2018-2019数学新学案同步必修四人教A版全国通用版讲义：模块综合试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精模块综合试卷（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．sin300°等于(）A．－eq\f（\r(3),2）B．－eq\f(1，2)C.eq\f(1，2）D.eq\f（\r(3），2)考点诱导公式一题点诱导公式一答案A解析sin300°＝sin（－60°＋360°）＝sin(－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r（3)，2)，故选A.2．已知向量a＝（cos75°，sin75°),b＝（cos15°，sin15°），则|a－b｜的值为(）A。eq\f（1,2）B．1C．2D．3考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模答案B解析如图，将向量a，b的起点都移到原点,即a＝eq\o（OA,\s\up6(→）），b＝eq\o（OB，\s\up6(→）），则|a－b|＝｜eq\o(BA,\s\up6（→)）｜且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°,又因为｜a｜＝|b|＝1，则△AOB为正三角形,从而｜eq\o(BA,\s\up6(→))｜＝|a－b｜＝1。3．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3)））的图象的对称轴方程可以为()A．x＝eq\f（π，12）B．x＝eq\f（π,6）C．x＝eq\f(π,3）D．x＝eq\f（5π，12）考点正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点正弦函数、余弦函数的对称性答案A解析∵函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3)))的图象的对称轴方程为2x＋eq\f(π，3)＝kπ＋eq\f（π，2）(k∈Z)，∴x＝eq\f（k，2)π＋eq\f(π，12)（k∈Z）．当k＝0时,x＝eq\f（π，12），∴函数f（x）＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3)））的图象的对称轴方程可以为x＝eq\f（π,12)。4．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量eq\o(CD,\s\up6（→））等于（)A．－eq\o(BC,\s\up6(→）)＋eq\f（1，2）eq\o(BA，\s\up6(→))B．－eq\o(BC,\s\up6(→））－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)）C．eq\o(BC,\s\up6（→）)－eq\f(1，2）eq\o(BA，\s\up6（→））D．eq\o(BC,\s\up6(→））＋eq\f（1,2）eq\o（BA,\s\up6（→))考点向量加减法的综合运算及应用题点用已知向量表示未知向量答案A解析由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，eq\o(BD,\s\up6(→））＝eq\f(1，2)eq\o(BA，\s\up6（→))，∴eq\o（CD,\s\up6（→)）＝eq\o（CB,\s\up6(→))＋eq\o（BD，\s\up6(→)）＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1，2）eq\o(BA,\s\up6(→)).故选A.5．使函数f(x)＝sin（2x＋θ)＋eq\r（3）cos(2x＋θ）为奇函数的θ的一个值是(）A.eq\f(π，6）B。eq\f（π,3)C。eq\f(π,2）D.eq\f（2π,3)考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案D解析f（x）＝sin(2x＋θ）＋eq\r（3）cos（2x＋θ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，3)＋θ)）.当θ＝eq\f（2,3）π时，f（x）＝2sin（2x＋π）＝－2sin2x。6．已知|p|＝2eq\r(2），｜q｜＝3，p，q的夹角为eq\f(π，4）,如图，若eq\o（AB，\s\up6(→））＝5p＋2q，eq\o(AC，\s\up6（→))＝p－3q，D为BC的中点，则|eq\o(AD，\s\up6(→））｜为()A。eq\f(15，2)B。eq\f（\r（15)，2）C．7D．18考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案A解析∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f（1,2)（eq\o(AC，\s\up6（→))＋eq\o(AB,\s\up6（→）)）＝eq\f(1，2）（6p－q)，∴｜eq\o（AD,\s\up6（→))｜＝eq\r（\o(AD，\s\up6（→)）2）＝eq\f（1，2)eq\r(6p－q2)＝eq\f（1,2）eq\r（36p2－12p·q＋q2)＝eq\f(1,2）eq\r(36×2\r(2）2－12×2\r(2)×3×cos\f(π,4)＋32)＝eq\f(15,2）。7.如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1，小正方形的面积是eq\f(1,25），则sin2θ－cos2θ的值等于（）A．1B．－eq\f（24，25）C.eq\f(7，25）D．－eq\f（7,25）考点简单的三角恒等变换的综合应用题点三角恒等变换的实际应用答案D解析小正方形的边长为cosθ－sinθ，即（cosθ－sinθ)2＝eq\f(1，25），得cosθ＝eq\f（4，5),sinθ＝eq\f(3，5)，故sin2θ－cos2θ＝－eq\f（7，25).8．若e1，e2是夹角为120°的两个单位向量,则a＝2e1＋e2和b＝e2－2e1的夹角的余弦值是(）A．－eq\f(\r(21）,7）B。eq\f(\r（21),7）C.eq\f（\r(21),14)D．－eq\f(3,5)考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角答案A解析设θ为a，b的夹角，cosθ＝eq\f(a·b,|a|｜b|)＝eq\f（－4e\o\al（2，1）＋e\o\al（2，2），\r（4e\o\al(2,1）＋4e1·e2＋e\o\al（2,2))\r（4e\o\al（2,1）－4e1·e2＋e\o\al（2，2）)）＝eq\f（－3，\r（3）×\r(7))＝－eq\f(\r（21）,7).9．将函数f（x）＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π,6)））的图象向右平移eq\f(π，6）个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是（）A．y＝sin2x B．y＝cos2xC．y＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，6))）考点三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点三角函数图象的平移变换答案D解析∵f（x)＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,6)）)，∴将函数f（x）＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,6）））的图象向右平移eq\f（π，6）个单位长度,得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6)))＝sineq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（2\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（π,6)))＋\f(π，6)））＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,6)))，所得的图象对应的函数解析式是y＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,6))),故选D.10．（2017·全国卷Ⅲ）设函数f（x)＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)）)，则下列结论错误的是（)A．f(x）的一个周期为－2πB．y＝f（x)的图象关于直线x＝eq\f（8π，3）对称C．f（x＋π)的一个零点为x＝eq\f（π，6）D．f(x）在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,2),π)）内单调递减考点正弦函数、余弦函数性质的综合应用题点余弦函数性质的综合应用答案D解析当x∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，2)，π））时，x＋eq\f（π，3)∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5π,6)，\f（4π，3)))，函数在该区间内不单调．11．(2017·山西晋城特立中学月考)已知ω＞0,函数f(x）＝eq\f（\r(2),2）（sinωx＋cosωx)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，2)，π)）上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A。eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，\f（5,4））） B。eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，\f（3,4））)C。eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1（0，\f（1,2））) D．(0，2］考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数的单调性的应用答案A解析因为f（x）＝eq\f（\r（2），2）（sinωx＋cosωx），所以f（x)＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f（π，4）))。方法一观察选项，取ω＝1，则f(x）＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，4)))在eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,2），π））上单调递减，所以ω可以取1，故排除B,C;再取ω＝2,则f（x）＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π，4)）)在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，2)，π）)上不单调,故ω≠2，故排除D，故选A。方法二因为ω＞0，函数f(x)＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(ωx＋\f（π，4)））在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,2），π））上单调递减，所以T＝eq\f（2π,ω）≥2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（π－\f(π,2)))，得0＜ω≤2。又eq\f（ωπ，2）＋eq\f(π,4)＜ωx＋eq\f（π，4）＜ωπ＋eq\f(π,4），所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(ωπ，2)＋\f(π，4)≥\f（π，2），，ωπ＋\f（π，4)≤\f(3π,2)，，0＜ω≤2，））解得eq\f（1,2)≤ω≤eq\f(5，4），故选A。12．（2016·四川）已知正三角形ABC的边长为2eq\r(3）,平面ABC内的动点P，M满足|eq\o（AP,\s\up6（→））|＝1，eq\o（PM，\s\up6(→）)＝eq\o（MC,\s\up6(→）)，则|eq\o（BM，\s\up6（→））｜2的最大值是()A。eq\f（43，4） B.eq\f（49,4)C。eq\f(37＋6\r（3)，4) D.eq\f（37＋2\r(33），4）考点平面几何中的向量方法题点利用向量解决平面几何问题答案B解析建立平面直角坐标系如图所示，B(－eq\r(3），0），C（eq\r（3）,0),A（0,3）,则点P的轨迹方程为x2＋（y－3)2＝1.设P(x，y)，M（x0,y0）,则eq\o（PM，\s\up6(→））＝（x0－x，y0－y)，eq\o(MC，\s\up6(→）)＝（eq\r（3)－x0，－y0)．因为eq\o（PM,\s\up6(→)）＝eq\o(MC,\s\up6(→)），所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x0－x＝\r（3）－x0，，y0－y＝－y0，）)所以x＝2x0－eq\r(3)，y＝2y0，代入点P的轨迹方程，得eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f（\r（3),2）））2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(y0－\f(3,2)）)2＝eq\f（1，4)，所以点M的轨迹方程为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(\r（3），2))）2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2))）2＝eq\f(1，4),它表示以eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r（3）,2）,\f(3，2）））为圆心，以eq\f（1,2）为半径的圆，所以|eq\o(BM，\s\up6(→）)｜max＝eq\r（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r（3)，2)＋\r(3))）2＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,2）－0）)2）＋eq\f（1，2）＝eq\f（7,2），所以|eq\o(BM，\s\up6(→)）｜eq\o\al（2,max)＝eq\f(49，4).二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．设向量a＝（3,3），b＝（1，－1）．若(a＋λb）⊥（a－λb)，则实数λ＝________。考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量垂直求参数答案±3解析因为a＋λb＝（3＋λ，3－λ),a－λb＝（3－λ，3＋λ),又（a＋λb)⊥(a－λb）,所以（a＋λb)·(a－λb）＝（3＋λ）·(3－λ）＋（3－λ)（3＋λ）＝0，解得λ＝±3.14.eq\f(2sin47°－\r(3)sin17°,2cos17°)＝________.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式化简答案eq\f（1，2）解析原式＝eq\f（2sin17°＋30°－\r（3)sin17°,2cos17°）＝eq\f(cos17°,2cos17°)＝eq\f(1,2）。15．函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f（2)＋f（3）＋…＋f（11）＝________。考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案2＋2eq\r（2）解析由图象可知，f(x）＝2sineq\f(π,4)x的周期为8，∴f(1)＋f（2）＋f（3）＋…＋f(11)＝f(1）＋f(2)＋f(3）＝2sineq\f（π，4）＋2sineq\f(π,2）＋2sineq\f(3π,4）＝2＋2eq\r（2）。16．给出下列四个命题：①函数y＝tanx的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f（π，2），0）)，k∈Z对称;②函数f(x)＝sin|x｜是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角,则taneq\f（θ，2)>coseq\f(θ，2)，且sineq\f（θ，2)〉coseq\f（θ,2）；④函数y＝cos2x＋sinx的最小值为－1.其中正确的命题是________．(填序号）考点和三角函数有关的几种复合函数题点和三角函数有关的几种复合函数答案①④解析①eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（kπ＋\f（π,2）,0）)，k∈Z是正切函数的对称中心,∴①对；②f(x）＝sin|x｜不是周期函数，∴②错；③eq\f(θ,2）∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,4)＋kπ，\f（π，2)＋kπ))，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，sineq\f（θ,2）<coseq\f（θ，2)。∴③错；④∵y＝1－sin2x＋sinx＝－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2))）2＋eq\f(5，4)，∴当sinx＝－1时,ymin＝－1，∴④对．三、解答题(本大题共6小题，共70分）17．（10分)已知tanα＝2.(1)求taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（α＋\f（π,4）)）的值；（2）求eq\f(sin2α，sin2α＋sinαcosα－cos2α－1)的值．考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点综合运用三角恒等变换公式化简求值解（1）taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f（π，4）））＝eq\f（tanα＋tan\f（π，4），1－tanαtan\f（π，4）)＝eq\f（2＋1，1－2）＝－3.（2)原式＝eq\f(2sinαcosα，sin2α＋sinαcosα－2cos2α）＝eq\f(2tanα,tan2α＋tanα－2）＝eq\f(2×2,22＋2－2）＝1.18．（12分）已知|a｜＝1,|b｜＝eq\r（3），a＋b＝(eq\r（3），1)．（1)求｜a－b｜；(2）求向量a＋b与向量a－b的夹角．考点平面向量数量积的应用题点向量模与夹角的综合应用解（1）因为a＋b＝(eq\r（3)，1）,所以|a＋b｜＝2，所以a2＋2a·b＋b2＝4,即1＋2a·b＋3＝4，得a·b＝0。因为|a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝4，所以|a－b|＝2。（2）设向量a＋b与向量a－b的夹角为θ，则有cosθ＝eq\f（a＋b·a－b,|a＋b|｜a－b|)＝eq\f(a2－b2，|a＋b|｜a－b|）＝eq\f（1－3，2×2）＝－eq\f(1，2），因为θ∈［0，π]，所以θ＝eq\f（2π，3），即向量a＋b与向量a－b的夹角为eq\f（2π,3）.19．（12分）已知α∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，2)，π）)，且sineq\f（α，2)＋coseq\f（α，2）＝eq\f（\r(6),2）。（1)求cosα的值；（2)若sin（α－β）＝－eq\f（3,5）,β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π）),求cosβ的值．考点两角差的余弦公式题点两角差的余弦公式的综合应用解(1)因为sineq\f（α，2)＋coseq\f（α,2）＝eq\f（\r(6),2），两边同时平方，得sinα＝eq\f(1,2）。又eq\f(π，2)＜α＜π,所以cosα＝－eq\f（\r(3)，2）。(2）因为eq\f(π,2）＜α＜π，eq\f（π，2)＜β＜π，所以－π＜－β＜－eq\f（π,2)，故－eq\f（π，2)＜α－β＜eq\f(π，2）.又sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α－β)）＝－eq\f(3，5）,得cos(α－β）＝eq\f(4，5）。cosβ＝cos[α－（α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin（α－β）＝－eq\f（\r(3)，2）×eq\f(4，5)＋eq\f（1,2)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3，5)）)＝－eq\f（4\r（3)＋3,10）.20．(12分）已知a＝(eq\r（3）sinx，cosx），b＝（cosx，cosx）,f（x)＝2a·b＋2m－1(x,m∈R）．（1）求f（x）关于x的表达式，并求f(x）的最小正周期；（2)若当x∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2）)）时，f（x）的最小值为5,求m的值．考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用解（1)f(x)＝2eq\r（3)sinxcosx＋2cos2x＋2m－1＝eq\r（3）sin2x＋cos2x＋2m＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，6）)）＋2m，∴f(x）的最小正周期是π.（2）∵x∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（0,\f（π，2)))，∴2x＋eq\f(π,6）∈eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（π,6），\f(7π,6）)),∴当2x＋eq\f（π,6)＝eq\f（7π,6)，即x＝eq\f（π,2)时,函数f（x)取得最小值2m－1.∵2m－1＝5，∴m＝3。21．(12分)已知向量a＝(sinωx＋cosωx,sinωx），向量b＝（sinωx－cosωx,2eq\r(3)cosωx），设函数f(x)＝a·b＋1(x∈R）的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，其中常数ω∈（0,2)．（1）若x∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,2)))，求f（x)的值域；(2）将函数f(x)的图象向左平移eq\f（π，12）个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，用五点法作出函数g（x)在区间eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f（π，2),\f(π,2))）上的图象．考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用解(1)∵向量a＝(sinωx＋cosωx，sinωx)，向量b＝(sinωx－cosωx，2eq\r（3）cosωx)，∴f（x)＝a·b＋1＝sin2ωx－cos2ωx＋2eq\r(3)sinωxcosωx＋1＝eq\r(3)sin2ωx－cos2ωx＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2ωx－\f（π，6）)）＋1，∵图象关于直线x＝eq\f(π，3）对称，其中常数ω∈（0，2）．∴2ω·eq\f（π，3)－eq\f（π,6）＝kπ＋eq\f(π，2)，k∈Z,得ω＝eq\f（3k,2）＋1，k∈Z，结合ω∈(0,2)，可得ω＝1，∴f（x)＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f（π,6）)）＋1，∵x∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2)）)，∴2x－eq\f(π，6）∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（π,6)，\f（5π，6)）），∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f（π,6)）)∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2），1））,∴f（x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)）)＋1∈[0,3]，即f(x）的值域为[0,3］．(2