一元线性回归模型及其应用分层作业解析版 -2021-2022学年下学期高二数学同步教学（人教A版（2019）选择性必修第三册）

8.2一元线性回归模型及其应用一、选择题1．（2021·全国高二课时练）某同学为了解气温对热饮销售的影响，经过统计分析，得到了一个卖出的热饮杯数与当天气温的回归方程.下列选项正确的是（）A．与线性正相关 B．与线性负相关C．随增大而增大 D．随减小而减小【答案】B【详解】由回归方程，可得：与线性负相关，且随增大而减小.2．（2021·黑龙江哈尔滨市九中高二月考）下列描述中正确命题的个数为（）（1）最小二乘法的原理是使得最小（2）样本相关系数越大，相关程度越大（3）设有一个回归方程，变量增加一个单位时，减少个单位A． B． C． D．【答案】B【详解】对于（1），最小二乘法是使得样本数据点到回归直线的距离的评分和最小的方法，即使得最小，故正确；对于（2），相关系数为负数时，样本相关系数越大，相关程度越小，故错误；对于（3），变量增加一个单位时，平均减少个单位，故错误；所以正确的命题个数为1个.故选：B3.已知x与y之间的成对样本数据：若y与x线性相关，则y与x的经验回归直线＝x＋必过()A.点(2,2) B.点(1.5,0) C.点(1,2) D.点(1.5,4)【答案】D【详解】∵＝＝1.5，＝＝4，∴经验回归直线必过点(1.5,4)．4.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其经验回归方程可能是()A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200C.＝－10x－200 D.＝10x－200【答案】A【详解】x的系数为负数，表示负相关，排除B，D；由实际意义可知x＞0，y＞0，显然C不满足，故选A.5.已知x与y之间的成对样本数据：已求得关于y与x的经验回归方程为＝2.2x＋0.7，则m的值为()A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5【答案】D【详解】＝＝1.5，＝＝，将其代入＝2.2x＋0.7，可得m＝0.5.6．（多选题）（2021·河南洛阳市高二期末）在用最小二乘法进行线性回归分析时，下列说法中正确的是（）A.由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心；B.由样本点，，…，得到回归直线，则这些样本点都在回归直线上；C.利用来刻画回归的效果，比的模型回归效果好；D.残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越低；【答案】AC【详解】线性回归直线必过样本点的中心，而样本点未必在回归直线上，即A正确，B错误；相关指数越大，拟合效果越好，C正确；残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，说明模型拟合精度越高，D错误.二、填空题7.已知经验回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4,5)，则经验回归方程是______________．【答案】＝1.23x＋0.08【详解】经验回归直线的斜率的估计值为1.23，即＝1.23，又经验回归直线过定点(4,5)，∴＝5－1.23×4＝0.08，∴＝1.23x＋0.08.8．（2021·全国高三专题练）在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动．经计算，则实数的值为________．【答案】【详解】令，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即，此时，代入，可得，解得.9．（2021·广东湛江市高二月考）某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：第天12345使用人数()151734578421333由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为________．【答案】【详解】令，则，1491625使用人数()151734578421333，，所以，所以，当时，，所以残差为.10．（2021·全国高三专题练习）已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生编号12345678数学成绩6065707580859095物理成绩7277808488909395给出散点图如下：根据以上信息，判断下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．其中正确的个数为________．【答案】1【详解】由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.三、解答题11．（2021·河南高二期中）为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x（单位：亿元）与该地区粮食产量y（单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：年份20142015201620172018补贴额x/亿元91012118粮食产量y/万亿2526313721（1）请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归直线方程；（2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴7亿元，请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.参考公式：，.【详解】解：（1）由表中所给数据可得，，，代入公式，解得，所以.故所求的y关于x的线性回归直线方程为.（2）由题意，将代入回归方程，可得，.所以预测2019年该地区的粮食产量大约为19.4万亿吨.12.中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是20℃)．(1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图(图略)，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即20℃)就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx＋20(x≥0)来刻画．①令z＝ln(y－20)，求出z关于x的经验回归方程；②利用①的结论，求出y＝kcx＋20(x≥0，c>0)中的k与c.(2)你认为该品种绿茶用85℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？参考数据：ln65≈4.2，ln59≈4.1，ln54≈4.0，ln51≈3.9，ln45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e－0.1≈0.9，e4.2≈66.7，≈0.6，参考公式：＝x＋，＝，＝－.【答案】解(1)①由已知得出x与z的关系，如下表：设经验回归方程＝x＋，由题意，得＝＝2，＝＝4，∴(xi－)(zi－)＝(－2)×0.2＋(－1)×0.1＋1×(－0.1)＋2×(－0.2)＝－1，(xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋12＋22＝10，则＝＝＝－0.1，＝－＝4＋0.1×2＝4.2，则z关于x的经验回归方程为＝－0.1x＋4.2.②由y＝kcx＋20(x≥0)，得y－20＝kcx(x≥0)，两边取