变质点系)的内力作功之和等于零。例：如图所示，质量m=2kg的物体在竖直平面内由静止从A点沿半径R=1m的14圆弧轨道滑到B点，然后经过一段水平距离S=4.4m后停下。已知物体在B点时的速度vB=4m/s，各处的摩擦因数相同。求(1)物体从A点到B点和从B点到C点的过程中，摩擦阻力作的功各是多少？(2)BC段的摩擦因数是多少？解：以物体为研究对象，在整个过程中，物体受的力有：重力G、支持力N和摩擦力F,其中，支持力不作功。对于AB段：

重力所作的功为：W=mgR=2x9.8x1=19.6J重力所作的功为：G物体在A点的动能：TA0物体在B物体在B点的动能：B11—mv2=—x2x42=16J2B2由动能定理得解得：对于由动能定理得解得：对于BC段：T-T=W+WBAGFW=-3.6JF16-0=19.6+WF重力所作的功：-mgfS=-(2x9.8x重力所作的功：-mgfS=-(2x9.8x4.4)f=-86.24f能：T=16JB物体在C点的动能：T=0C由动能定理得：T—T=W'+W'C B G F—86.24f=—16解得，摩擦因数：f=0.185摩擦力所作的功：物体在B点的动第四节功率和效率一、功率工程上，不仅要知道力作功的多少，而且还要知道作功的快慢，为此需引入功率的概念。所谓功率是指力在单位时间内所作的功，是衡量机器工作能力的一个重要的指标。功率越大，说明力在单位时间内所作的功越多。若某力在时间At内所作的功是AW，则此力的功率为：AWAt这就是力在时间At内的平均功率。若计算瞬时功率，则需要求平均功率在AtT0时的极限，即TOC\o"1-5"\h\zAW dWP=lim= AtT0At dt在国际单位制中，功率的单位是瓦特（W）,显烈1W=1J/s，常用的单位还有千瓦（kW）。将dW=Fcosa-dS代入上式得:\o"CurrentDocument"FcosadS dSdtP= =Fcosa=Fcosa-v=F-vdtdt u上式表明：力的功率等于力在运动方向上的投影与速度的乘积。对于力矩，将dW=Md9代入功率的定义式得:Md9 d9P= =M=M®dt dt由以上两式可以看出，在功率一定的条件下，力（或力矩）的大小与速度（或角速度）的大小成反比。例如，汽车上坡时，为了获得较大的牵引力（驱动力矩），就必须换档，降低速度。车削加工时，若吃刀深度大，则应选用较低的转速。在工程中，通常已知机械的功率P（kW）和转速n（r/min），则由上式可得:TOC\o"1-5"\h\zM① Mn兀 MnP= = =1000 1000X30 9550P即 M=9550—n此即功率、转速和转矩的关系式，在工程中经常用到，使用时应注意式中的单位。二、效率效率是衡量机器工作性能的又一重要指标。机器从发动机得到的功叫输入功用W入表示。输入功的一部分用于克服有用阻力’称为有用功’册有表示；另部分消耗在克服无用阻力，称为无用功，用W表示。有用功与输入功的比值称无为机械效率，简称效率。即将分子、分母同除以作功时间t得：WAtWAtP有P入显然，有用功总是小于输入功，因此，机械效率耳总是小于1,q越接近于1,说明有用功率在所有输入功率中所占的比例越大，机器的工作性能越好。本章小结一、功1、 功的概念：功描述力在一段路程中对物体的积累效应，是一个代数量其单位是焦耳。2、 常见力的功重力的功弹力的功W=土重力的功弹力的功1W=C(52-52)212力矩为常量时，力矩功：W二M申

3、合力的功：在任意一段路程上，合力对物体所作的功，等于所有分力在同一段路程上所作的功的代数和。二、动能1、动能的概念：动能就是物体由于运动而具有的作功的能力，是一个非负的标量，其单位也是焦耳。2、质点的动能：3、质点系的动能质点系的动能等于质点系内各质点的动能的代数和。