工学第八章正弦电压和电流、相量法基础课件

第八章正弦电源作用下的动态电路、相量法基础本章讨论单一频率正弦电源作用下的动态电路分析；介绍相量法基础。返回目录第八章正弦电源作用下的动态电路、相量法基础本章讨论单一频18.1

正弦电压和电流8.1.1正弦电压和电流8.1.2正弦量的三要素8.1.3同频率正弦量的相位差8.1.4正弦电流、正弦电压的有效值8.1正弦电压和电流8.1.1正弦电压和电流28.1.1正弦电压和电流随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流（有时又称为交流电压和电流），它们的瞬时值可用时间t的sin函数或cos函数表示，在以后的讨论中，均将它们表为cos函数。当线性电路中所有的激励源都为同一频率的正弦交流电源时，若电路是稳定的，则电路进入稳定后，电路中各个电流和电压都是与电源同频率的正弦量，此时的电路称为正弦电流电路，简称为交流电路。8.1.1正弦电压和电流随时间按正弦规律变化的电压和电流称3给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，一定要先给出其参考方向。表达式和参考方向一起可确定正弦电压（电流）任一时刻的真实方向。给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，一定要先给出其参考方向。48.1.2正弦量的三要素

振幅

Im

角频率Im

是电流

i的最大值。是i的相角随时间变化的速度，称为角频率。单位：弧度/秒，电流

i的频率为

f

(赫兹、周/秒)，周期为

T(秒)，有如下关系8.1.2正弦量的三要素振幅Im角频率Im是5

初相位

ii是

t=0时刻i的相位，称为初相位（初相角）单位：弧度、度。由于

cos函数是周期函数，故i是多值的，一般取i的值与计时起点的选择有关。i0i0i0初相位ii是t=0时刻i的相位，称为6正弦量的振幅、初相位和角频率一旦确定，其变化规律就完全确定了。所以我们将振幅、初相位和角频率称为正弦量的三要素.正弦量的振幅、初相位和角频率一旦确定，其变化规律就完全确定了78.1.3同频率正弦量的相位差

同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。相位差

的单位：弧度、度。例:u与

i

的相位差

ui

（可简计为）为：

相位差是多值的，一般取。8.1.3同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差等于8同频率正弦量相位差的几种情况u与

i

同相u超前i

u滞后

iu与i

反相u与

i

正交同频率正弦量相位差的几种情况u与i同相u超前i9当两个同频率正弦量的计时起点改变时,它们的初相位会改变,但是由于两者初相位的改变量相同,因此它们的相位差保持不变.相位差反映的是两个同频率正弦量的相位关系,与计时起点的选择无关.当两个同频率正弦量的计时起点改变时,它们的初相位会改变,但是10例1：已知求

u1

与

u2

的相位差。解：即

u1

超前

u2

(2/3)弧度。例2：已知求

u与

i

的相位差。解：

u超前

i

(2/3)弧度。即例1：已知求u1与u2的相位差。解：即u1118.1.4正弦电压、电流的有效值若周期电流i的周期为T，则其有效值I定义为：以电流为例讨论。同样可推得正弦电压u的有效值为：正弦电流的有效值为：8.1.4正弦电压、电流的有效值若周期电流i的周期12有效值的物理意义：周期电流i1通过电阻R，R在一周期时间T内吸收的电能为恒定电流I2通过电阻R，R在T时间内吸收的电能为若有即则有有效值的物理意义：周期电流i1通过电阻R，R在一周期138.2.1复数的表示方法8.2.2复数的运算8.2.3正弦量的相量表示8.2正弦量的相量表示相量法是利用欧拉公式将正弦量表示为复数量,从而将正弦量的求导,积分,求和运算转变为复变量的代数运算,这样就大大减化了正弦电流电路的计算.8.2.1复数的表示方法8.2正弦量的相量表示相148.2.1复数的表示方法直角坐标形式：其中a1、a2

均为实数，a1是A的实部，a2是A的虚部。向量表示：a：复数A的模：复数A的辐角有：8.2.1复数的表示方法直角坐标形式：其中a1、15三角函数形式：指数形式（极坐标形式）：根据欧拉公式：可得：简写作：A＝a例1：已知，求其极坐标形式。解：故A＝44.72-116.57o例2：已知A=13112.6o，求其直角坐标形式。解：三角函数形式：指数形式（极坐标形式）：根据欧拉公式：168.2.2复数的运算取实部、取虚部加减法运算设则设则8.2.2复数的运算取实部、取虚部加减法运算设则17乘除运算例：设设则或则乘除运算例：设设则或则18定义：一个正弦量的相量是复常数。若给定正弦量的角频率，则正弦量和其相量之间是一一对应的关系。相量的运算规则即复数的运算规则。相量也可用复平面的向量图表示，称为相量图。可表示为：设某一正弦电流为称为电流

i的振幅相量。称为电流

i的有效值相量(简称相量)。有：可记为、8.2.3正弦量的相量定义：一个正弦量的相量是复常数。若给定正弦量的角频率19例1：已知解：求相量及，并画出相量图。画相量图时，和的长度采用不同的比例。例1：已知解：求相量及，并画出相量图。画相量图20解：例2：已知求i1及i2。也可直接写出正弦量表达式：由知得：解：例2：已知求i1及i2。也可直接写出正21引理1.唯一性引理：引理2.线性引理其中a1、a2

为实常数。当且仅当两个同频率正弦量的相量相等时，该两正弦量相等。，则有：若x1(t)与x2(t)同是角频率为的正弦量，且补充:相量法的几个引理引理1.唯一性引理：引理2.线性引理其中a1、22即证毕.证明：即证毕.证明：23引理3.微分引理：若x

(t)是角频率为的正弦量，且则也是角频率为的正弦量，且其相量为证明：设则证毕.引理3.微分引理：若x(t)是角频率为的正24例：求解：得例：求解：得25

8.3基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫电压定律时域方程：（对任一回路）在正弦稳态电路中，所有电压和电流都是同频率正弦量，对上式两边同时取相量，有相量形式方程：（对任一回路）基尔霍夫电流定律时域方程：（对任一节点）相量形式方程：（对任一节点）注意相量求和的含义！8.3基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫电压定律26例1：已知，求

i3。解例1：已知，求i3。解27例2：已知，求

uac。解：例2：已知，求uac。解：288.4电路元件VAR的相量形式电阻正弦稳态电路中，设时域方程：则对时域方程两边同时取相量，得：相量形式方程：8.4电路元件VAR的相量形式电阻正弦稳态电路中，29相量方程可分为两个实数方程：特点：u与i同频率的正弦量，相位相同，最大值或有效值之间满足欧姆定律；u与i幅值之比等于R。相量方程可分为两个实数方程：特点：u与i同频率的正30电感正弦稳态电路中，设时域方程：则对时域方程两边同时取相量，得：相量形式方程：电感正弦稳态电路中，设时域方程：则对时域方程两边同时取31相量方程可分为两个实数方程：特点：u超前i(/2)弧度；u与i幅值之比等于L，L反映电感对正弦电流的阻碍作用，这一阻碍作用随着电源频率的升高而增大。相量方程可分为两个实数方程：特点：u超前i(/232电容正弦稳态电路中，设时域方程：则对时域方程两边同时取相量，得：相量形式方程：电容正弦稳态电路中，设时域方程：则对时域方程两边同时取33相量方程可分为两个实数方程：特点：u滞后i(/2)弧度；u与i幅值之比等于(1/C),它反映电容对正弦电流的阻碍作用，这一阻碍作用随着电源频率的升高而减小。相量方程可分为两个实数方程：特点：u滞后i(/234受控源时域方程：正弦稳态电路中，各电流、电压均为同频率的正弦量。对时域方程两边同时取相量，得：相量形式方程：VCVSVCCSCCCSCCVSVCVS受控源特性方程的相量形式VCCSCCCSCCVS受控源时域方程：正弦稳态电路中，各电流、电压均为同频率的35第八章正弦电源作用下的动态电路、相量法基础本章讨论单一频率正弦电源作用下的动态电路分析；介绍相量法基础。返回目录第八章正弦电源作用下的动态电路、相量法基础本章讨论单一频368.1

正弦电压和电流8.1.1正弦电压和电流8.1.2正弦量的三要素8.1.3同频率正弦量的相位差8.1.4正弦电流、正弦电压的有效值8.1正弦电压和电流8.1.1正弦电压和电流378.1.1正弦电压和电流随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流（有时又称为交流电压和电流），它们的瞬时值可用时间t的sin函数或cos函数表示，在以后的讨论中，均将它们表为cos函数。当线性电路中所有的激励源都为同一频率的正弦交流电源时，若电路是稳定的，则电路进入稳定后，电路中各个电流和电压都是与电源同频率的正弦量，此时的电路称为正弦电流电路，简称为交流电路。8.1.1正弦电压和电流随时间按正弦规律变化的电压和电流称38给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，一定要先给出其参考方向。表达式和参考方向一起可确定正弦电压（电流）任一时刻的真实方向。给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，一定要先给出其参考方向。398.1.2正弦量的三要素

振幅

Im

角频率Im

是电流

i的最大值。是i的相角随时间变化的速度，称为角频率。单位：弧度/秒，电流

i的频率为

f

(赫兹、周/秒)，周期为

T(秒)，有如下关系8.1.2正弦量的三要素振幅Im角频率Im是40

初相位

ii是

t=0时刻i的相位，称为初相位（初相角）单位：弧度、度。由于

cos函数是周期函数，故i是多值的，一般取i的值与计时起点的选择有关。i0i0i0初相位ii是t=0时刻i的相位，称为41正弦量的振幅、初相位和角频率一旦确定，其变化规律就完全确定了。所以我们将振幅、初相位和角频率称为正弦量的三要素.正弦量的振幅、初相位和角频率一旦确定，其变化规律就完全确定了428.1.3同频率正弦量的相位差

同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。相位差

的单位：弧度、度。例:u与

i

的相位差

ui

（可简计为）为：

相位差是多值的，一般取。8.1.3同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差等于43同频率正弦量相位差的几种情况u与

i

同相u超前i

u滞后

iu与i

反相u与

i

正交同频率正弦量相位差的几种情况u与i同相u超前i44当两个同频率正弦量的计时起点改变时,它们的初相位会改变,但是由于两者初相位的改变量相同,因此它们的相位差保持不变.相位差反映的是两个同频率正弦量的相位关系,与计时起点的选择无关.当两个同频率正弦量的计时起点改变时,它们的初相位会改变,但是45例1：已知求

u1

与

u2

的相位差。解：即

u1

超前

u2

(2/3)弧度。例2：已知求

u与

i

的相位差。解：

u超前

i

(2/3)弧度。即例1：已知求u1与u2的相位差。解：即u1468.1.4正弦电压、电流的有效值若周期电流i的周期为T，则其有效值I定义为：以电流为例讨论。同样可推得正弦电压u的有效值为：正弦电流的有效值为：8.1.4正弦电压、电流的有效值若周期电流i的周期47有效值的物理意义：周期电流i1通过电阻R，R在一周期时间T内吸收的电能为恒定电流I2通过电阻R，R在T时间内吸收的电能为若有即则有有效值的物理意义：周期电流i1通过电阻R，R在一周期488.2.1复数的表示方法8.2.2复数的运算8.2.3正弦量的相量表示8.2正弦量的相量表示相量法是利用欧拉公式将正弦量表示为复数量,从而将正弦量的求导,积分,求和运算转变为复变量的代数运算,这样就大大减化了正弦电流电路的计算.8.2.1复数的表示方法8.2正弦量的相量表示相498.2.1复数的表示方法直角坐标形式：其中a1、a2

均为实数，a1是A的实部，a2是A的虚部。向量表示：a：复数A的模：复数A的辐角有：8.2.1复数的表示方法直角坐标形式：其中a1、50三角函数形式：指数形式（极坐标形式）：根据欧拉公式：可得：简写作：A＝a例1：已知，求其极坐标形式。解：故A＝44.72-116.57o例2：已知A=13112.6o，求其直角坐标形式。解：三角函数形式：指数形式（极坐标形式）：根据欧拉公式：518.2.2复数的运算取实部、取虚部加减法运算设则设则8.2.2复数的运算取实部、取虚部加减法运算设则52乘除运算例：设设则或则乘除运算例：设设则或则53定义：一个正弦量的相量是复常数。若给定正弦量的角频率，则正弦量和其相量之间是一一对应的关系。相量的运算规则即复数的运算规则。相量也可用复平面的向量图表示，称为相量图。可表示为：设某一正弦电流为称为电流

i的振幅相量。称为电流

i的有效值相量(简称相量)。有：可记为、8.2.3正弦量的相量定义：一个正弦量的相量是复常数。若给定正弦量的角频率54例1：已知解：求相量及，并画出相量图。画相量图时，和的长度采用不同的比例。例1：已知解：求相量及，并画出相量图。画相量图55解：例2：已知求i1及i2。也可直接写出正弦量表达式：由知得：解：例2：已知求i1及i2。也可直接写出正56引理1.唯一性引理：引理2.线性引理其中a1、a2

为实常数。当且仅当两个同频率正弦量的相量相等时，该两正弦量相等。，则有：若x1(t)与x2(t)同是角频率为的正弦量，且补充:相量法的几个引理引理1.唯一性引理：引理2.线性引理其中a1、57即证毕.证明：即证毕.证明：58引理3.微分引理：若x

(t)是角频率为的正弦量，且则也是角频率为的正弦量，且其相量为证明：设则证毕.引理3.微分引理：若x(t)是角频率为的正59例：求解：得例：求解：得60

8.3基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫电压定律时域方程：（对任一回路）在正弦稳态电路中，所有电压和电流都是同频率正弦量，对上式两边同时取相量，有相量形式方程：（对任一回路）基尔霍夫电流定律时域方程：（对任一节点）相量形式方程：（对任一节点）注意相量求和的含义！8.3基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫电压定律61例1：已知，求

i3。解例1：已知，求i3