5.1 任意角和弧度制解析版

④.变式1-3-2：如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).(1)(2)【答案】(1)；(2)或【解析】如题图①，以OA为终边的角为；以OB为终边的角为，所以阴影部分内的角的集合为：；如题图②，以OA为终边的角为；以OB为终边的角为.不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1=，M2=.所以阴影部分内的角的集合为:或.考点二扇形的弧长及面积公式的应用有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．角的弧度数公式(表示弧长)角度与弧度的换算①；②弧长公式扇形面积公式【例2】已知扇形的周长为，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积()A． B． C． D．【答案】B【解析】把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角设扇形半径为，则，，所以扇形的面积．变式2-1：已知扇形的半径为8，面积为20，则圆心角的弧度数为___________.【答案】【解析】设扇形面积为，圆心角所对的弧长为则，∴，∴圆心角的弧度数为.变式2-2：已知扇形的周长为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的面积为()A． B． C． D．【答案】C【解析】设扇形的半径为，弧长为，因为扇形的周长为，所以，即故扇形的面积为.变式2-3：一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．【答案】【解析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，则．①由扇形的面积公式，得．②由①②得，，∴．∴扇形的圆心角为．变式2-4：(多选)已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，下列选项正确的有()A．圆的半径为2 B．圆的半径为1C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2【答案】ABC【解析】设扇形半径为r，圆心角弧度数为，则由题意得或可得圆心角的弧度数是4或1，半径是1或2.变式2-5：若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l＝cm.【答案】【解析】设扇形的半径为rcm，如图．由(cm)，所以(cm)变式2-6：已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为()A． B． C．3 D．2【答案】D【解析】设扇形半径为，易得，则由已知该扇形弧长为.记扇形面积为,则,当且仅当，即时取到最大值，此时记扇形的圆心角为，则变式2-7：已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．【解析】(1)因为α＝100°＝100×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,9)，所以S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(5π,9)×4＝eq\f(10π,9).(2)由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，故S扇形＝eq\f(1,2