矩阵可对角化的充分必要条件论文

PAGE学号20080501050116密级兰州城市学院本科毕业论文矩阵可对角化的充分必要条件学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：练利锋指导教师：李旭东二○一二年五月BACHELOR'SDEGREETHESISOFLANZHOUCITYUNIVERSITYMatrixdiagonalizationofthenecessaryandsufficientconditionCollege:MathematicsSubject:MathematicsandAppliedMathematicsName:LianLifengDirectedby:LiXudongMay2012郑重说明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的，所以数据、资料真实可靠。尽我所能，除文中已经注明应用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有的著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。本人签名:日期:摘要矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化ABSTRACTMatrixdiagonalizationisaveryimportantnatureofmatrix．Understandingthenecessaryandsufficientconditionsofsimilaritycanbediagonalized,hasbeenadifficultprobleminlinearalgebra．Inthispaper,severalnecessaryandsufficientconditionsandthecorrespondingproofsofmatrixdiagonlizationhavebeengiven．Keywords：square；eigenvalue；eigenvector；diagonalization目录TOC\o"1-2"\h\z\u第1章绪论 1第2章矩阵可对角化的概念 22.1特征值、特征向量的概念 22.2矩阵可对角化的概念 2第3章矩阵可对角化的充分必要条件 43.1矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 43.2可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 8第4章矩阵可对角化的应用 9第5章结论 11参考文献 12致谢 13PAGE12第1章绪论矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容。人们对此研究得出了很多有用的结论。诸如一些充要条件：阶方阵可以对角化的充要条件是它有个线性无关的特征向量；方阵可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。然而,所有这些结论都相对比较抽象,特别是对于大学一年级的新生，抽象化的结论不便于学生的理解和记忆，因此,一些学生在学完《高等数学》和《线性代数》的相关知识后不久,便相继忘掉了一些重要的结论。但是,一个普遍的现象是这些学生对高中、初中的数学知识比较熟悉,且记忆深刻，因此,若能将一些大学数学知识和高中、初中的一些知识进行类比,则这些新的数学知识与理论便会易于理解和记忆。在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。第2章矩阵可对角化的概念2.1特征值、特征向量的概念定义1设是数域上线性空间的一个线性变换,如果对于数域中的一个数存在一个非零向量使得,那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。求方阵的特征值与特征向量的步骤：(1)由特征方程=0求得的个特征值，设是的互异特征值,其重数分别为则。(2)求解齐次线性方程组,其基础解系()就是所对应特征值的线性无关的特征向量。2.2矩阵可对角化的概念定义2设是矩阵上一个阶方阵，如果存在数域上的一个可逆矩阵,使得为对角形矩阵，那么就说矩阵可以对角化。任意方阵的每一个特征值都有一个与之相对应的特征向量满足，则这个方程可以写成,（1）我们定义矩阵,则（1）式可写成,若矩阵是可逆阵，则有引理1设、都是阶矩阵,则有秩≥秩+秩。引理2设()为阶方阵的所有互异特征值，则矩阵的线性无关的特征向量的最大个数为。证明设()为阶方阵的所有互异特征值，因为特征值相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组的基础解析所含向量的个数，所以特征值相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为，，…，，而矩阵的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵线性无关的特征向的最大个数为。引理3设为阶方阵,是任意两两互异的数,则。第3章矩阵可对角化的充分必要条件3.1矩阵可对角化的充分必要条件及其证明定理1数域上阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。证明（1）充分性假设是矩阵的个线性无关的特征向量，即有,令矩阵由特征向量组成，因为是线性无关的，因此矩阵是非奇异矩阵，其逆矩阵记为，根据逆矩阵的定义有=，另一方面，由易知,=,给此式左乘矩阵，则有=，即充分性得证。（2）必要性令矩阵和对角形矩阵相似，即存在可逆矩阵使得,则有,于是记=()，则可以写成=()即有,这说明矩阵的列向量是矩阵的特征向量，而已知是可逆阵，故的个列向量线性无关，必要性得证。定理2设，则可以对角化的充分必要条件是：(1)的特征根都在数域内,(2)对的每个特征根,有，，其中是的重数。条件(2)也可改述为：特征根的重数等于齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。条件(2)还可改述为：令有，即属于的不同特征根的线性无关的特征向量总数是。条件(1)，(2)还可改述为:的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于。证明设是的所有不同的特征根,是齐次线性方程组的一个基础解系，则的特征向量一定线性无关。如果,则有个线性无关的特征向量,从而可以对角化。若可以对角化,则属于的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是。若不然,则由定理1可设的个线性无关的特征向量为,设是属于特征根的特征向量，则可由线性表出，从而可由向量组线性表出，于是，rank{}rank{}=与线性无关矛盾。定理3设是阶复矩阵,则与对角形矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式无重根。证明充分性因无重根,由|知,的每个不变因子都不能有重根，从而特征矩阵作为复数域上的矩阵,其初等因子全为一次式，故必与对角阵相似。必要性因与对角阵相似,特征矩阵的初等因子必均为一次式,故最后一个不变因子也只能是不同的一次因式之积，这就证明了最小多项式无重根。此定理3所给出的判别矩阵与对角矩阵相似的条件,形式上还可削弱,我有:定理4设是维向量空间的一个线性变换，的矩阵可以对角化的充分必要条件是可以分解为个在之下不变的一维子空间的直和。证明必要性若可以对角化，则存在的一组基使得在这组基下的矩阵为，令,则，事实上：（1），则，又,，即。（2）,，且，且,，又，，,,即又线性无关=0,,即=0。充分性若可分解为个在之下不变的一维子空间的直和,即,设的基分别为则可构成的一组基。令，在基下的矩阵为，即可以对角化。定理5设是数域上的一个阶矩阵，的特征根全在内，若是的全部不同的特征根，其重数分别为，则可对角化的充要条件是秩。证明设可对角化，则存在可逆矩阵,使这里右边是分块对角矩阵，为阶单位阵，于是有秩=秩=秩=秩=秩=秩=。反之，若秩=，则反复用本文引理1可得：=，于是有=。从而=，这样可对角化。定理6设为阶方阵,则可以对角化的充要条件为存在两两互异的使得。证明必要性设阶方阵可以对角化,()为的所有互异特征值,由引理2及定理1，从而有个线性无关的特征向量,即故，再由引理3得0，从而有。充分性设为阶方阵且存在两两互异的数使得，记为=。设为的特征值，则必为的特征值，从而。所以,因此矩阵的特征值的取值范围为，显然当可逆时，不是的特征值；当可逆时，是的特征值。因为线性方程组的基础解系所含向量的个数即为的特征值的重数(当可逆时,不是的特征值,此时)。从而矩阵线性无关的特征向量的最大个数为。再由引理3，当时，所以，即阶方阵有个线性无关的特征向量,从而可以对角化。3.2可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤具体步骤设，求可逆矩阵，使为对角矩阵的步骤是:(1)求矩阵的全部特征根；(2)如果的特征根都在数域内(否则不可对角化),那么对每个特征根,求出齐次线性方程组的一个基础解系；(3)如果对每个特征根,的基础解系所含解向量个数等于的重数(否则不可对角化),那么可对角化,以所有基础解系中的向量为列即得阶可逆阵,且是对角阵,而对角线上的元素是的全部特征根。第4章矩阵可对角化的应用判断矩阵是否可以对角化。解的特征多项式===解得的特征值是（重），（重），对于特征根-4，求出齐次线性方程组的一个基础解系，对于特征根2，求出齐次线性方程组的一个基础解系，由于基础解系所含解向量的个数等于对应的特征根的重数，所以可以对角化。取,那么例2设是两个不同的数，又阶矩阵满足，证明相似于对角阵。证明若，或则或结论显然成立。故可设，此时首先证明是的特证值。由于，故有，使得,又，于是是的属于特征值的特征向量，同理是的特征值。又设是的基础解，因而是的属于的线性无关的特征向量，设是的线性无关的特征向量，故可知线性无关，设是任一维向量，有，令，，则有，，，因此有，，故可被线性表示，于是为基，令则。第5章结论随着现代科学技术的发展，特别是电子计算机技术的发展，为矩阵理论的研究进一步开辟了更加广阔的前景，因此学习和掌握矩阵论的基本理论与方法，对于工程技术人员、高等理工科院校研究生、本科生是必不可少的，并且有着重要的意义和应用价值。矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而矩阵的对角化是矩阵论中的一个重点内容。本文论述了矩阵可对角化的基本理论，在此基础上探讨了矩阵可对角化的充分必要条件，使我们更轻松的理解并掌握矩阵的对角化问题。参考文献[1]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2007.[2][苏]普罗斯库烈柯夫,周晓钟译.线性代数习题集[M].北京:人民教育出版社,1981.[3]张枚.高等代数习题选编[M].浙江:浙江科学技术出版社,1981.[4]秦松喜.高等代数新编[M].厦门:厦门