第八章 傅立叶变换

第八章傅立叶变换8.1引言傅立叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它使我们能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪声、显示点等的作用效应）。把傅立叶变换的理论同其物理解释相结合，将有助于解决大多数图像处理问题。而发展了这两种技能的人一般都是电子工程或是物理光学方面的学生，他们在学习过程中培养了这项技能。对任何想在工作中有效使用数字图像处理的人来说，把时间用在熟悉傅立叶变换上是很值得的。从某种意义上来说，傅立叶变换就好比描述函数的第二种语言。能讲两种语言的人常常会发现，在表达某些观点时，一种语言会比另一种语言优越。类似地，图像处理的分析者在解决某一问题时会在空域和频域来回切换。当学习一门新语言时，人们常常用自己的母语思考，讲话之前会在脑子中进行翻译。但是在学得比较流利之后，他就能用两种语言中的任一种语言思考。同样的，研究者一旦熟悉了傅立叶变换，就可以在空域或频域中思考问题，这种能力是非常有用的。在本章的前一部分，我们先用一维函数导出傅立叶变换的一些性质为了符号简洁），然后将结果推广到二维。本书的第二部分采用这种安排：先分析一维函数，然后推广到有两个空间变量的函数——图像。在我们对线性系统分析的研究中，我们将局限于讨论在这个已发展成熟的领域中的某一部分。例如我们只用傅立叶变换而不用拉普拉斯变换或是z变换，因为没有必要用到这些。这个局限使我们能用最小的数学复杂度来介绍分析数字图像系统所需的技术。我们不需要具有一般性的拉普拉斯变换，以及线性分析领域内的其它技术，原因之一就是我们处理的是已记录下来的数据，这使我们不必考虑物理可实现性（因果性）及它蕴涵的对分析的影响。因果性（causality）用电子硬件实现的线性系统具有因果性，因为是输入导致了输出。特别是，这意味着如果在零时刻之前输人为零，则当t<0时输出必然为零。直觉上这是很显然的，考虑一个线性系统的脉冲响应：如果在t=0时刻输入是一个脉冲，在t<0时脉冲响应必然为零。因此对于物理可实现的系统，冲激响应永远是单边的，也就是说它非奇非偶，除了一些微不足道的情况。这种情况将物理可实现系统的线性系统分析大大复杂化了。处理记录的数据使我们不太受这种限制，用数字实现的卷积既可以很容易地处理奇偶

函数，又可以处理t<0时为0的函数。再则，对图像处理而言空间域中的坐标原点是任意的x,j的负值没有特殊的意义。那些对随后几章中的数学分析感到麻烦的读者应该感到庆幸，因为本章只需面对记录数据，而不必在分析中加上因果性条件。8.1.1连续傅立叶变换函数f(t)的一维傅立叶变换由下式定义［1］:(1)F{f(t)=F(s=)jsftjestdt(1)-s其中j2=-1。傅立叶变换是一个线性积分变换，它将一个(一般而言)有n个实变量的复函数变换为另一个有n个实变量的复函数F(s)的博里叶逆变换定义为:(2)(3)(4)F-i{F(s)}=「F(s)e(2)(3)(4)注意正、反傅立叶变换的唯一区别是幕的符号。博立叶积分定理指出:f(t)=js[jsf(t)e-j2兀stdt]ej2兀stds-s-s也就是说变换是互逆的，即:F{f(t)}=F(s)nF-i{F(s)}=f(t)函数f(t)和F(s)被称作一个傅立叶变换对。对于任一函数f(t)，其傅里叶变换F(s)是唯一的，反之亦然。根据因子2p在等式中的不同位置，式(1)、(2)和(3)会有其它的表达方式。这里用到的是［1］系统1所采用的方式，在这种方式中频率变量是用每个单位t的整周期(而不是弧度)个数来度量的。8.1.1.1例：高斯函数的傅立叶变换作为一个示范性练习，现在让我们来推导高斯函数的傅立叶变换。高斯函数为f(t)=e-nt2(5)由式(1)得F(s)=jse-nt2e-j2兀stdt-s或F(s)=jse-n(t2+j2nst)dt(6)-s将等式右边乘以e一兀s2e+兀s2=1即可得TOC\o"1-5"\h\zF(s)=e-兀s2J"e一兀(t+js)2dt(7)-s进行变量替换\o"CurrentDocument"u=t+jsdu=dt(8)等式(7)变为F(s)=e-兀s2Jse-兀u2du(9)-s(9)式中的积分为1,故式(9)简化为F(s)=e-兀s2(10)这样式(5)和式(10)就构成一个傅立叶变换对，即高斯函数的傅立叶变换也是一个高斯函数。这个性质使高斯函数在以后的分析中非常有用。8.1.2傅立叶变换的存在性既然傅立叶变换是一个积分变换，我们就必须讨论公式(1)和(2)中积分是否存在这个问题。8.1.2.1瞬时函数一些函数在自变量达到很大的正或负值时足够快地变为零，使得式(1)和式(2)得积分存在。对我们说来，如果一个函数的绝对值的积分存在，即如果Js|f(t)|dt<s(11)-s并且函数或是连续的.或是只有有限个不连续点，则对于s的任何值，函数的傅立叶变换都存在。我们称这些函数为瞬时函数，因为在Itl很大时函数值已消失。实际上我们要处理的正是这些函数任何数字化信号和图像肯定都被截为有限延续和有界的函数。这样，我们将用到的函数都存在傅立叶变换。不过，如能讨论另外•一些在严格意义上不存在傅立叶变换的函数也是很有用的。8.1.2.2周期函数和恒值函数很显然，如果f(t)=cos(2pt)或f(t)=1，对于s的所有值，傅立叶变换并不存在。但是在第7章中介绍过的脉冲函数d(t)使我们可以很方便地处理这类情况。考虑一对冲激的逆变换f(t)=F-i{8(s—f)+8(s+f)}=「[8(s—f)+8(S+f)]e〃而次00-800利用冲激的筛选性质，我们有f(t)=j88(s—f)ej2@st+j88(S+f)ej2@stds-80—80=e-j2兀ft+e+j2兀f0t=2cos(2兀ft)0这里我们用到了欧拉关系(见第7章公式(7))。除以2即得(12)F{cos@20tW}8s-(f+8)S+(f)]也就是说频率为fQ的余弦函数的博立叶变换是一对脉冲，它们分别位于频域中的s=f(12)F{sin(f=)j8[+(f—8)S—(f)](13)如果令式(12冲的f=0，我们可得F{1}=8s()(14)也就是说常数的傅立叶变换是原点处的一个脉冲。现在我们已经有了关于常数和正弦函数的傅立叶变换的有用的表达式。我们知道在傅立叶级数理论中，任何频率为f的周期函数都可表示为频率为nf弦函数的累加，其中n整数值。有加法定理(见式＜40))可知，周期函数的傅立叶变换是频域内的一系列等距冲激。8.1.2.3随机函数我们将那些无限延伸的、非常数、非周期、绝对积分不存在的函数归并为一类，统称为随机函数。在以后的章节中.我们将用它作为一个随机过程的输出的模型。在多数情况下，我们只需用到随机函数的自相关函数，即1…R(T)=lim万户f(t)f(t+T)dt(15)fT—82T—T对于我们感兴趣的许多函数它都存在。自相关函数是实偶函数，它的傅立叶变换是f(t)的能量谱，这些将在以后介绍。如果需要变换一个随机函数，我们可以将式(1)的傅立叶变换重新定义为：

(16)F(s)=limj丁f兀stdtT*2T_t(16)对于逆变换也进行类似处理。这样我们就可以重新定义其变换存在的函数了。在本书中我们只用到式(1)和(2)，因为它们适合于有限延伸的有界信号。按这种约定得出的结果可以用式(16)重新推导，将结果推广到所有Rf()存在的随机函数。讨论到此为止，我们认为：就我们的目的而言，傅立叶变换的存在性不是一个主要问题。8.1.3傅立叶级数展开假定g(t)是一个瞬时函数，在区间［—T/2，T/2］外的值为零，也可以认为它是一个周期函数的一个周期。通过将或］)的变量s离散化，并只在区间上积分，我们可以得到一个系数序列：G=G(nAs)=jT/2g(t)e-j2顶收)dt(17)其中T为周期，Vs=1/T。这种展开方式用系数(复数值)的一个无限序列来表示g(t)，虽然对许多有用的函数而言，只有有限多个系数有非零值。同时逆变换变为：g(t)=切G(nAs)ej2兀(认戏)As=n=01切G严孑n=0(18)它通过将不同频率的正弦型曲线相加，在区间内表示了幺(t)，其中系数弓〃重建了这些正弦型曲线的振幅。定义函数f(t)的傅立叶级数展开为［1］：f(t)=与+尤acos(2兀—t)+尤bn=0n=0sin(2兀—t)T(19a)其中a=—jmf(x)cosX2nxd)x和b=—jmf(x)sin^Exdx(19b)nT-mTnT-mT该式用两个无限实系数序列表示了一个周期为T的函数。8.1.4离散傅立叶变换如果我们将时间和频率都离散化，则式(19b)的傅立叶变换变为G=G(nAs)=£g(iAt)e-j2兀(〃□s)i□tAt=—£ge一j2K(n)i=-N/2i=-N/2(20a)其中T=NVt。反变换的表达式为g=g(iAt)=£G(nAs)e-j2兀(n口t)i□tAs=T£Gne-必(方)ni=-s(20b)n=-m同样，对许多我们感兴趣的函数.g(iDt)的系数集合｛弓〃｝中，只有n较小才为非零。如果｛f｝是一个长度N的序列，比如从对一个连续函数进行等间隔采样得到的，则离i散傅立叶变换(DFT)就是序列｛F｝:F=±£fe邱脖

n<'N

i=0(21)而逆DFT为:F=A£Fej2K(N)ni¥0n(22)其中0#i,nN-1。8.1.4.1与连续变换的关系DFT的(20a)和(20b)同式(1)和(2)的相似意味着DFT可能具有许多和积分变换相同的性质。对于在数字图像处理中遇到的函数类型，两者的差别确实很小，事实上，如果｛f｝是i由某一常用类型的连续函数经适当采样获得的，DFT可以看作是连续傅立叶变换的一个特例⑵。DFT和连续傅立叶变换如此相似是我们的好运。只要遵守一定的采样规则，我们可以认为它们是完全等同的。这种灵活性为我们在设计过程中提供了相当大的自由度：例如对于一个图像处理问题，我们可以用连续的方法来描述它，然后用离散的方法来实现。8.1.5快速傅立叶变换(FFT)我们真的要计算采样信号或图像的傅立叶变换时，通常用DFT来实现。实现式(21)和(22)所需要的乘法和加法操作显然是N2，即使所有的复指数值都存在一张表中，这样计算量实在太大。幸运的是存在一类算法可以将操作降到(Nlog2(N))数量级［2—6］，这就是所谓的快速傅立叶变换(FFT)算法。N必须为可以分解为一些较小整数的乘积，当N是2的幕(即N=2，其中p是整数)时，效率最高，实现起来也最简单。注意，式(21)可以写成矩阵相乘其中…WN-1,N-1F=Wfni〃-〃兀e'nW0,其中…WN-1,N-1F=Wfni〃-〃兀e'nW0,N-1f0fN-1J(23)(24)(25)幕函数由于乘积ni而具有周期性，矩阵"有很好的对称性。矩阵可被分解为包含许多重复值(其中还有许多0和1)的NN矩阵相乘⑵。如果N=2p，则w可被分解为p个这样的距阵。实现p个这样的矩阵相乘所需的操作远远小于用式(23)计算所需。用了FFT后，计算量的减小因子为:N2Nlog2(N)log2(N)(26)这个值随N增长而增大，当N=1024时,FFT比直接计算效率提高了近100倍。8.1.6一些常用函数的傅里叶变换表8-1给出一些对我们有用的常见的傅立叶变换表8-1一些常用函数的傅立叶变换函数Ai)F(s)高斯矩形脉冲贝£)sin(yrs)徊三角脉冲A(f)前n2(曜)(仙尸冲激5(01单位阶跃)余弦正弦复指效8.2傅立叶变换的性质8.2.1对称性一般情况下，一个单实变量复值函数的傅立叶变换也是一个单实变量复值函数。但是也存在几类特定的函数，由于它们在傅立叶变换下所表现出的对称性，使之显得尤为引入注意。8.2.2.1奇偶性函数/(t)为偶函数当且仅当eTOC\o"1-5"\h\zfe(t)=f(-t)(27)函数f(t)为奇函数，当且仅当：0fo(t)=-f代t)(28)非奇非偶函数f(t)可被分为奇、偶两个组成部分1f(t)=」f(t)+f(-t)](29)e2和1f(t)=-[f(t)-f(-t)](30)o2这里f(t)=fe(t)+f(t)(31)现在，我们研究一下奇偶性对傅立叶变换的影响。由欧拉关系ejx=cos(x)+jsin(x)(32)可将式(1)的傅立叶变换改为：

(33)F(s)=jsf(t)e-j2^stdt=jsf(t)cos(2kst)dt-jjsf(t)sin(2心t)dt(33)-s将f(t)化为台偶两部分之和［式(31)］的形式则有:F(sF(s)=jsf(t)cos(2kst)dt+jsfo(t)cos(2kst)dte-s-s(34)-』sf(t)sin兀2st-1fsjf(t)縻in(寿td)t-s0e-s(34)-s0注意第二项和第三项是奇函数和偶函数之乘积的无限积分，这两项结果为零，从而傅立叶变换简化为;F(s)=jsf(t)cos(2kst)dt-jfsf(t)sin(2kst)dt=F(s)+jF(s)(35)e-s-s0e0e-s下面我们列出傅里叶变换的对称性偶函数分量变换为偶函数分量。奇函数分量变换为奇函数分量。奇函数分量引入系数-j。偶函数分量不引入系数。8.2.1.2实部和虚部利用上述四种规则可以推导出傅立叶变换对于复函数的作用。如果将一个复函数表示成四部分的和一一奇和偶的实部，奇和偶的虚部一一由此可以列出以下四条傅立叶变换规则:实的偶部产生实的偶部。实的奇部产生虚的奇部。虚的偶部产生虚的偶部。虚的奇部产生实的奇部。由于我们通常用实函数来表示输入图像，因此研究输入函数为实函数的情况尤为重要。注意，实函数的变换结果具有偶实部和奇虚部，这称为Hermite函数，它具有共轭对称性：(36)F(s)=F*(-s)(36)其中*表复数的共轭。表8-2列出了傅立叶变换的所有对称特性。注意逆变换［式(2)］和正变换［式(1)］仅在奇部的符号上有所不同；这意味着偶函数的正、逆变换是一样的。表8-2傅立叶变换的对称性质^10.2傅里叶变换的对称特性/(t)F(s)偶偶奇奇实偶实偶实奇虚奇虚偶虚偶复偶复偶复奇复奇实Hermite虚反Hermite实伞、如虚奇实实、奇、饷虚偶虚8.2.2加法定理假设有两个傅立叶变换对F{f(t)}=F(s)(37)F{g(t)}=G(s)(38)如果将两个时间函数相加，则他们之和的博里叶变换为：F{f(t)+g(t)}=f-[f(t)+g(t)]e-冲出-s(39)经整理得F{f(t)+g(t)}=fsf(t)e-J2kstdt+fsg(t)e-j赤stdt=F(s)+G(s)-s-s(40)即时域或空域内的相加对应于频域内的相加，如图10-1所示。这和系统中的线性概念相吻合。由加法定理可得F{cf(t)}=cF)(41)其中c为有理常数。我们将式(41)适用于任意常数作为一个公理。8.2.3位移定理位移定理描述了移动一个函数的原点对变换的影响。和以前一样，对于函数f(t)而言，我们有烘f)F(s)(42)其中a为位移量。将上式右边乘以可得到二1(43)F{/a-a))=p(44)fit-a)e-j2Tts{t-a)e-j2Ttstdt—coF{/a-a))=p(44)进行变量替换:du=dt(45)并将第二个指数项移到积分外,可得也2兀a'"0/沪邵su^du~2^as(S(46)—co因此，函数的位移会在其傅立叶变换中引入一项复系数，注意，如果a=0,则系数为单位1。复系数(47)sucoss—)jsinn(龙s)具有单位幅值，在复平面内的旋转角随着s增加而改变。这说明函数位移不改变其傅立叶变换的幅值(模)，但是改变了实部和虚部之间的能量分布，结果是产生一个与频率s和位移量a均成正比的相移。

(47)卷积定理也许是线性系统分析中员重要的一条定理。按式(37)和(38)中函数卷积的傅里叶变换可以表示为：(48)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"Fif(t)*g(农Mf(u)g(tu)-idusedt-s-8整理后得(49)\o"CurrentDocument"F{f(t)*g(t)}=jsf(u)jsg(t-u)e-j2兀stdtdu

-8-8(48)(49)由移位定理，我们有(50)F(f(t)*g(t)}=j8f(u)e-伽suG(s)du=G(s)f8f(u)e-伽Mu-8-8即(51)F{f(t)*g(t)}=F(s)G(s)这意味着在一个域(时域)中的卷积相当于在另一个域(频域)中的相乘，同样可得\o"CurrentDocument"F-1{F(s)*G(s)}=f(t)*g(t)(52)(50)(51)卷积定理指出了傅里叶变换的一个主要好处：与其在一个域中作不直观的，和难懂的卷积，不如在另一个域中作乘法，可以达到相同的效果。我们可以用卷积定理推导出冲激函数的傅里叶变换。回顾：(53)f(t)*5(t)=f(t)(53)就是说，任何函数和冲激函数卷积后不变。由卷积定理:(54)F(s)F{5(t)}=F(s)(54)因为上式对任意函数f(t)成立，我们可以选一个F(s)没有零值的函数(例如高斯函数);然后将等式两边同除以F(s)，得：F{5(t)}=1(55)由此证明冲激函数的傅里叶变换是单位l。8.2.5相似性定理相似性定理描述了函数自变量的尺度变化对其傅里叶变换的作用。改变自变量的尺度会将一个函数展宽或压缩。例如，在式(37)的自变量前乘上一个比例系数可使函数伸长或压缩，这使它的傅里叶变换变为:F{/(at)}=Mf(at)e-gdt-s将积分和指数都乘以a/a,得：F{f(at)}=Ljsf(at)e-j加F{/(at)}=Mf(at)e-gdt-s将积分和指数都乘以a/a,得：F{f(at)}=Ljsf(at)e-j加t(s/a)adta-s作变量替换u=atdu=adt(56)(57)(58)(59)(60)图8-2相似性定理即F{f(at)}=如果系数a大于1,函数f(t)在水平方向收缩，由式(60)可知傅里叶变换的幅值将缩小a倍，同时在水平方向扩展a倍。a小于1时作用相反，如图8.2所示。相似性定理意味着一个“窄”函数有一个“宽”的傅里叶变换，反之亦然。我们可以用相似性定理推导出高斯函数的傅里叶变换的一般表达式。回忆式(5)和式(10)，高斯函数的傅里叶变换也是高斯函数:由相似性定理:其中于是变换可表示为J｝fe—兀t2=e—兀s2二｝1Fe-兀(at)2=—e—兀(s/a)2ae—兀(a12=e~2/022-兀(at)2｝扣‘2兀b2e—2兀2b2s2由于它也是一个高斯函数，我们可定义其标准偏差为a,则:e—2兀2b2展=e—s2/2a2也就是s22兀2b22=2a2所以，对标准偏差等于任意b的高斯函数，其傅里叶变换为：F{—t2/2b2}寸2兀。2e—s2/2a2a=12兀b因此，对于一个标准偏差为b的单位幅值高斯函数，它的傅里叶变换也是数，幅值为b，标准偏差为1/2兀b。我们可以用相似性定理再次说明冲激函数的傅里叶变换是常数：假设f(t)=ae-冗(at)2其傅立叶变换为:F(s)=e-兀(s/a)2（61）（62）（63）（64）（65）（66）（67）（68）（69）个高斯函（70）（71）当a趋近无穷时，f（t）变窄，其幅值增长，趋近冲激，同时F（s）展宽，幅值趋近常数1。因此在极限情况下.高斯函数收缩为脉冲.而其傅里叶变换(展宽的高斯函数)则趋近于1。8.2.6Rayleigh定理有些函数是仅在有限区间内非零的函数，对于这一类函数，我们可以讨论其总能量。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"energy=卜f(t)|2dt(72)-s条件是其积分存在。对于瞬时函数，式(72)存在，并且它的能量是一个能反映函数总的“大小”的参数。Rayleigh定理指出：\o"CurrentDocument"L\f(t)|2dt=卜F(s)2ds(73)\o"CurrentDocument"-s-sRayleigh定理的证明如下，首先我们有jsIf(t)2d」sfVf()d^sf)fu)e=dtu0(74)-s-s-s即当u=o时第二个等式成立。由于f(t)通常是复数，我们利用*表示负数的共轭，将式(74)看做在频率u=o处取值的两个函数乘积的傅里叶逆变换。由于(75)(76)(77)\o"CurrentDocument"F-1{f(t)f*(t)}=F(u)*F*(-u)u=0我们可将卷积积分写作\o"CurrentDocument"F-i{f(t)f*(t)}=MF(s)F*(s—u)dsu=0-s将u=0代入，得\o"CurrentDocument"F-i{f(t)f*(t)}=fsF(s)F*(s)dsu=0-s(75)(76)(77)由此证明了式(73)，说明在两个域中能量相同。如果f(t)是实偶函数，则F(s)也是实偶函数，于是：(78)jsf2(t)dt=jsF2(s)ds-s-s(78)注意，Rayleigh定理与相似性定理是一致的：如果函数变窄，但幅值不变，显然它的能量将降低；相似性定理指出，压缩一个函数相当于展宽其变换.向时也缩减其幅值，从而保证在两个域中能量相等。8.3线性系统和傅里叶变换本节，将分析傅里叶变换在线性系统分析中所起的重要作用。8.3.1线性系统术语

图8.3表尔线性系统的常用术语。通常，信号的傅里叶变换称作该信号的谱，谱的傅里叶逆变换称作信号。类似地，冲激响应和传递函数形成一个傅立叶变换对。f(t)=输入信号F(s)=输入信号的谱g(t)=冲激响应G(s)=传递函数H(t)=输出信号H(s)=输出信号的谱图8-3线性系统术语8.3.2线性系统辨识通常.系统的冲激响应及其传递函数需要我们加以确定。确定的过程称为系统辩识(systemidentification)0对于图10-3所示的线性系统，由卷积定理可知：H(s)图8-3线性系统术语8.3.2线性系统辨识通常.系统的冲激响应及其传递函数需要我们加以确定。确定的过程称为系统辩识(systemidentification)0对于图10-3所示的线性系统，由卷积定理可知：H(s)=F(s)G(s)(79)由此可得G(s)=丝)F(s)丰0F(s)(80)因此g(t)=F-1］日IF{f(t))(81)这就是说，可以输入一个已知的f(t)，测量其输出h(t)，然后通过数字积分来计算g(t)o例如，假定f(t)是一个冲激函数，则h(t)就是冲激响应，这样就可以直接辨识系统。作为一个更有趣的例子.假定输人为:f(t)=n(t)(82)(83)图8-4系统识别，例1冲击响应售递函数则冲激函数为ms)sin2(兀s)g(t)=F(兀(83)图8-4系统识别，例1冲击响应售递函数则冲激函数为ms)sin2(兀s)g(t)=F(兀S)2

sin(兀s)*=n(t)(84)作为第二个离子，设如图8-5所示，输入为1八1-2,t<0/(t)=u(t)-2=j0,t=0R,t>0这是一个阶跃（边缘）函数，它的谱为输入(86)冲激响应图8-5楼递函数线性系统识别，例2如果系统的响应为1[r<这是一个阶跃（边缘）函数，它的谱为输入(86)冲激响应图8-5楼递函数线性系统识别，例2(87)h(t)=\t,-1<t<1(87)+1,t>1〔2此响应的谱为smg)H(s)=-j2(心)2则传递函数为TOC\o"1-5"\h\zG(s)=些=±1)(89)\o"CurrentDocument"F(s)心从而可得冲激响应为\o"CurrentDocument"g(t)=□(t)(90)在以上的离子中，系统的输出可被解析表示，从而辨识问题可直接解决。但是在通常情况下辨识过程是这样的；输出被数字化，通过数字积分变换输出和输入，直接计算式80)的比值，最后再用数字积分实现傅立叶变换的高效算法。注意在选择输入函数时必须谨慎，其谱中不能有零值。在例2中，我们违反了这条约束，但是幸运的是冲激响应在频率中的这些也为零。但是F(s)有过零点，H(s)也同样有，因此在数字实现反变换前，G(s)可以用一些周围点的值插值。8.4二维傅里叶变换到目前为止，我们已考虑了一维时域函数的傅里叶变换。在数字图像处理中，或是在光系统分析过程中，输入和输出通常是二维的，有些情况下是高维的。但我们在一维傅里叶变换所花的功夫没有白费，因为变换可以很容易地推广到高维。8.4.1定义二维函数的傅立叶、反变换分别定义为：(104)F(u,v)=jsjsf(x,y)e-j2兀(ux+vy)dxdy-s-s(105)F(尤,y)=卜卜f(",^)©2兀g+vy)dudv-s-s(104)(105)其中f(x,y)是一幅图像，F(u,v)是它的谱。通常F(u,v)是两个实频率变量u和v的复值函数，变量u是对应于x轴的，频率v对应于y轴。图8-8是一幅图像及其二维幅度谱，二维频率空间的每个点的幅值(实部和虚部的平方和的平方根)被规格化为显示灰度级。原点位于变换图像的中心，图像中的周期性噪声产生了变换中的尖峰信导。图8-8二维傅立叶变换8.4.2二维图8-8二维傅立叶变换如果g(i,k)是一个NxN的(就保用等间距的矩形网格对一个二维连续函数采样所得的)数组，则它的二维离散傅里叶变换为：G(m,n)=J-习》g(i,k)e一j2顶”n+tlN)(106)Ni=0k=0逆DFT(反变换)为g(i,k)=1云EG(m,n)e，2"“n*km)(107)Nm=0n=0和一维的情况一样，DFT和连续傅里叶变换很相似。一个在矩形网格上采样的带宽有限函数的二维DFT是连续傅里叶变换的一个特例。可分离性式(106)的指数可被分解，从而变换可写为：(108)G(m,n)=-L云[上习g(i,k)ej(nN)]ej(mN)

、'Ni=0、泌k(108)以此将二维DFT分解为水平和垂直两部分运算。在公或108)中方括号中的项表示在图像的行上计算的DFT，方括号外边的求和则实现结果数组在列上的DFT。这种分解使我们可以用一维FFT来快速实现二维DFT。二维逆DFT也可同样分解(离)。8.4.3短阵表示DFT用矩阵符号可以写做其中F=[F*]=^^^€~jg'Nl(110)是一个NxN的复系数核矩阵。F是一个酉矩阵，即矩阵的逆是它的复共扼的转置[F-1=(F*)t]。要得到一个酉矩阵的逆，只需简单地交换行和列的位置，并改变每个元素虚部的符号。由于F是对称的，因此转置也可省掉。注意，当我们计算二维卷积时(参看7.3.4)，通常将各行堆积为一个大的列向量，并用大的循环矩阵，但在计算二维DR时不必这样做。这是因为DR变换核函数盯被分解为行和列运算，而且F是一个酉矩阵。8.4.4二维傅里叶变换的性质表8-3归纳了二维傅里叶变换的性质。注意，从一维到二维的推广是很直接的。同时，二维傅里叶变换有几条性质在一维傅里叶变换小没有对应。其中一条性质是一幅二维图像可分解为一维分量的乘积，对于二维图像的语也一样。另一个是旋转性质施在计算机断层造影(CAT技术中很有用。拉普拉斯是一个全向二阶微分算子，通常用做边缘检测和边缘增强。注意，对一个函数使用拉普拉斯算子将在它的谱上乘驴2+v2项。由卷积定理，拉普拉斯算子对应于一个其传递函数随频率的平方增加的线性系统。表8-3二维傅立叶变换的性质性质空域频域加法定理J）+g（算t¥）F(3口)+C(u^v)相似性定理/（皿,切）焉F（令总）位移定量/(x-a,y-b)卷积定理可分离乘积f(^)g(y)■F(h)G(v)微分（*广以）很5。'2口）回（/2皿）堂（uty）旋转F(ticostf+iflint?,—+iJooeH)拉普拉斯▽小")=(土+罚/-/+t『)F(u^v)Rayleigh定理\Jl/Xx,y)dj=\WJIF(u,Q仲西血8.4.4.1可分离性假设(111)F(u,,v)=j8j8f(x)f(y)e-(111)F(u,,v)=j8j8f(x)f(y)e-j2兀(ux+vy)dxdy-8-812(112)整理得F（u,,v）=Lf（x）e-j次uxdxfMf（y）e-j2兀vydy=F（u）F（v）

-81-8212因此，如果一个二维图像可被分解为两个一维分量函数，则它的诺也可被分解为两个一(113)维分量函数。以二维椭圆高斯函数为例:e~(x2/2o2+y2/2o2)=e-x2/2o2e+y2/2o2(114)它可被分解为两个一维高斯函数的乘积。如果两个因子的标准方差相同，我们有:e-(%2+y2)/2a2=e-x2/2b2Q-y2/2b2（115）它是圆高斯函数。这个函数在光学系统分析中极其有用，因为它具有圆对称性，可以被分解为一维函数的乘积。8.4.4.2相似性相似性定理可被推广到二维情况:作变量替换:(117)从而dx=Adw+Bdz1dy=Adw+Bdz1(118)其中b□Jab-ab1221作变量替换:(117)从而dx=Adw+Bdz1dy=Adw+Bdz1(118)其中b□Jab-ab1221-a□2-baab一ab1221ab-ab1221a1ab-ab1221(119)F(u,,v)=J"J-"-"(116)于是傅立叶变换成为F{f(ax+by,ax+by}TOC\o"1-5"\h\z¥"22(120)=J"J"f(W,z)e-削(即+A2v知+即+B2v)zdzdo(AB+AB)-"-"1221=(AB+AB)F(Au+Av,Bu+Bv)12211212(120)8.4.4.3旋转由二维相似性定理可知，如果f(x,y)旋转一个角度q,则f(x,y)的谱也旋转相同的角度。b=siQisGn(121)A=b=siQisGn(121)A=siQisGn(122)F{f(xco@+ysGn-x=F(uco@+vsGn—uGinnjGi君vGcosGCos(123)假设我们将一个二维函数f(x,y)投影到x轴上得到一个一维函数

p(x)=I'f(x,y)dy-s则P(x)的(一维)傅里叶变换为；P(u)=IsIsf(x,y)d-yeuxdx-s-s(124)(125)但是p(u)可以写做:(124)(125)(126)P(u)=IsIsf(x,y)e-j2兀(ux-0y)dxdy=F(u,0)-s-s(126)因此，f(x,y)在x轴上投影的变换即为F(u,v)在u轴上的取值。结合旋转性我们可得:f(x,y)(图8-9)。投影性质是利用线扩展函数进行系统辨识和计算机断层造影术的基础。图8-9二维傅立叶变换的投影性质在与x轴成。角的直线上投影的傅里叶变换正好等于f(u,v)沿与(图8-9)。投影性质是利用线扩展函数进行系统辨识和计算机断层造影术的基础。图8-9二维傅立叶变换的投影性质8.4.5圆对称和Hankel变换许多重要的二维函数都具有因对称性，这意味着函数可表示为单个自变量即半径(剖面)(127)f(x,y)=f(r)(127)其中(128)现在我们看一下圆对称对二维傅里叶变换的作用。可以将f(x,y)的傅里叶变换写做IsIsf(x,y)e-j2兀(ux+ry)dxdy=Is12f(r)e-jE海泌-。)rdrdQ

-s-s00r我们已经将积分从直角坐标系变换到极坐标系，并做了下述变量替换：x+jy=refi和u+jv=城(130)于是可以整理式（129）,由于积分区间是余弦函数的整个周期，因此可以去掉其中的4，从而得F{f(x,y)}=r°f(r)[j2ke-j2兀qrcosOdQ]rdr现在考虑方括号内的积分，我们知道第一类零阶Bessel函数定义为:1…〜J(z)=2—j2e-j兀cos(Q)dO(131)(132)因此式（131）可写成F{f（x,y）}=2兀j"f（r）J（2兀qr）rdr注意，圆对称函数的傅里叶变换是单个自变量一一径向频率q的函数，即(133)其中:8.4.5.1Hankel变换F(u,v)=F(q)r表8-4某些函数的Hankel变换（134）（135）爵数Hr)F(q)倒数土高斯L冲激况r)nr矩形脉冲H（方）崩1（2玳G三角脉冲八（法）驾CJ0(x)dx-Jo(x)ax'Joaxr位移冲激§(r-a)2koJq(Ziroy)指数延迟-iir2me［（2叫户+疽］盟L[(2叫)2+/]皿次厂决（+-见待sin(2?rar)□3但a)r/一F对于圆对称函