辽宁省辽南协作校高二（上）期末数学试卷

第20页（共20页）2020-2021学年辽宁省辽南协作校高二（上）期末数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知X的分布列为：X﹣101Pa设Y＝2X+1，则Y的数学期望E（Y）的值是（）A．﹣ B． C．1 D．2．（5分）某批数量很大的产品的次品率为p，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（）A．p3 B．p3（1﹣p） C．Cp3（1﹣p） D．Cp33．（5分）若n是正奇数，则7n+C7n﹣1+C7n﹣2+……+C7被9除的余数为（）A．2 B．5 C．7 D．84．（5分）设随机变量X～N（5，σ2），若P（X＞10﹣a）＝0.4，则P（X＞a）＝（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.25．（5分）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），O是坐标原点，+与的夹角为120°，则λ的值为（）A．± B． C．﹣ D．±6．（5分）现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（）A． B． C． D．7．（5分）要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84 B．54 C．42 D．188．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，圆x2+y2＝a2+b2与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，四边形AF2BF1的周长P与面积p＝4，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）（多选）9．（5分）在（2x﹣1）8的展开式中，下列说法正确的有（）A．展开式中所有项的系数和为28 B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C．展开式中二项式系数的最大项为第五项 D．展开式中含x3项的系数为﹣448（多选）10．（5分）下列命题中，正确的命题是（）A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p＝ B．已知P（BA）＝0.34，P（B）＝0.71，则P（B）＝0.37 C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝P，则P（﹣1＜ξ＜0）＝﹣p D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当X＝8时概率最大（多选）11．（5分）已知曲线C的方程为（k∈R），下列结论正确的是（）A．当k＝4时，曲线C为圆 B．“k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件 C．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为（多选）12．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C中，BC1⊥AB1、点D为AC中点，点E为四边形BCC1B1内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（）A． B．若DE∥平面ABB1A1，则动点E的轨迹的长度等于AC C．异面直线AD与BC1，所成角的余弦值为长 D．若点E到平面ACC1A1的距离等于，则动点E的轨迹为抛物线的一部分三、填空题13．（5分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有．14．（5分）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“0﹣1三角”．在“0﹣1三角”中，从第1行起设第n（n∈N+）次出现全行为1时，1的个数为an，则a3等于．15．（5分）将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配方法总数为a，则二项式（﹣）5展开式中含x项的系数为（用数字作答）16．（5分）已知M，N为抛物线y2＝8x上两点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，则|MN|的最小值为．四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占25%，二厂生产的占35%，三厂生产的占40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%，4%，2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？18．（12分）（1）直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P（2，1）到直线l的距离为2，求直线l的方程．（2）圆心在直线y＝﹣4x上，且与直线l：x+y﹣1＝0相切于点P（3，﹣2），求圆的方程．19．（12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；（Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．20．（12分）计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的中点．二面角P﹣AC﹣E的余弦值为．（1）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值；（2）求点D到平面ACE的距离．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线l交椭圆C于E，F两不同点（点E，F与点A不重合），且满足AE⊥AF，若点P满足，求直线AP的斜率的取值范围．

2020-2021学年辽宁省辽南协作校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知X的分布列为：X﹣101Pa设Y＝2X+1，则Y的数学期望E（Y）的值是（）A．﹣ B． C．1 D．【解答】解：由已知得++a＝1，∴a＝，∴E（X）＝﹣＝﹣，∵E（Y）＝2E（X）+1，∴E（Y）＝．故选：B．2．（5分）某批数量很大的产品的次品率为p，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（）A．p3 B．p3（1﹣p） C．Cp3（1﹣p） D．Cp3【解答】解：某批数量很大的产品的次品率为p，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是•P3•（1﹣P），故选：C．3．（5分）若n是正奇数，则7n+C7n﹣1+C7n﹣2+……+C7被9除的余数为（）A．2 B．5 C．7 D．8【解答】解：∵n是正奇数，则7n+C7n﹣1+C7n﹣2+……+C7+﹣1＝（7+1）n﹣1＝（9﹣1）n﹣1＝9n﹣C9n﹣1+C9n﹣2﹣…+C9﹣﹣1，∴它被9除的余数为﹣﹣1＝﹣2，即它被9除的余数为7，故选：C．4．（5分）设随机变量X～N（5，σ2），若P（X＞10﹣a）＝0.4，则P（X＞a）＝（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵X～N（5，σ2），若P（X＞10﹣a）＝0.4，∴P（X＜a）＝0.4，则P（X＞a）＝1﹣0.4＝0.6，故选：A．5．（5分）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），O是坐标原点，+与的夹角为120°，则λ的值为（）A．± B． C．﹣ D．±【解答】解：因为+λ＝（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）＝（1，﹣λ，λ），所以＝，＝，（+λ）•＝2λ，所以cos120°＝＝﹣，所以λ＜0，且4λ＝﹣，解得：λ＝﹣．故选：C．6．（5分）现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：A表示男生甲被选中，B表示女生乙被选中，则P（A）＝，P（AB）＝，∴．故选：A．7．（5分）要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84 B．54 C．42 D．18【解答】解：根据题意，分2种情况进行讨论：①，语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，则语文、数学的安排方法有2×3＝6种，在剩下的3节课中任选2个，安排两节英语，剩下的一节为自习，有C32＝3种情况，此时有6×3＝18种安排方法；②，语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午；语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午，有2种情况，安排在上午的有4种情况，则语文和数学安排方法有8种，在剩下的3节课中任选2个，安排两节英语，剩下的一节为自习，有C32＝3种情况，则此时有8×3＝24种安排方法；则有18+24＝42种不同的排法，故选：C．8．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，圆x2+y2＝a2+b2与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，四边形AF2BF1的周长P与面积p＝4，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【解答】解：由题知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，四边形AF2BF1的是平行四边形，|AF1|+|AF2|＝，联立解得，|AF1|＝a+，|AF2|＝﹣a，又线段F1F2为圆的直径，所以由双曲线的对称性可知四边形AF2BF1为矩形，所以S＝|AF1||AF2|＝﹣a2，因为面积p＝4，所以p2＝32S，即p2＝32（﹣a2），解得p2＝32a2，由|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，得2a2+＝4c2，即3a2＝2c2，可得e＝．故选：C．二、选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）（多选）9．（5分）在（2x﹣1）8的展开式中，下列说法正确的有（）A．展开式中所有项的系数和为28 B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C．展开式中二项式系数的最大项为第五项 D．展开式中含x3项的系数为﹣448【解答】解：对于（2x﹣1）8的展开式，令x＝1，可得A展开式中所有项的系数和为1，故A不正确．展开式中奇数项的二项式系数和为＝，故B正确；易知展开式中，二项式系数的最大项为第五项，故C正确；由通项公式可得展开式中含x3的项为，故D正确，故选：BCD．（多选）10．（5分）下列命题中，正确的命题是（）A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p＝ B．已知P（BA）＝0.34，P（B）＝0.71，则P（B）＝0.37 C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝P，则P（﹣1＜ξ＜0）＝﹣p D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当X＝8时概率最大【解答】解：随机变量服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，所以np＝30，np（1﹣p）＝20，解得，故选项A错误；因为P（B）＝P（B）﹣P（BA）＝0.71﹣0.34＝0.37，故选项B正确；随机变量ξ服从正态分布N（0，1），则图象关于y轴对称，若P（ξ＞1）＝P，则P（0＜ξ＜1）＝﹣p，所以P（﹣1＜ξ＜0）＝﹣p，故选项C正确；因为在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），当x＝k时，对应的概率P（x＝k）＝，所以当k≥1时，，由，解得44﹣4k≥k，所以，又因为k∈N*，所以1≤k≤8，k∈N*，则当k＝8时，概率P（X＝8）最大，故选项D正确．故选：BCD．（多选）11．（5分）已知曲线C的方程为（k∈R），下列结论正确的是（）A．当k＝4时，曲线C为圆 B．“k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件 C．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为【解答】解：曲线C的方程为，当k＝4时，曲线C为x2+y2＝2，表示圆，所以A正确；“k＝8”是“曲线C为双曲线，所以“k＞4”推不出曲线C为焦点在x轴上的椭圆”，反之成立，所以“k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要而充分不条件，所以B不正确；当k＝0时，曲线C为双曲线：，其渐近线方程为，所以C正确；存在实数k使得曲线C为双曲线，但是6﹣k≠2﹣k，所以其离心率不为，所以D不正确；故选：AC．（多选）12．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C中，BC1⊥AB1、点D为AC中点，点E为四边形BCC1B1内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（）A． B．若DE∥平面ABB1A1，则动点E的轨迹的长度等于AC C．异面直线AD与BC1，所成角的余弦值为长 D．若点E到平面ACC1A1的距离等于，则动点E的轨迹为抛物线的一部分【解答】解：对于选项A，，选项A错误；对于选项B，过点D作AA1的平行线交A1C1于点D1．以D为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz．设棱柱底面边长为a，侧棱长为b，则，，，，所以，．∵BC1⊥AB1，∴BC1•AB1＝0，即，解得．因为DE∥平面ABB1A1，则动点E的轨迹的长度等于．选项B正确．对于选项C，在选项A的基础上，，，D（0，0，0），，所以，，因为，．选项C正确．对于选项D，点E的轨迹为抛物线的一部分．选项D正确．故选：BCD．三、填空题13．（5分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有150．【解答】解：将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1，1，3或1，2，2．这种分组方法一共有N＝＝25，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内共有＝6种不同的分法．所以某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组的安排方法共有M＝N＝25×6＝150种．故答案为：150．14．（5分）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“0﹣1三角”．在“0﹣1三角”中，从第1行起设第n（n∈N+）次出现全行为1时，1的个数为an，则a3等于8．【解答】解：第1次出现全行为1是第1行，第2次出现全行为1是第3行，由此可知，第n次全行为1是在第2n﹣1行，所以第3次出现全行为1是第7行，共有8个1，即a3，＝8．故答案为：8．15．（5分）将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配方法总数为a，则二项式（﹣）5展开式中含x项的系数为﹣（用数字作答）【解答】解：将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人，则只能是1，2分组，则共有＝6种结果，即a＝6，则（﹣）5＝（﹣）5展开式的通项公式为Tk+1＝（）5﹣k（﹣）k＝（）5﹣k（﹣1）k，由5﹣＝1，得k＝3，即含x项为T4＝C（）2（﹣1）3x＝﹣x，则含x项的系数为﹣，故答案为：﹣．16．（5分）已知M，N为抛物线y2＝8x上两点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，则|MN|的最小值为16．【解答】解：设直线MN的方程为：x＝my+t，代入抛物线方程可得：y2﹣8my﹣8t＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8t，则x，又∠MON＝90°，所以＝t2﹣8t＝0，解得t＝8或0（舍去），所以y1y2＝﹣64，x1x2＝64，则|MN|＝＝＝8＝8，所以当m＝0时，|MN|min＝16．故答案为：16．四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占25%，二厂生产的占35%，三厂生产的占40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%，4%，2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？【解答】解：（1）设随后一天的空气质量为优良的概率是P，由已知可得，0.8P＝0.6，则P＝．故随后一天的空气质量为优良的概率是0.75；（2）设这批产品共有n件，则一厂生产的次品为25%×5%×n件，二厂生产的次品为35%×4%×n件，三厂生产的次品为40%×2%×n件．故从这批产品中任取一件是次品的概率是（25%×5%×n+35%×4%×n+40%×2%×n）＝0.0345．18．（12分）（1）直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P（2，1）到直线l的距离为2，求直线l的方程．（2）圆心在直线y＝﹣4x上，且与直线l：x+y﹣1＝0相切于点P（3，﹣2），求圆的方程．【解答】解：（1）当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，由题意知，，解得k＝，∴直线l的方程为y＝﹣x，即3x+4y＝0，当截距不为0时，设所求直线l的方程为x+y﹣a＝0．由题意知＝2，解得a＝3﹣或a＝3+，∴直线l的方程为x+y﹣3+2＝0，或x+y﹣3﹣2＝0．故所求直线l的方程为3x+4y＝0，x+y﹣3+＝0，x+y﹣3﹣＝0；（2）设要求的圆心为C（m，n），由于过P（3，﹣2）垂直于切线的直线必定过圆心，故该直线的方程为x﹣y﹣5＝0，则有m﹣n﹣5＝0，且n＝4m，解得：m＝1，n＝﹣4．故圆心C为（1，﹣4），r＝|CP|＝2．∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝8．19．（12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；（Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．【解答】解：（Ⅰ）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3．…（1分）P（ξ＝1）＝＝；P（ξ＝2）＝＝；P（ξ＝3）＝＝；…（3分）考生甲正确完成题数ξ的分布列为ξ123PEξ＝1×+2×+3×＝2．…（4分）设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3．…（5分）P（η＝0）＝；P（η＝1）＝＝，P（η＝2）＝＝，P（η＝3）＝＝．…（7分）考生乙正确完成题数η的分布列为：η0123PEη＝0×+1×+2×+3×＝2．…（8分）（Ⅱ）因为Dξ＝＝，…（10分）Dη＝npq＝．…（12分）所以Dξ＜Dη．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大．…（13分）20．（12分）计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．【解答】解：（1）记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，“丙获得‘合格证书’”为事件C，则从而P（A）＜P（B）＜P（C），所以丙获得“合格证书”的可能性大…（7分）（2）记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件D，则甲、乙、丙三人恰有两人获得“合格证书”的概率为：．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的中点．二面角P﹣AC﹣E的余弦值为．（1）求直线PA与平面EAC所成