量化群论终极版

即基从变到；注：也可以这样推导：等式左边不插入，因为，因此只在右边插入，等式仍成立。以为例，现在左边不插入，和可对易，即得：。SS⁻1=即经过这样一个相似变换，从变到；从对称操作来说也还是这个对称操作，但表示矩阵和原来的表示矩阵不一样，因为基变了。即通过相似变换方块因子化了。类似地，我们可以得到其它对称操作的表示矩阵经过相似变换以后的结果，全部结果如下：

(7.4-21)注注：（7.4-18）和（7.3-9）的E表示略有不同，二者是等价表示，特征标相同。由于旋转方向不同，放的位置不同等原因，可以产生很多等价表示。（7.4-18）说明：1.经过相似变换后，矩阵方块因子化了。但阵迹不变。2.完成方块因子化过程后，可以明显看出，以为基的三维表示Γ=A1+E，A1是一维不可约表示，E是二维不可约表示。利用（7.3-19），不进行整个对角化过程，亦可完成Γ的分解，已如前述。Γ=A1+E和上面计算的结果一致。以上完成整个方块因子化的过程，亦可认为就是方块因子化的计算方案。3.由（7.4-18）还可看出σ是不可约表示A1的基，（π1，π2）是不可约表示E的基。3个H的1s轨道（a、b、c）经过上述线性组合构成了C3v群的不可约表示的基：σ属于A1不可约表示；（π1，π2）属于E不可约表示；N原子的2s、2px、2py、2pz轨道也按照对称性进行了分类；分子轨道是原子轨道的线性组合，根据组成分子轨道的对称性匹配原则，组合时只要将属于同一不可约表示的轨道进行组合即可，在本例中，就是属于A1的σ和属于A1的N的2s、2pz组合；属于E的π1π2和属于E的N的2px和2py组合。上述讨论的重要意义就在于此。群论是关于对称性的科学，原子轨道或分子轨道的对称性用不可约表示来标志是最全面最准确的二、对称性匹配的线性组合—群轨道投影算符方法上例中σ、π1、π2可以称为对称性匹配的函数（Symmetry-adaptedfunction），亦称群轨道，是不可约表示的基。这种组合称为对称性匹配的线性组合，简写为SALC。我们已经看出，如果从三个H的1s轨道a、b、c出发，按（7.4-16）进行线性组合，则得到的表示矩阵就是方块因子化的，σ正好构成A1不可约表示的基，（π1，π2）正好构成E不可约表示的基。在量子化学中，我们总是希望得到这种对称性匹配的函数，因为1.组成分子轨道时要用到对称性匹配原则，就要用这种函数，已如上述。2.我们在下面即将阐明，只要当波函数的对称性按不可约表示的基的意义明确定义后，我们就能很快地判断某些积分或矩阵元为零而不必进行数字计算。此外这种运算过程本身就是一种矩阵方块因子化的方案。那么怎么得到这种对称性匹配的线性组合呢？具体来说，以NH3为例，怎么知道从原来的3个H的1s轨道a、b、c出发，要按照（7.4-16）的方式来进行线性组合，得到σ、π1、π2正好是C3ν不可约表示的基呢？获得这种对称性匹配函数最一般的方法就是投影算符方法。投影算符的定义是=(7.4-22)其中R为群元素（对称操作），是第j个不可约表示操作R的第λ行第κ列的矩阵元，是这个第j个不可约表示的维数，h是群的阶。关于投影算符，我们介绍三条定理。定理一、设群G包含h个元素。G={E，A2···Ah}Γ(j)(R)是第j个不可约表示，其基函数为即(7.4-23)则(7.4-24)其中投影算符如（7.4-22）定义。（7.4-24）说明通过投影算符的作用，可以把第j个不可约表示的一个基变成另一个基。证明：首先解释一下（7.4-23）的意义。根据表象的意义有：R=即(7.4-25)和（7.4-20）有一点小的差别，为了说明这一点，见下：如果把基写成单行矩阵，则有R（······）=()即R=Γ(j)(R)ℷμ(7.4-23)可见(7.4-23)和(7.4-25)是完全等价的，都说明（μ=l···lj）是第j个不可约表示的基。注下面我们来证明这条定理。注：关于（7.4-23）和（7.4-25）的关系，还可以从整个矩阵的运算性质来说明：两边转置故说明必须在前，且矩阵中的正等于原中的。(7.4-20)两边乘，对R求和 R=Γ(j)(R)ℷμ(应用广义正交定理)=δμ’μδℷ’ℷ=δμ’μ当j’=jμ’=μ时，上式变成R=把ℷ’变成ℷR=即=R=(7.4-24)证完。定理二、若(7.4-24)则有R=(7.4-25)显然定理二是定理一的逆定理。证明：代入(7.4-23)，则有(7.4-26)两边的相同，故欲证(7.4-26)，只要证明下式即可，(7.4-27)把投影算符公式代入上式上式两边都乘R-1，并消去;(7.4-28)前面说过可以认为群的表象矩阵都已是酉矩阵，（这是广义正交定理成立的前提）因此所以(7.4-25)右端等于（根据群的性质，R-1S=S’也是群中元素）证明了(7.4-28)成立，由此(7.4-27)成立，最后(7.4-23)成立。定理三若则式中f为任意函数，整个定理的意义是：第j个不可约表示的投影算符，作用到任意函数f上去，只要不等于零，就得到第j个不可约表示的基函数。证明：由(7.4-27)有作用到任意函数f上所以证完作用到f上得到，就象几何学中把一个矢量投影到某一个坐标轴上一样，所以把称为投影算符。实用上又常常要用征特标定义的投影算符；为此首先定义对角矩阵元的投影算符，，显然，（7.4-29）定义（7.4-30）显然===（7.4-31）称为由第j个不可约表示的特征标所定义的投影算符，作用于任意函数f也可以获得第j个不可约表示的基证明如下：已知故是第j个不可约表示的基函数。也是第j个不可约表示的基函数，因为k维简并的本征函数构成k维不可约表示的基函数，简并本征函数的任意线性组合仍是属于该本征值的本征函数。由于不可约表示的表示矩阵往往是不知道的，只是知道特征标，因此P(j)是更常用的。由于这种（）类型的投影算符实际是型的投影算符相加的结果，即只是第j个不可约表示的基的某种线性组合，但在实际应用中（见下例），用它即可解决问题。下面我们还以NH3分子中H原子的1s轨道为例，来说明如何用投影算符来造对称性匹配函数。NH3属于C3v,其不可约表示已经得到:Ra为了得到对称性匹配的函数，我们在中任选一个，如选作为，首先作，即，如上表所示。先投影到表示上去，因为矩阵元都是实的故*可以去掉，另外，也可以不管，因为可以在最后将所得函数归一化，由于是一维表示，只有一个矩阵元，于是归一化后即得投影到表示：这和我们以前得到的结论一致。以后如果我们已经知道,则投影到表示就可以不必做了。一般来说，若先完成可约表示的分解，则用投影算符时，可做到“有的放矢”，从而使整个计算过程简化。投影到E表示，先用来做再用来做归一化后即得用来做同样等于零。用来做归一化后即得如果用或或来做，则得到同样结果。如果用特征标投影算符来作，则对表示显然和上面一样，下面讨论E表示。E表示的特征标为选归一化后给出我们知道E应该有两个基，故再选Rb的结果如上表所示。归一化后给出相似的函数这个结果是可以理解的，因为三个H本来是等同的，指标a、b、c是人为的，这种指标可以轮换。但是不正交，量子力学中常常要求获得正交基。获得正交函数的方法称为Schmicht方法，我们在这里结合这个具体例子介绍一下（参看第一章§4）造新函数以使正交，即显然若令，则上式为因为是归一化的。现在（利用a、b、c本身都是正交归一化的波函数。）于是我们得到归一化后得到已经得到。结果和前述完全一致。由上述讨论可见，用不同的第j个不可约表示的矩阵元的投影算符作用到同一个函数f上去，由于矩阵元有个，欲求的基函数为lj个，故是足够用的，而且所得的一套基函数（）一定互相正交，因为表示矩阵是酉矩阵。但是有时由于不可约表示的矩阵不知道，故使这种方法受到限制；用第j个不可约表示的特征标的投影算符P(j)求第j个不可约表示的基函数，因为只有一个P(j)，当lj≥2时，为求不同的基函数就一定要选择不同的函数f，此时所得的一套基函数不一定互相正交，因为f是任意的，最后需用Schmicht方法使之正交化。对一维表示（lj=1），两种投影算符实际上是一样的，所得结果当然完全相同。附录投影算符更一般的定义为：若算符P满足：P+=P（即P是自轭算符）P2=P（称P为幂等算符）即称P为投影算符。如P’=即为常见的投影算符，其中为任一归一化的态矢量。P’满足条件1）2）是显然的：1）P’+=（）+=（）+（）+==P’2）P’2==（根据的归一化性质）下面来说明P（（7.4-22）定义）和P（j）（（7.4-30）定义）是投影算符。1）（P）+=（P）*=（根据群的表象矩阵是酉矩阵的性质）=P2）PP==（因为RS=BR=BS-1）=（根据矩阵的乘法定义）=（根据群的表象矩阵是酉矩阵）==（根据广义正交定理）若当时由于是幂等算符，且作用到任意一个函数上去，只要不等于零，即得到第个不可约表示的基函数，因此通常把就称为投影算符。是自轭幂等算符，故也是自轭幂等算符，满足条件1）2）是投影算符。由此可见引入是为了保证幂等。表示的直积通过第五章的讨论我们知道，对多电子体系，我们常常用单电子波函数的乘积来表示体系整体的波函数（Hatree近似），与此连系的一个问题如下。若函数集合1、2构成群第个不可约表示的基。函数集合1、2构成群第个不可约表示的基。即（7.4-31）（7.4-33）下面我们要问：函数集合（总共有个函数）是否也构成该群的表示的基，什么是它的特征标？（7.4-34）由此可见，函数集合称为集合和集合的直积，它们也组成该群某一个表示的基。其表示矩阵（的矩阵元）为：称为矩阵的直积。矩阵的直积和矩阵的乘法不同，如A和B的直积如n=2m=3，则矩阵C就是6行6列的。而上述矩阵A和B的乘法则没有根本定义。下面介绍有关表示直积的几条定理（一）直积表示的特征标等于单个函数集合作为基表示的特征标的乘积。证明：下表示出基、表示、特征标三者之间的关系：基表示特征标fAfBfAfBΓAΓBΓAB=ΓAΓBхAхBхAB=хAхB例如，下面是C4v群的一些不可约表示的直积：C4vEc22c42σvσdA1A2B1B2E11111111-1-111-11-111-1-112-2000A1A2B1EA1EB2E21 1111111-1-1111112-20002-200044000若某分子属C4v点群，HOMO为A1，不可约表示的基用a1表示，LUMO为A2不可约表示的基用a2表示，则LUMOa2HOMOa1A12=A1A1A2=A2A22=A1基态激发态（=1\*ROMANI）激发态（=2\*ROMANII）由于A12=A1，故基态的对称性（用不可约表示标志）为A1；由于A1A2=A2，激发态（=1\*ROMANI）的对称性为A2；由于A22=A1，激发态（=2\*ROMANII）的对称性为A1。显然，关于两个表示的直积有关的定理可以推广到多个表示的直积。一般来说，两个或多个不可约表示的直积也有可能是可约表示，我们可以用上节介绍的定理（7.3-19）约化，如上例中：从上例中还可以看出=A1，=A2,E2包含A1,这是一个一般性的结论，可表述为定理（二）。（二）只有当不可约表示ΓA=不可约表示ΓB时，直积表示ΓAB中才包含全对称表示A1。证明：由（7.4-32）知χAB（R）=χA(R)χB（R）另外由上节定理（7.3-20）知Γi出现在可约表示ΓAB中的次数αi由给出，若α1和χ1对应于全对称表示A1，由于所有的χ1（R）都等于1，我们得到（7.4-36）因而（7.4-37）由上节定理三（7.3-11’）知

故α1=可见当AB不同时，α1=0。（证完）（由此我们还可以看到，当A1出现时（A=B），它总共只出现一次，因为α1=1。）（三）两个不等价不可约表示的基正交，即若为不可约表示ΓA的基为不可约表示ΓB的基,ΓAΓB则积分,若为实基，则可表示为对这个定理，我们做如下的论证：设，若则一定是全对称表示A1的基，或者是一个包含A1的可约表示的基。为什么?设若是某个非全对称一维表示的基，则必能找到点群中某一个对称操作，对，的表示是-1.则一方面eq\s(~,R(F))另一方面，s∫Fdτ=∫(sF)dτ=∫(－F)dτ=－∫Fdτ=－cc=－c所以c=0，即∫Fdτ=0只有F是全对称表示A1的基时，对点群中任何对称操作s都有s∫Fdτ=∫(sF)dτ=∫Fdτ=cs∫Fdτ=sc=cc≡c，故c可以不等于0。而有定理（二），欲使F是A1的基或是一个包含A1的可约表示的基，则ΓA必须等于ΓB。由此可见，若ΓA≠ΓB，则∫fAfBdτ=0，一般表示为∫fA*fBdτ=0。这个定理在量子力学中有很重要的作用，因为在量子力学中经常出现这样的积分：∫ψi*Hψjdτ和∫ψi*ψjdτ。Hamilton算符H代表分子的能量，我们知道对称操作R作用的结果，分子的能量不变，因此H属于全对称表示，整个积分因子ψi*Hψj的对称性完全由ψi*和ψj决定，由上述定理可知，只有当ψi和ψj属于同一个不可约表示时，这个直积表示中才能出现全对称表示，∫ψi*Hψjdτ才可能不为零。因此，结论是当ψi和ψj分属于不同的不可约表示时，积分∫ψi*ψjdτ=0；∫ψi*Hψjdτ=0。若判断这些积分为零，自然就不必进行计算，这样就可使量子化学计算简化。但前提是必须首先得到不可约表示基函数，方可应用这条定理。我们在第五章§4曾介绍过一条判断矩阵元是否为零的定理：若ψi和ψj是算符B的本征函数，具有不同的本征值，且算符A和B可对易，则积分∫ψ1*Aψ2dc=0(A、B均为Hermite算符)这两个定理是完全一致的，我们就一维表示（即非简并态）来证明这一点。当ψ1、ψ2为实函数时，上式可写为∫ψ1Aψ2dc=0如果我们把对称操作R也看作一个算符，则对非简并态，Rψ=±1ψ如对H2O分子，属于C2ν群，有四个对称操作：E，C2，，当ψ为O（氧）的2py轨道时（见图7—18）：EψO2py=1ψO,2pyc2ψO2py=－1ψO,2pyψO2py=－1ψO,2pyψO2py=1ψO,2py图7-18故ψO2py属于b2。类似考虑可知ψO,2px属于b1,ψO2pz属于。但同时我们也可以把C2视作算符，则ψO,2py就是一个本证函数，而－1就是本征值。ψO,2py和ψO,2px既然属于不同的不可约表示，则四个本征值中至少有一个是不同的，如σνψO2py=－1ψO,2pyσνψO2px=1ψO,2px。我们知道Hamilton算符H和任何一个对称操作R都可以交换，对σν也不例外。于是现在H=A,=B，根据前一定理∫ψO2pxψO,2pydτ=0，根据后一个定理得到这个结论更是不言而喻的。通过这条定理，我们还可以理解分子轨道理论的成键三原则中的对称性匹配原则，我们在前面讲到这条原则就是只有属于同一个不可约表示的轨道才能进行有效的线性组合，这也是要通过投影算符方法得到群轨道（即不可约表示基函数）的原因，现在通过这条定理我们知道，若两个轨道属于不同不可约表示，则QUOTE，QUOTE，这两个积分为0，即表示不能有效地进行线性组合。下面再以BF3为例说明上述理论的应用：对BF3分子，考虑到价轨道，即每个原子的2s和2p轨道，共有16个轨道，即：2sB（以下简写为sB,其余同。）ppp；sppp；sppp；spppzzyzyzxzxF3F2xzxF3F2yyByyBxxxzxzyF1yF1图7-19我们知道BF3是平面三角形分子，B位于三角形的中心，故属于D3h。和以前一样，我们规定x轴为键轴方向，故s和px轨道组成σ键，pypz轨道组成键，其中px轨道组成的轨道垂直于分子平面，故用p轨道表示；相应地py轨道组成的轨道，和分子平面平行，就用∥p轨道表示。对中心B原子的价轨道，我们求得其对称性质（即是哪个不可约表示的基）为对配位体来说(1)sss(sσ轨道)(2)ppp(pσ轨道)(3)ppp(∥p轨道)(4)ppp(p轨道)用投影算符方法可以构成对称性匹配的函数，这时用D3h的子群C更快一些，结果为其中A代表或A2，，E代表E¢或E²f1f2f3代表F原子上相应原子轨道的集合。即在上述(1)→(4)四种情况下，其对称性匹配函数都有相似的形式。由此可见原来16×16的久期行列式可以分解成以下几块：块（3×3）：,,块（1×1）：块（2×2）：,两个E¢块（4×4）：,,,,,,两个E²块（1×1）：因此总共只要计算21个不同的矩阵元。而原来要计算（162+16）/2=136个矩阵元，可见工作量大大减少。附录直积群的表示可以证明若群F是群G和群H的直接乘积即F=GÄH（定义见§1）G（GⅠ）、G（HⅡ）分别是G和H的某一个不可约表示，则一定是F的一个不可约表示，且c（i）是G（i）的阵迹即特征标。这是不难理解的，因为F中的群元素是G中的元素和H中的元素的乘积，故相应的表示矩阵应有直接乘积关系，与此相联系相应的特征标当然也就是相乘的关系了。但要注意的是这里讲的是两个群的直积群的不可约表示问题，前面讲的是同一个群的两个表示的直积问题，二者有所区别。一般来说同一群的两个表示的直积仍然是这个群的一个表示，但不一定是不可约的，也可能是可约的。利用这一点我们可以从二个比较小的群（子群）的特征标表造出一个比较大的群的特征标表（只要它们之间存在直积关系）。如D3d=D3×C设已知D3和Ci特征标表为D3E2c33c2A1111A211-1E2-10CiEIAg11Au1-1（D3和C3ν同构，Ci和C2同构。）利用，即可造出D3d的特征标表为D3dE×E‖E2c3×E‖2c33c2×E‖3c2I×E‖I2c3×I‖2s63c2×I‖3σdA1g1×1‖11×1‖11×1‖11×1‖11×1‖11×1‖1A2g1×1‖11×1‖1-1×1‖-11×1‖11×1‖1-1×1‖-1Eg2×1‖2-1×1‖-10×1‖02×1‖2-1×1‖-10×1‖0A1u1×1‖11×1‖11×1‖1-1×1‖-11×（-1）‖-11×（-1）‖-1A2u1×1‖11×1‖1-1×1‖-1-1×1‖-11×（-1）‖-1（-1）×（-1）‖1Eu2×1‖2-1×1‖-10×1‖0-1×2‖-2（-1）×（-1）‖10×（-1）‖0对一些比较复杂的特征标表如OhOhE6c43c428c36c2I6s43σk8s66σdA1g1111111111A2g1-111-1-1-111-1Eg202-10202-10T1g31-10-131-10-1T2g3-1-1013-1-101A1u11111-1-1-1-1-1A2u1-111-1-11-1-11Eu202-10-20-210T1u31-10-1-3-1101T2u3-1-101-3110-1则根据上述原理，我们马上就能看出这个特征标表实际可分为四部分IⅡ=IⅢ=IⅣ=I×（-1）原因是Oh=O×CiO和Ci的特征标表为OE6c43c428c36c2A111111A21-111-1E202-10T131-10-1T23-1-101CiEIAg11Au1-1故Oh的特征标表为常见的直积群有C3h=C3×CsC4h=C4×CsC5h=C5×CsC6h=C6×CsD2h=D2×CiD3h=D3×CsD4h=D3×CiD5h=D5×CsD6h=D6×CiD3d=D3×CsD5d=D5×CiS6=C3×CiTh=T×CiOh=O×Ci等。它们都可以根据上述关系，由两个子群的特征标造出其不可约表示的特征标。四、光谱选择定则体系从一个态（Ψi）跃迁到另一个态（Ψj），伴随着吸收一个光子hνΨjEjEΨiEiΨjEjEΨiEi图7-20hν如跃迁主要是电偶极跃迁，则跃迁强度I∝∫ΨiμΨjdτ（跃迁矩）（7.4-38）μ代表电偶极矩，这是最通常的跃迁类型。μ=μx+μy+μzμx=exμy=eyμz=eze为电子电荷从而I∝∫ΨiμxΨjdτ+∫ΨiμyΨjdτ+∫ΨiμzΨjdτ∝∫ΨixΨjdτ+∫ΨiyΨjdτ+∫ΨizΨjdτ（7.4-39）若这三个积分全为0，则I=0，即该跃迁强度I为0，即该跃迁是被禁阻的；否则只要有一个积分不为0，则该跃迁是允许的。如何来判断这些积分是否为0呢？以积分∫ΨixΨjdτ为例，若x属于不可约表示，ΨiΨj和x属于同一个不可约表示，则积分∫ΨixΨjdτ不为0，否则为0。或者说ΨixΨj三者相乘，则直积表示必须是A1，或含A1，则积分∫ΨixΨjdτ不为0，否则为0。推广到y、z，可得如下结论：若所研究的二个状态（Ψi，Ψj）表示的直积是或包含一个x，y或z所属的不可约表示，则该电偶极矩跃迁将被允许，否则就是禁阻的。这就是光谱的选择定则。应该指出这个选择定则对吸收光谱和发射光谱都适用；对紫外-可见、红外光谱都适用。原则上只要把（7.4-36）中的μ换成磁偶极矩、多极矩或极化率张量，则上述论证也适用于其它非电偶极矩跃迁的情况。例：萘属于D2h，选择萘分子所属平面为xy平面zzyx其特征标表为D2hEC2(z)C2(y)C2(x)iσ(xy)σ(xz)σ(yz)Ag11111111x2,y2,z2B1g11-1-111-1-1RzxyB2g1-11-11-11-1RyxzB3g1-1-111-1-11RxyzAu1111-1-1-1-1B1u11-1-1-1-111zB2u1-11-1-11-11yB3u1-1-11-111-1xCiEIAg11Au1-1群D2h=D2CiCi的特征标为因此D2h的特征标表可划分成4块（如虚线所示），左上块为D2的特征标，左下和右上块与左上块相同，右下块与之差一负号。基态是Ag从Ag跃迁到B1u、B2u、B3u都是电偶极跃迁允许的，因为Ag×B1u=B1u，B1u是z所属的不可约表示。同理跃迁到B2u、B3u允许，因为B2u是y所属的不可约表示，B3u是x所属的不可约表示，而跃迁到Ag、B1g、B2g、B3g、Au都是禁阻的。因此在振动光谱研究中称B1u、B2u、B3u为红外活性的，Ag、B1g、B2g、B3g、Au为红外禁阻的。同理可推知，如Ψi、Ψj表示的直积是或包含坐标的二次函数所属的不可约表示，则是Raman活性的，因为Raman光谱和分子极化率张量有关，极化率张量和直角坐标的二次函数：x2、y2、z2、xy、xz、yz有相同对称性，因此Ag、B1g、B2g、B3g是Raman活性的。习题1.试证群G中单位元素E是唯一的，元素A的逆元素A-1也是唯一的。2.(ⅰ)集合G={0，±1，±2，…，±n…}对于乘法而言，是否构成一个群？为什么？(ⅱ)集合G’={所有>0的实数}对于加法而言，是否构成一个群？为什么?(ⅲ)G’’={-1,0,+1}对于加法而言，是否构成一个群？对于乘法而言，是否构成一个群？为什么？构成C2h群的乘积表。构造C3v群的乘法表，说明具体步骤及所根据的理由。已知群G=｛E,A,B｝，用已有知识构建该群的乘法表。乘法表中第n行和第n列的排列顺序是否一样？何时一样，何时不同？7.设G是一个群，如果存在一个G的最少的元素组，由其中元素自乘或互乘可生成G的全部元素，则此元素组中的元素即称为G的生成元。试验证{C3，συ}中的C3，συ为C3υ的生成元。还有没有别的生成元？8.作C3υ群按子群{E，συ}的右分解。9.已知有子群和，哪个是不变子群？10.验证{1，，}在复数乘法下构成一个群，并且和点群C3={E，c3，}同构。11.验证点群C4={E,c4,,}和U={1,-1,I,-i}:数的乘法V={↑,↓,←,→}ββ:动作↑：立正，↓：向后转，←：向左转，→：向右转；同构。验证Cnv群与Dn群同构，Td群与O群同构，找出其元素之间的对应关系。验证群G={1，-1}和C2v、C4同态，找出元素之间的对应关系。14.设a，b为实数，矩阵集合{（）}在矩阵乘法下构成群；全体复数a+bi在复数乘法下构成群。证明它们同构。15.验证在定义“乘法”为fifj(x)=fi(fj(x))(复合函数)下构成一个群，并且和点群C3υ同构。16.对D3h群包含的元素进行分类。17.证明指数为2的子群必为不变子群。18.由G=C3h=ChC3验证ⅰ.各个直因子的共同元素只有单位元素ⅱ.各个直因子都是G的不变子群。19.C3v群能否写出C3群和另一个群G的直接乘积？如能写出，G是什么？如不能，则说明为什么？20.C6={E，cσ，c3，c2，，}能否进行直积分解？如能，则分解之。21.指出BF3分子的所有对称元素，并说明:i.有没有对称中心i？ii.有没有σv和c2，如有，二者有何区别？iii.BF3属于什么点群？22.找出立方体的所有对称元素，并说明它属于Oh群。23.i.如把一个正八面体中的两个对顶染成另外一种颜色，它属于什么点群？ii.确定下列分子所属点群CH2Cl2，CH2CHCl反式CHCl=CHCl，C2H2,C2H4，萘，IF7（五角双锥），C6H5Cl，HCN,CO2,BrF5(四方锥)，[PtCl6]2-,[CrBr2(H2O)4