2023高考真题知识总结方法总结题型突破：25 三角形中面积的计算问题(学生版)

专题25三角形中面积的计算问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．2．(2022·浙江)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．【知识总结】1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC．变形(1)a＝eq\f(bsinA,sinB)，b＝eq\f(asinB,sinA)，c＝eq\f(asinC,sinA)；(2)sinA＝eq\f(asinB,b)，sinB＝eq\f(bsinA,a)，sinC＝eq\f(csinA,a)；(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)．2．三角形面积公式S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r，R为别是△ABC内切圆半径和外接圆半径)，并可由此计算R、r．3．解三角形有关的二级结论(1)三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)．(2)三角形中的三角函数关系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠eq\f(π,2))；④sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；⑤coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠eq\f(π,2))．(3)三角形中的不等关系①在三角形中大边对大角，大角对大边．②A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB．③若△ABC为锐角三角形，则A＋B>eq\f(π,2)，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2．若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B<eq\f(π,2)，sinA<cosB，cosA>sinB．④c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角．⑤a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b．⑥若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinx＜x＜tanx．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则1＜sinx＋cosx≤eq\r(2)．(4)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．注意：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；②若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换；③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；④含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；⑤同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．【方法总结】三角形中面积的计算问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，此类问题一般是一问计算角或边，另一问计算面积．对于计算面积的一问一般用公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．但要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决．【题型突破】1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0．(1)若B＝eq\f(π,6)，求A，C；(2)若C＝eq\f(2π,3)，c＝14，求S△ABC．2．(2014·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB．(1)求角C的大小；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面积．3．(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2．(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．4．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos∠BAC＝－eq\f(1,3)，AB＝3eq\r(2)，BD＝eq\r(3)．(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．5．已知△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3．(1)求A；(2)若AD是BC边上的中线，AD＝eq\f(\r(19),2)，求△ABC的面积．6．已知△ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c．若csinA＝eq\r(3)acosC．(1)求角C；(2)若c＝eq\r(21)且sinC＋sin(B－A)＝5sin2A，求△ABC的面积．7．(2020·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．(1)若a＝eq\r(3)c，b＝2eq\r(7)，求△ABC的面积；(2)若sinA＋eq\r(3)sinC＝eq\f(\r(2),2)，求C．8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC－ccos(B＋C)＝－eq\f(b,3cosA＋B)．(1)求tanC；(2)若c＝3，sinAsinB＝eq\f(16,27)，求△ABC的面积．9．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，AD＝7，点D在BC上，且cos∠ADC＝eq\f(1,7)．(1)求BD；(2)若cos∠CAD＝eq\f(\r(3),2)，求△ABC的面积．10．在△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝eq\f(2π,3)，b＝eq\r(6)．(1)若cosAcosC＝eq\f(2,3)，求△ABC的面积；(2)试问eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝1能否成立？若能成立，求此时△ABC的周长；若不成立，请说明理由．11．(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2．(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．12．(2020·北京)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面积．条件①：c＝7，cosA＝－eq\f(1,7)；条件②：cosA＝eq\f(1,8)，cosB＝eq\f(9,16)．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．13．在①cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)；②csinC＝sinA＋bsinB，B＝60°；③c＝2，cosA＝eq\f(1,8)三个条件中任选一个填至横线上，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，________，求△ABC的面积S．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)14．从①B＝eq\f(π,3)，②a＝2，③bcosA＋acosB＝eq\r(3)＋1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝eq\r(6)，且________，求△ABC的面积S的大小．15．在条件①(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，②asinB＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，③bsineq\f(B＋C,2)＝asinB中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＋c＝6，a＝2eq\r(6)，________，求△ABC的面积．16．在①2ccosB＝2a－b，②△ABC的面积为eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)，③cos2A－cos2C＝sin2B－sinAsinB，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若c＝2且4sinAsinB＝3，求△ABC的面积．17．在①eq\r(3)sinB＝cosB＋1，②2bsinA＝atanB，③(a－c)sinA＋csinC＝bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，若________，求角B的值与△ABC的面积．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)18．在条件①btanA＝(2c－b)tanB，②cos2A＋2cos2eq\f(A,2)＝1，③eq\r(3)sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tanA)＋\f(1,tanB)))＝2sinC中任选一个，补充到下列问题中，并给出问题解答．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，b＋c＝6，a＝2eq\r(6)．(1)求角A的值；(2)求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．在①eq\f(b,a)＝eq\f(cosB＋1,\r(3)sinA)；②2bsinA＝atanB；③(a－c)sinA＋csin(A＋B)＝bsinB这三个条件中任选一个