建筑力学教材课件第八章-超静定结构的内力分析

建筑力学

第8章超静定结构的内力分析

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第8章超静定结构的内力分析1超静定结构与静定结构在计算方面的主要区别：

静定结构的支座反力和各截面的内力只根据静力平衡条件即可求出；

超静定结构支座反力和各截面的内力则不能单从静力平衡条件求出，而必须同时考虑变形协调条件。静定结构超静定结构从几何构造来看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系；超静定结构为有多余约束的几何不变体系。总之，有多余约束是超静定结构区别于静定结构的基本特点。超静定结构与静定结构在计算方面的主要区别：静定结构2

力法是超静定计算基本方法之一，也是学习其他方法的基础。力法是把超静定结构拆成静定结构，再由静定结构过渡到超静定结构。静定结构的内力和位移计算是力法计算的基础。8-1力法力法是超静定计算基本方法之一，也是学习其他方法的83一、力法的基本原理1.力法的基本结构(a)原结构

(b)基本体系图a所示一端固定，另一端铰支的梁，承受荷载ｑ的作用，EI为常数，该梁有一个多余约束，是一次超静定结构。对图a所示的原结构，如果把支杆B作为多余约束去掉，并代之以多余未知力X1（简称多余力），则图a所示的超静定梁就转化为图b所示的静定梁，这样得到的含有多余未知力的静定结构称为力法的基本体系。与之相应，把图a中原超静定结构中多余约束（支座B）和荷载都去掉后得到的静定结构称为力法的基本结构（图c）。AB(c）基本结构一、力法的基本原理(a)原结构(b)基本体系图42.力法的基本未知量求解基本结构的多余未知力

，一旦求得多余未知力

，就可在基本结构上用静力平衡条件求出原结构的所有反力和内力。因此多余力是最基本的未知力，又可称为力法的基本未知量。但是这个基本未知量

不能用静力平衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变形与原结构相同的原则来确定。2.力法的基本未知量5二、力法的基本方程基本体系转化为原来超静定结构的条件是：基本体系沿多余未知力

方向的位移应与原结构中相应的位移相等，即。可见，为了唯一确定超静定结构的反力和内力，必须同时考虑静力平衡条件和变形协调条件。(d)

(e)设以和分别表示未知力和荷载q单独作用在基本结构时，B点沿方向上的位移（图d、e）。符号右下方两个角标的含义是：第一个角标表示位移的位置和方向；第二个角标表示产生位移的原因。为了求得B点总的竖向位移，根据叠加原理：

若以

表示

为单位力（即

）时，基本结构在

作用点沿方向产生的位移，则有

，于是上式可写成

此式就是根据原结构的变形条件建立的用以确定的变形协调方程，即为力法的基本方程。二、力法的基本方程(d)(e)设以和6(a)(b)

(c)绘出基本结构的单位弯矩图（由单位力产生）和荷载弯矩图（由荷载q产生），分别如图a、b所示。用图乘法计算位移:

计算时可用图乘图,叫做图的“自乘”，即同理可用图与图相图乘计算,得

将

和

之值代入力法基本方程由此求出：(a)7所得结果为正值，表明的实际方向与原假设的方向相同。多余未知力求出后，就可以利用静力平衡条件求原结构的支座反力，作内力图，如图c所示。根据叠加原理，结构任一截面的弯矩M也可以用下列公式表示，即综上可知,力法是以多余未知力作为基本未知量，取去掉多余联系后的静定结构为基本结构，并根据去掉多余联系处的已知位移条件建立基本方程，将多余未知力首先求出，而以后的计算即与静定结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。所得结果为正值，表明的实际方向与原假设的方向相同8三、力法典型方程图a所示为一个三次超静定结构，在荷载作用下结构的变形如图中虚线所示。用力法求解时，去掉支座C的三个多余约束，并以相应的多余力、、代替所去约束的作用，则得到图b所示的基本体系。由于原结构在支座C处不可能有任何位移，因此，在承受原荷载和全部多余未知力的基本体系上，也必须与原结构变形相符，在C点处沿多余未知力方向的相应位移都等于零。

即应满足位移条件：，，。(a)(b)三、力法典型方程图a所示为一个三次超静定结构，在荷载作用下结9根据叠加原理，上面位移条件可表示为：这就是三次超静定结构的力法方程。同理，我们可以建立力法的一般方程。对于n次超静定结构，用力法计算时，可去掉n个多余约束得到静定的基本结构，在去掉的n个多余约束处代之以n个多余未知力。当原结构在去掉多余约束处的位移为零时，相应地也就有n个已知的位移条件，即：

根据叠加原理，上面位移条件可表示为：这就是三10

即：n次超静定结构力法的基本方程，通常称为力法典型方程。这一方程组的物理意义为：基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，在去掉多余联系处沿各多余未知力方向的位移，应与原结构相等。典型方程中，多余未知力系数主对角线上称为主系数，其物理意义为：当单位力单独作用时，在其自身方向上所引起的位移，恒为正且不为零。其它系数称为副系数，其物理意义为：当单位力单独作用时，所引起方向的位移。各式最后一项称为自由项，它是荷载单独作用时所引起的方向的位移。副系数和自由项的值可能为正、负或零。按前面求静定结构位移的方法求得典型方程中的系数和自由项后，即可解得多余未知力，然后可按照静定结构的分析方法求得原结构的全部反力和内力，或按下述叠加公式求出弯矩:再根据平衡条件可求得其剪力和轴力。即：n次超静定结构力法的基本方程，通常称为力法典型方程。这11四、力法计算的应用力法计算超静定结构的步骤：⑴选取基本结构。去掉原结构的多余约束得到一个静定的基本结构，并以力法基本未知量代替相应多余约束的作用，确定力法基本未知量的个数；⑵建立力法典型方程。根据基本结构在多余力和原荷载的共同作用下，在去掉多余约束处的位移应与原结构中相应的位移相同的位移条件，建立力法典型方程；⑶求系数和自由项。为此，需分两步进行：①令作基本结构单位弯矩图和基本结构荷载弯矩图；②按照求静定结构位移的方法计算系数和自由项；⑷解典型方程，求出多余未知力；⑸求出原结构内力绘制内力图。四、力法计算的应用12【例8-1】试分析图8-6a所示刚架，EI=常数。解：⑴确定超静定次数，选取基本结构此刚架具有一个多余联系，是一次超静定结构，去掉支座链杆C即为静定结构，并用X1代替支座链杆C的作用，得基本体系如图8-6b所示。⑵建立力法典型方程

(a)(b)图8-6图8-7【例8-1】试分析图8-6a所示刚架，EI=常数。13⑶求系数和自由项⑷求解多余力⑸绘制内力图各杆端弯矩可按计算，最后弯矩图如图8-7c所示。⑶求系数和自由项⑷求解多余力⑸绘制内力图各杆端弯矩可按14位移法是把结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。杆件的内力和位移关系是位移法的计算基础。位移法虽然主要用于超静定结构，但也可用于静定结构。一、位移法的基本概念位移法是以结点位移作为基本未知量求解超静定结构的方法。利用位移法既可以计算超静定结构，也可以计算静定结构。对于高次超静定结构，运用位移法计算通常也比力法简便。同时，学习位移法也帮助我们加深对结构位移概念的理解，为学习力矩分配法打下必要的基础。8-2位移法位移法是把结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构15二、位移法基本变形假设位移法的计算对象是由等截面直杆组成的杆系结构，例如刚架、连续梁。在计算中认为结构仍然符合小变形假定，同时位移法假设：1.各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变；2.刚性结点所连各杆端的截面转角是相同的。三、位移法的基本未知量位移法以结构的刚结点角位移和结点线位移为基本未知量，通过平衡条件和变形条件建立位移法方程求出未知量。未知量求出后，再利用杆端内力与荷载及结点位移之间的关系，计算出结构的内力，作出内力图。

在结构中，一般情况下刚结点的角位移数目和刚结点的数目相同，但结构独立的结点线位移的数目则需要分析判断后才能确定。下面举例说明如何确定位移法的基本未知量。二、位移法基本变形假设16图（a）所示刚架有两个刚结点，现在两个刚结点都发生了角位移和线位移，但在忽略杆件的轴向变形时，这两个线位移相等，即独立的结点线位移只有一个，因此用位移法求解时，该结构的基本未知量是两个角位移和以及一个线位移Δ。

图（a）所示刚架有两个刚结点，现在两个刚结点都发生了角位移和17(b)同理，图（b）所示排架有三个铰结点，其水平线位移相同，故该结构的基本未知量是一个线位移Δ。

(b)同理，图（b）所示排架有三个铰结点，其水平线位移相同，18当结构的独立结点线位移的数目由直观的方法难以判断时，则可以采用“铰化结点、增加链杆”的方法判断。即在确定结构独立的结点线位移时，先把所有的结点和支座都换成铰结点和铰支座，得到一个铰结体系。若此体系是几何不变体系，则由此知道结构的所有结点均无独立结点线位移。如果此体系是几何可变体系或瞬变体系，则可以通过增加链杆使其变为几何不变体系，所增加的最少链杆的数目，就是原结构的独立结点线位移的数目。当结构的独立结点线位移的数目由直观的方法难以判断时，则可以采19例如图(a)所示结构，铰化结点后增加一根链杆可变为几何不变体系[图(b)]，所以结点独立线位移的数目为一，整个结构的基本未知量为两个角位移和一个独立结点线位移。例如图(a)所示结构，铰化结点后增加一根链杆可变为几何不变体20四、位移法的杆端内力1.运用位移法计算超静定结构时，需要将结构拆成单杆，单杆的杆端约束视结点而定，刚结点视为固定支座，铰结点视为固定铰支座。当讨论杆件的弯矩与剪力时，由于铰支座在杆轴线方向上的约束力只产生轴力，因此可不予考虑，从而铰支座可进一步简化为垂直于杆轴线的可动铰支座。结合边界支座的形式，位移法的单杆超静定梁有三种形式，如图8-10所示。(a)

(b)(c)图8-10单杆超静定梁的约束形式四、位移法的杆端内力(a)212.为了计算方便，杆端内力采用两个下标来表示，其中第一个下标表示该弯矩所作用的杆端，称为近端，第二个下标表示杆件的另一端，称为远端。如图8-11所示AB梁8-11杆端弯矩的正、负号规定位移法规定杆端弯矩使杆端顺时针转向为正，逆时针转向为负（对于支座和结点就变成逆时针转向为正，顺时针转向为负），如图8-11所示。对于杆端、支座及结点剪力的正负号规定则和以前相同，以顺时针为正，逆时针为负。2.为了计算方便，杆端内力采用两个下标来表示，其中第一个下223.位移法的杆端内力主要是剪力和弯矩，由于位移法下的单杆都是超静定梁，所以不仅荷载会引起杆端内力，杆端支座位移也会引起内力，由荷载引起的弯矩称为固端弯矩，由荷载引起的剪力称为固端剪力。这些杆端内力可通过查表8-1获得，表中的i称为杆件的线刚度，即：其中：EI是杆件的抗弯刚度；是杆长。3.位移法的杆端内力主要是剪力和弯矩，由于位移法下的单杆都23表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力24续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力25续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力26续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力27续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力28续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力29五、位移法的原理位移法的基本思路就是选取结点位移为基本未知量，把每段杆件视为独立的单跨超静定梁，然后根据其位移以及荷载写出各杆端弯矩的表达式，再利用静力平衡条件求解位移未知量，进而求解各杆端弯矩。六、位移法的应用

利用位移法求解超静定结构的一般步骤如下：⑴确定基本未知量；⑵将结构拆成超静定(或个别静定)的单杆；⑶查表8-1，列出各杆端转角位移方程；⑷根据平衡条件建立平衡方程（一般对有转角位移的刚结点取力矩平衡方程，有结点线位移时，则考虑线位移方向的静力平衡方程）；⑸解出未知量，求出杆端内力；⑹作出内力图。五、位移法的原理位移法的基本思路就是选取结点30一、力矩分配法的基本概念力矩分配法的理论基础是位移法，解题方法采用渐近法，它不必计算节点位移，也无须求解联立方程，可以直接通过代数运算得到杆端弯矩。计算时，逐个节点依次进行，和力法、位移法相比，计算过程较为简单直观，计算过程不容易出错。力矩分配法的适用范围是连续梁和无结点线位移的刚架。在力矩分配法中，内力正负号的规定与位移法相同。8-3力矩分配法一、力矩分配法的基本概念8-3力矩分配法311.转动刚度

转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上等于使杆端产生单位角位移时所需施加的力矩，记作S。其中转动端称为近端，另一端称为远端。等截面直杆的转动刚度与远端约束及线刚度有关，根据表8-1知：远端固定：远端铰支：远端双滑动支座：远端自由：(式中为线刚度）1.转动刚度远端固定：远端铰支：远端双滑动支座：远端自由：322.分配系数图8-14所示超静定刚架，B端为固定端支座，C端为定向支座，D端为固定铰支座，设有力偶M作用于A结点，使结点A产生转角，由转动刚度定义可知：图8-14取结点A为隔离体，由平衡方程得：所以可得式中，——A端各杆的转动刚度之和。2.分配系数图8-14取结点A为隔离体，由平衡方程33将值带入A结点的各杆端弯矩表达式，得：由此看来，A结点处各杆端弯矩与各杆端的转动刚度成正比，可以用下列公式表达计算结果，即式中，——分配系数，其中j可以是B、C或D。可见，杆件的杆端分配系数等于该杆近端转动刚度与交于该点各杆近端转动刚度之和的比。称为分配弯矩。上式表明，作用于结点A处的外力矩是根据汇集于该结点处的各杆的刚度系数的大小按比例分配给各杆端的。显然，在同一刚结点上，各杆近端的分配系数之和等于1，即将值带入A结点的各杆端弯矩表达式，得：343.传递系数图8-14中，力偶荷载M加于结点A，使各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。由位移法中的转角位移方程可得杆端弯矩的具体数值为，，由上述结果可知：称为传递系数，表示当近端有转角时远端弯矩与近端弯矩的比值。对等截面杆来说，传递系数随远端的支承情况的不同而变化，数值为：远端固定：远端定向：远端铰支：3.传递系数，，由上述结果可知：35求得各杆的近端的分配弯矩后，不难求出各杆远端的传递弯矩，即：最后，将各杆杆端的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩叠加，就得到杆端的最后弯矩。求得各杆的近端的分配弯矩后，不难求出各杆远端的传递弯矩，即：36二、计算原理力矩分配法的基本思路概括为“固定”和“放松”。首先将刚结点固定（加刚臂），得到荷载单独作用下的杆端弯矩，然后任取一个结点作为起始结点，计算其不平衡力矩。接着放松该结点，允许其产生角位移，并依据平衡条件，通过分配不平衡力矩得到角位移引起的各杆近端分配弯矩，再由各杆近端分配弯矩传递得到各杆远端传递弯矩。该结点的计算结束后仍将其固定，再换一个刚结点，重复上述计算过程，直至计算结束。由于力矩分配法属于逐次逼近法，因此计算可能不止一个轮次，当误差在允许范围内时即可停止计算。最后将各结点的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩相加，得到最终杆端弯矩。二、计算原理力矩分配法的基本思路概括为“固定37力矩分配法的计算步骤如下：（1）将各刚结点看作是锁定的，查表8-1得到各杆的固端弯矩；（2）计算各杆的线刚度、转动刚度S，确定刚结点处各杆的分配系数μ，并用结点处总分配系数为1进行验算；（3）计算刚结点处的不平衡力矩，将结点不平衡力矩变号分配，得近端分配弯矩；（4）根据远端约束条件确定传递系数C，计算远端传递弯矩；（5）依次对各结点循环进行分配、传递计算，当误差在允许范围内时，终止计算，然后将各杆端的固端弯矩、分配弯矩与传递弯矩进行代数相加，得出最后的杆端弯矩；（6）根据最终杆端弯矩值及位移法的弯矩正负号规定，用叠加法绘制弯矩图。力矩分配法的计算步骤如下：38【例】试用力矩分配法计算图（a）所示两跨连续梁，并绘制弯矩图。(a)【例】试用力矩分配法计算图（a）所示两跨连续梁，并绘制弯矩39【解】（1）计算力矩分配系数。由于AB杆BC杆的线刚度相同，令转动刚度为

SBA=4iAB=4iSBC=3iBC=3i分配系数为

【解】（1）计算力矩分配系数。40

校核：

AB+BC=1

41

（2）计算固端弯矩和结点处的约束力矩。先在结点B加上阻止转动的约束，由表9.1计算荷载产生的固端弯矩如下：

结点处的约束力矩为

（2）计算固端弯矩和结点处的约束力矩。42（3）计算分配弯矩。

（4）计算传递弯矩。

（3）计算分配弯矩。43（5）计算杆端弯矩。

（5）计算杆端弯矩。44一般情况下，将以上计算过程列表进行。表中结点B分配弯矩下画一横线表示结点B力矩分配完毕，结点已达到新的平衡。表中箭头表示将近端分配弯矩通过传递系数传向远端。一般情况下，将以上计算过程列表进行。表中结点B分配弯矩下画一45

计算过程表(力矩单位：kN·m)

杆端

ABBABCCB分配系数0.57l0.429固端弯矩−150150−900力矩分配与传递−17.2←

−34.1−25.7→0杆端最后弯矩−167.2115.7

−l15.70计算过程表(力矩单46

最后根据杆端弯矩值，绘出M图［图（b）］。注意结点B应满足平衡条件。即∑MB=115.7－115.7=0最后根据杆端弯矩值，绘出M图［图（b）］。注意结点B应满47

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第8章超静定结构的内力分析

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第8章超静定结构的内力分析48超静定结构与静定结构在计算方面的主要区别：

静定结构的支座反力和各截面的内力只根据静力平衡条件即可求出；

超静定结构支座反力和各截面的内力则不能单从静力平衡条件求出，而必须同时考虑变形协调条件。静定结构超静定结构从几何构造来看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系；超静定结构为有多余约束的几何不变体系。总之，有多余约束是超静定结构区别于静定结构的基本特点。超静定结构与静定结构在计算方面的主要区别：静定结构49

力法是超静定计算基本方法之一，也是学习其他方法的基础。力法是把超静定结构拆成静定结构，再由静定结构过渡到超静定结构。静定结构的内力和位移计算是力法计算的基础。8-1力法力法是超静定计算基本方法之一，也是学习其他方法的850一、力法的基本原理1.力法的基本结构(a)原结构

(b)基本体系图a所示一端固定，另一端铰支的梁，承受荷载ｑ的作用，EI为常数，该梁有一个多余约束，是一次超静定结构。对图a所示的原结构，如果把支杆B作为多余约束去掉，并代之以多余未知力X1（简称多余力），则图a所示的超静定梁就转化为图b所示的静定梁，这样得到的含有多余未知力的静定结构称为力法的基本体系。与之相应，把图a中原超静定结构中多余约束（支座B）和荷载都去掉后得到的静定结构称为力法的基本结构（图c）。AB(c）基本结构一、力法的基本原理(a)原结构(b)基本体系图512.力法的基本未知量求解基本结构的多余未知力

，一旦求得多余未知力

，就可在基本结构上用静力平衡条件求出原结构的所有反力和内力。因此多余力是最基本的未知力，又可称为力法的基本未知量。但是这个基本未知量

不能用静力平衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变形与原结构相同的原则来确定。2.力法的基本未知量52二、力法的基本方程基本体系转化为原来超静定结构的条件是：基本体系沿多余未知力

方向的位移应与原结构中相应的位移相等，即。可见，为了唯一确定超静定结构的反力和内力，必须同时考虑静力平衡条件和变形协调条件。(d)

(e)设以和分别表示未知力和荷载q单独作用在基本结构时，B点沿方向上的位移（图d、e）。符号右下方两个角标的含义是：第一个角标表示位移的位置和方向；第二个角标表示产生位移的原因。为了求得B点总的竖向位移，根据叠加原理：

若以

表示

为单位力（即

）时，基本结构在

作用点沿方向产生的位移，则有

，于是上式可写成

此式就是根据原结构的变形条件建立的用以确定的变形协调方程，即为力法的基本方程。二、力法的基本方程(d)(e)设以和53(a)(b)

(c)绘出基本结构的单位弯矩图（由单位力产生）和荷载弯矩图（由荷载q产生），分别如图a、b所示。用图乘法计算位移:

计算时可用图乘图,叫做图的“自乘”，即同理可用图与图相图乘计算,得

将

和

之值代入力法基本方程由此求出：(a)54所得结果为正值，表明的实际方向与原假设的方向相同。多余未知力求出后，就可以利用静力平衡条件求原结构的支座反力，作内力图，如图c所示。根据叠加原理，结构任一截面的弯矩M也可以用下列公式表示，即综上可知,力法是以多余未知力作为基本未知量，取去掉多余联系后的静定结构为基本结构，并根据去掉多余联系处的已知位移条件建立基本方程，将多余未知力首先求出，而以后的计算即与静定结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。所得结果为正值，表明的实际方向与原假设的方向相同55三、力法典型方程图a所示为一个三次超静定结构，在荷载作用下结构的变形如图中虚线所示。用力法求解时，去掉支座C的三个多余约束，并以相应的多余力、、代替所去约束的作用，则得到图b所示的基本体系。由于原结构在支座C处不可能有任何位移，因此，在承受原荷载和全部多余未知力的基本体系上，也必须与原结构变形相符，在C点处沿多余未知力方向的相应位移都等于零。

即应满足位移条件：，，。(a)(b)三、力法典型方程图a所示为一个三次超静定结构，在荷载作用下结56根据叠加原理，上面位移条件可表示为：这就是三次超静定结构的力法方程。同理，我们可以建立力法的一般方程。对于n次超静定结构，用力法计算时，可去掉n个多余约束得到静定的基本结构，在去掉的n个多余约束处代之以n个多余未知力。当原结构在去掉多余约束处的位移为零时，相应地也就有n个已知的位移条件，即：

根据叠加原理，上面位移条件可表示为：这就是三57

即：n次超静定结构力法的基本方程，通常称为力法典型方程。这一方程组的物理意义为：基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，在去掉多余联系处沿各多余未知力方向的位移，应与原结构相等。典型方程中，多余未知力系数主对角线上称为主系数，其物理意义为：当单位力单独作用时，在其自身方向上所引起的位移，恒为正且不为零。其它系数称为副系数，其物理意义为：当单位力单独作用时，所引起方向的位移。各式最后一项称为自由项，它是荷载单独作用时所引起的方向的位移。副系数和自由项的值可能为正、负或零。按前面求静定结构位移的方法求得典型方程中的系数和自由项后，即可解得多余未知力，然后可按照静定结构的分析方法求得原结构的全部反力和内力，或按下述叠加公式求出弯矩:再根据平衡条件可求得其剪力和轴力。即：n次超静定结构力法的基本方程，通常称为力法典型方程。这58四、力法计算的应用力法计算超静定结构的步骤：⑴选取基本结构。去掉原结构的多余约束得到一个静定的基本结构，并以力法基本未知量代替相应多余约束的作用，确定力法基本未知量的个数；⑵建立力法典型方程。根据基本结构在多余力和原荷载的共同作用下，在去掉多余约束处的位移应与原结构中相应的位移相同的位移条件，建立力法典型方程；⑶求系数和自由项。为此，需分两步进行：①令作基本结构单位弯矩图和基本结构荷载弯矩图；②按照求静定结构位移的方法计算系数和自由项；⑷解典型方程，求出多余未知力；⑸求出原结构内力绘制内力图。四、力法计算的应用59【例8-1】试分析图8-6a所示刚架，EI=常数。解：⑴确定超静定次数，选取基本结构此刚架具有一个多余联系，是一次超静定结构，去掉支座链杆C即为静定结构，并用X1代替支座链杆C的作用，得基本体系如图8-6b所示。⑵建立力法典型方程

(a)(b)图8-6图8-7【例8-1】试分析图8-6a所示刚架，EI=常数。60⑶求系数和自由项⑷求解多余力⑸绘制内力图各杆端弯矩可按计算，最后弯矩图如图8-7c所示。⑶求系数和自由项⑷求解多余力⑸绘制内力图各杆端弯矩可按61位移法是把结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。杆件的内力和位移关系是位移法的计算基础。位移法虽然主要用于超静定结构，但也可用于静定结构。一、位移法的基本概念位移法是以结点位移作为基本未知量求解超静定结构的方法。利用位移法既可以计算超静定结构，也可以计算静定结构。对于高次超静定结构，运用位移法计算通常也比力法简便。同时，学习位移法也帮助我们加深对结构位移概念的理解，为学习力矩分配法打下必要的基础。8-2位移法位移法是把结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构62二、位移法基本变形假设位移法的计算对象是由等截面直杆组成的杆系结构，例如刚架、连续梁。在计算中认为结构仍然符合小变形假定，同时位移法假设：1.各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变；2.刚性结点所连各杆端的截面转角是相同的。三、位移法的基本未知量位移法以结构的刚结点角位移和结点线位移为基本未知量，通过平衡条件和变形条件建立位移法方程求出未知量。未知量求出后，再利用杆端内力与荷载及结点位移之间的关系，计算出结构的内力，作出内力图。

在结构中，一般情况下刚结点的角位移数目和刚结点的数目相同，但结构独立的结点线位移的数目则需要分析判断后才能确定。下面举例说明如何确定位移法的基本未知量。二、位移法基本变形假设63图（a）所示刚架有两个刚结点，现在两个刚结点都发生了角位移和线位移，但在忽略杆件的轴向变形时，这两个线位移相等，即独立的结点线位移只有一个，因此用位移法求解时，该结构的基本未知量是两个角位移和以及一个线位移Δ。

图（a）所示刚架有两个刚结点，现在两个刚结点都发生了角位移和64(b)同理，图（b）所示排架有三个铰结点，其水平线位移相同，故该结构的基本未知量是一个线位移Δ。

(b)同理，图（b）所示排架有三个铰结点，其水平线位移相同，65当结构的独立结点线位移的数目由直观的方法难以判断时，则可以采用“铰化结点、增加链杆”的方法判断。即在确定结构独立的结点线位移时，先把所有的结点和支座都换成铰结点和铰支座，得到一个铰结体系。若此体系是几何不变体系，则由此知道结构的所有结点均无独立结点线位移。如果此体系是几何可变体系或瞬变体系，则可以通过增加链杆使其变为几何不变体系，所增加的最少链杆的数目，就是原结构的独立结点线位移的数目。当结构的独立结点线位移的数目由直观的方法难以判断时，则可以采66例如图(a)所示结构，铰化结点后增加一根链杆可变为几何不变体系[图(b)]，所以结点独立线位移的数目为一，整个结构的基本未知量为两个角位移和一个独立结点线位移。例如图(a)所示结构，铰化结点后增加一根链杆可变为几何不变体67四、位移法的杆端内力1.运用位移法计算超静定结构时，需要将结构拆成单杆，单杆的杆端约束视结点而定，刚结点视为固定支座，铰结点视为固定铰支座。当讨论杆件的弯矩与剪力时，由于铰支座在杆轴线方向上的约束力只产生轴力，因此可不予考虑，从而铰支座可进一步简化为垂直于杆轴线的可动铰支座。结合边界支座的形式，位移法的单杆超静定梁有三种形式，如图8-10所示。(a)

(b)(c)图8-10单杆超静定梁的约束形式四、位移法的杆端内力(a)682.为了计算方便，杆端内力采用两个下标来表示，其中第一个下标表示该弯矩所作用的杆端，称为近端，第二个下标表示杆件的另一端，称为远端。如图8-11所示AB梁8-11杆端弯矩的正、负号规定位移法规定杆端弯矩使杆端顺时针转向为正，逆时针转向为负（对于支座和结点就变成逆时针转向为正，顺时针转向为负），如图8-11所示。对于杆端、支座及结点剪力的正负号规定则和以前相同，以顺时针为正，逆时针为负。2.为了计算方便，杆端内力采用两个下标来表示，其中第一个下693.位移法的杆端内力主要是剪力和弯矩，由于位移法下的单杆都是超静定梁，所以不仅荷载会引起杆端内力，杆端支座位移也会引起内力，由荷载引起的弯矩称为固端弯矩，由荷载引起的剪力称为固端剪力。这些杆端内力可通过查表8-1获得，表中的i称为杆件的线刚度，即：其中：EI是杆件的抗弯刚度；是杆长。3.位移法的杆端内力主要是剪力和弯矩，由于位移法下的单杆都70表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力71续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力72续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力73续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力74续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力75续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表8.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力76五、位移法的原理位移法的基本思路就是选取结点位移为基本未知量，把每段杆件视为独立的单跨超静定梁，然后根据其位移以及荷载写出各杆端弯矩的表达式，再利用静力平衡条件求解位移未知量，进而求解各杆端弯矩。六、位移法的应用

利用位移法求解超静定结构的一般步骤如下：⑴确定基本未知量；⑵将结构拆成超静定(或个别静定)的单杆；⑶查表8-1，列出各杆端转角位移方程；⑷根据平衡条件建立平衡方程（一般对有转角位移的刚结点取力矩平衡方程，有结点线位移时，则考虑线位移方向的静力平衡方程）；⑸解出未知量，求出杆端内力；⑹作出内力图。五、位移法的原理位移法的基本思路就是选取结点77一、力矩分配法的基本概念力矩分配法的理论基础是位移法，解题方法采用渐近法，它不必计算节点位移，也无须求解联立方程，可以直接通过代数运算得到杆端弯矩。计算时，逐个节点依次进行，和力法、位移法相比，计算过程较为简单直观，计算过程不容易出错。力矩分配法的适用范围是连续梁和无结点线位移的刚架。在力矩分配法中，内力正负号的规定与位移法相同。8-3力矩分配法一、力矩分配法的基本概念8-3力矩分配法781.转动刚度

转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上等于使杆端产生单位角位移时所需施加的力矩，记作S。其中转动端称为近端，另一端称为远端。等截面直杆的转动刚度与远端约束及线刚度有关，根据表8-1知：远端固定：远端铰支：远端双滑动支座：远端自由：(式中为线刚度）1.转动刚度远端固定：远端铰支：远端双滑动支座：远端自由：792.分配系数图8-14所示超静定刚架，B端为固定端支座，C端为定向支座，D端为固定铰支座，设有力偶M作用于A结点，使结点A产生转角，由转动刚度定义可知：图8-14取结点A为隔离体，由平衡方程得：所以可得式中，——A端各杆的转动刚度之和。2.分配系数图8-14取结点A为隔离体，由平衡方程80将值带入A结点的各杆端弯矩表达式，得：由此看来，A结点处各杆端弯矩与各杆端的转动刚度成正比，可以用下列公式表达计算结果，即式中，——分配系数，其中j可以是B、C或D。可见，杆件的杆端分配系数等于该杆近端转动刚度与交于该点各杆近端转动刚度之和的比。称为分配弯矩。上式表明，作用于结点A处的外力矩是根据汇集于该结点处的各杆的刚度系数的大小按比例分配给各杆端的。显然，在同一刚结点上，各杆近端的分配系数之和等于1，即将值带入A结点的各杆端弯矩表达式，得：813.传递系数图8-14中，力偶荷载M加于结点A，使各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。由位移法中的转角位移方程可得杆端弯矩的具体数值为，，由上述结果可知：称为传递系数，表示当近端有转角时远端弯矩与近端弯矩的比值。对等截面杆来说，传递系数随远端的支承情况的不同而变化，数值为：远端固定：远端定向：远端铰支：3.传递系数，，由上述结果可知：82求得各杆的近端的分配弯矩后，不难求出各杆远端的传递弯矩，即：最后，将各杆杆端的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩叠加，就得到杆端的最后弯矩。求得各杆的近端的分配弯矩后，不难求出各杆远端的传递弯矩，即：83二、计算原理力矩分配法的基本思路概括为“固定”和“放松”。首先将刚结点固定（加刚臂），得到荷载单独作用下的杆端弯矩，然后任取一个结点作为起始结点，计算其不平衡力矩。接着放松该结点，允许其产生角位移，并依据平衡条件，通过分配不平衡力矩得到角位移引起的各