空间向量法解决立体几何问题课件

利用空间向量解决立体几何问题数学专题二1利用空间向量解决立体几何问题数学专题二1二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；

(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；

3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量2二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；一.引入两个重要的空间向量

1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB3一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.

αn42.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?

如图,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.abnα53.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?abn(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.6(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:第一步(设):设出平面例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy7例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面A解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）8解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,得平面OA1D1(2)求平面的法向量的坐标的特殊方法:第一步:写出平面内两个不平行的向量

a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),第二步:那么平面法向量为9(2)求平面的法向量的坐标的特殊方法:第一步:写出平面内两个二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥babab10二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系a例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD11例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是证明：设a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

12证明：设a,b,(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.naααnaLL13(2)直线与平面的位置关系naααnaLL13例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy14例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B1解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,从而A1E⊥平面DBC1(2),而

n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC115解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥ββαβαn2n1n1n216(3)平面与平面的位置关系βαβαn2n1n1n216例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D117例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得于是，设：正方体的棱长为2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),18证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,1.什么是传统机械按键设计？传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。传统机械按键设计要点：1.合理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷。2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议留0.05~0.1mm，以防按键死键。3.要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防按键手感不良。传统机械按键结构层图：按键开关键PCBA1.什么是传统机械按键设计？传统的机械按键设计是需要手动按压2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.202.求空间中的角(1)两异面直线的夹角20例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD21例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,那么M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),∴cosθ=|cosα|设DB1与CM所成角为θ,与所成角为α,于是：22解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,设L与α所成的角θ,n与a所成的角α

则θ=α-或θ=-α

于是,因此θθnααnaa23(2)直线与与平面所成的角θθnααnaa23例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO24例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)得由，解得，取y=,得n=(3,,0)，设与n夹角为α而∴故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30°.25解:建立如图示的直角坐标系,则25（3）二面角设n1

、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n2αβn1n226（3）二面角n1n2αβn1n226例7在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS27例7在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2

=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ满足

∴二面角A-SD-C的大小为.28解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则B（1，03.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,

这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.∴

即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.nabAB293.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离nabAB29例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A130zxyABCDD1C1B1A130解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴异面直线AC1与BD间的距离31解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则(2)点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.

==.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.nABHαθ32(2)点到平面的距离nABHαθ32例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距离.zxyCC1A1B1AB33例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得

n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.34解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,侧棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离.xzyPBEADCF35会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化解:以A为原点、AB为x轴、△ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F为CD的中点,于是A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2).设面BED的法向量n=(x,y,z),由得

n=(1,,2).∵∴n·2+6-8=0，故PC∥面BED,∴PC到面BED的距离就是P到面BED的距离,∵∴.36解:以A为原点、AB为x轴、△ACD中CD边上的高AF为y轴空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。37空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离利用空间向量解决立体几何问题数学专题二38利用空间向量解决立体几何问题数学专题二1二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；

(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；

3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量39二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；一.引入两个重要的空间向量

1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB40一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.

αn412.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?

如图,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.abnα423.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?abn(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.43(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:第一步(设):设出平面例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy44例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面A解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）45解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,得平面OA1D1(2)求平面的法向量的坐标的特殊方法:第一步:写出平面内两个不平行的向量

a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),第二步:那么平面法向量为46(2)求平面的法向量的坐标的特殊方法:第一步:写出平面内两个二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥babab47二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系a例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD48例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是证明：设a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

49证明：设a,b,(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.naααnaLL50(2)直线与平面的位置关系naααnaLL13例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy51例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B1解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,从而A1E⊥平面DBC1(2),而

n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC152解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥ββαβαn2n1n1n253(3)平面与平面的位置关系βαβαn2n1n1n216例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D154例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得于是，设：正方体的棱长为2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),55证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,1.什么是传统机械按键设计？传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。传统机械按键设计要点：1.合理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷。2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议留0.05~0.1mm，以防按键死键。3.要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防按键手感不良。传统机械按键结构层图：按键开关键PCBA1.什么是传统机械按键设计？传统的机械按键设计是需要手动按压2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.572.求空间中的角(1)两异面直线的夹角20例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD58例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,那么M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),∴cosθ=|cosα|设DB1与CM所成角为θ,与所成角为α,于是：59解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,设L与α所成的角θ,n与a所成的角α

则θ=α-或θ=-α

于是,因此θθnααnaa60(2)直线与与平面所成的角θθnααnaa23例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO61例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)得由，解得，取y=,得n=(3,,0)，设与n夹角为α而∴故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30°.62解:建立如图示的直角坐标系,则25（3）二面角设n1

、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n2αβn1n263（3）二面角n1n2αβn1n226例7在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS64例7在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2

=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ满足

∴二面角A-SD-C的大小为.65解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则B（1，03.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,

这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.∴

即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.nabAB663.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离nabAB29例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A167zxyABCDD1C1B1A130解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴异面直线AC1与BD间的距离68解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则(2)点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB