2013参考数学建模常用方法：整数规划资料

其次章整数规划1．整数规划的基本概念2．分枝定界法解整数规划3．０－１规划4.指派问题的解法第一节概述人们探讨某些线性规划问题，有时必需把全部或部分决策变量限制为整数。这样的线性规划问题，通常称为整数规划。作为线性规划的特殊状况，整数规划也有最小化和最大化之别。此外，整数规划还可以分成纯整数规划和混整数规划。二者的区分在于：前者的决策变量必定全部取整数。而后者的决策变量只是部分取整数。例1某医药公司现有两个制药厂A1和A2，三个销售店B1、B2和B3。公司准备由两个拟建的制药厂A3和A4中选择一个，来兴建新厂。各销售店每周药品需求量见表2-1。各制药厂每周药品产量和每箱药品运费见表2-2。新厂投产后，估计每周的操作费（含折旧费）：A3是100元，A4是120元。在两个拟建的制药厂中，应当选择哪个呢？销售店需求量（箱/周）

B150

B260

B330产量制药厂(箱/周)运资(元/箱)

B1

B2

B3

A150323

A2701058

A3201310

A420453表2－1表2－2

设：制药厂Ai每周运到销售店Bj的药品为xij箱（i=1,2，3，4；j=1，2，3）；解：建立数学模型

两个老厂A1和A2及一个新厂A3和A4每周的总费用为y元。新厂厂址的选择应当确保y达到最小值。于是，y是目标函数，xij、u和v都是决策变量。它们之间的关系可以表述为：y=3x11+2x12+3x13（A1每周的运费）+10x21+5x22+8x23（A2每周的运费）+x31+3x32+10x33（A3每周的运费） +4x41+5x42+3x43（A4每周的运费） +100u（A3每周的操作费） +120v（A4每周的操作费）(1)u和v全是0－1变量：约束条件：x11+x

12+x13≤50x21+x

22+x23≤70x31+x

32+x33≤20ux41+x

42+x43≤20vu,v=0,1(2)由A3和A4选择一个来兴建新厂：u+v=1(3)每个制药厂每周运到各销售店的药品不会超过其产量：(4)每个销售店每周药品的需求量能够得到各制药厂的充分供应：（5）药品箱数确定取非负值：

xij≥0x11+x21+x31+x41=50

x12+x22+x32+x42=60

x13+x23+x33+x43=30例1的数学模型为：Miny=3x11+2x12+3x13+10x21+5x22+8x23+x31+3x32+10x33+4x41+5x42+3x43+100u+120vx11+x

12+x13≤50

x21+x

22+x23≤70

x31+x

32+x33≤20u

x41+x

42+x43≤20vx11+x21+x31+x41=50

x12+x22+x32+x42=60

x13+x23+x33+x43=30xij≥0(i=1,2,3,4;j=1,2,3)u,v=0,1

本数学模型属于最小化混整数规划例2某医疗器械厂生产A1和A2两种产品。出厂前，每种产品均须经过两道工序：先用机器B1制造，后由机器B2包装。每台产品的利润和加工时间见表2-3。在下周内，机器B1和B2分别可以运用45小时和6小时。问怎样支配下周的生产任务，才能使所获利润最大？解：建立数学模型设：在下周产品A1和A2分别生产x1合和x2合，所获利润为y百元。例2的数学模型为：产品利润（百元/合）加工时间（小时/合）B1B2A1551A2891表2-3最大化纯整数规划其中：“xk´为整数”,称为整数条件。一般地，可把整数规划的数学模型写为：整数规划问题及其数学模型一律简称为整数规划；整数规划删去整数条件之前和之后，分别称为原整数规划和相应线性规划。依据四舍五入的规则，使相应线性规划的最优解整数化，在通常状况下，不能作为原整数规划的最优解。这可以从两个方面来说明：其一、相应线性规划的最优解化整后，已经不是原整数规划的可行解，当然也就不行能是它的最优解。其二、相应线性规划的最优解化整后，虽然是原整数规划的可行解，但是有可能不是它的最优解。例2是最大化纯整数规划，其相应线性规划为：下面求解这个相应线性规划。我们接受图解法。并且最优解是：(x1,x2)=（2.25,3.75）。依据四舍五入的规则，将这个最优解整数化，就得到：(x1,x2)=（2，4）。它对应于点D，而点D却位于可行域R之外，因此,D（2，4）不是例2的可行解。从而，D（2，4）也不行能是例2的最优解。简洁断定，点A（0，5）才是例2的最优解。图解法:相应线性规划的可行域R为图中的四边形OABC，5x1+9x2=45x1+

x2=6B(2.25,3.75)D(2,4)x2ox19C(6,0)RA最优解A(0,5)整数规划常用的解法是分枝定界法和割平面法。一旦遇到仅含两个决策变量的状况，可以接受图解法，其计算方法与线性规划图解法大同小异，就不再赘述。求解整数规划不宜接受枚举法。其次节分枝定界法分枝定界法可以用来求解纯整数规划和混整数规划，它是整数规划的常用解法。分枝定界法可以划分为三步。现就每一步的主要特征、理论依据和具体作法说明如下：

第一步第一步的具体作法是：首先，删去整数条件，把原整数规划化成相应线性规划。其次，求解相应线性规划。最终，假如相应线性规划的最优解也是原整数规划的最优解，那么整个计算过程即告结束；否则，便转入其次步。实现放宽之后，能够得到三个结论：原整数规划的可行域真包含于相应线性规划的可行域。不失一般性，单就最大化问题而言（下同），原整数规划的最优值不大于相应线性规划的最优解。若相应线性规划的最优解满足原整数规划的整数条件，则它也是原整数规划的最优解。主要特征就是放宽。指通过删去整数条件，把原整数规划化成相应线性规划。其次步主要特征是分枝。从相应线性规划的最优解中，随意选择一个不满足原整数规划整数条件的决策变量xj=bj。以使相应线性规划增加一个约束条件；xj小于bj的最大整数（或xj大于bj的最小整数），因而得到两个新的线性规划，称为分枝。其中每个新的线性规划，统称为枝。经过分枝之后，就有如下结论：原整数规划的可行域真包含于两枝可行域的并集。原整数规划的最优解不大于两枝最优值的最大值。其次步的具体作法是：先列出两枝各自的数学模型，后计算每枝的最优解和最优值。

第三步主要特征就是定界，由各枝的最优值中选最大值，称为定界。而该最大值，称为界。最优值称为界的枝，称为界枝。完成定界之后，即可得到这样的结论：若界枝的最优解满足原整数规划的最优条件，则它也是原整数规划的最优解。第三步的具体做法为：进行定界，找出界枝。若界枝的最优解就是原整数规划的最优解，则计算过程便告结束；否则，回到其次步。

解：它是例2的数学模型，并且属于最大化纯整数规划。为便于叙述，我们将其记作A。现在利用分枝定界法求解之。例3

利用分枝定界法求解：A放宽：由A得到相应线性规划，记作B。实行图解法或单纯形法，求得B的最优解（x1,x2）=（2.25,3.75）最优值ymax=41.25。BB的最优解不满足A的整数条件，所以它并非A的最优解。分枝：由B的最优解中，选择决策变量x2=3.75，依据既定的原则写出B的两枝：把它们依次记作B1和B2。解B1得：最优解（x1，x2）=（3，3）,最优值ymax=39解B2得：最优解（x1，x2）=（1.8,4）,最优值ymax=41B1B2

B

x1=2.25x2=3.75y=41.25

B1

x1=3

x2=3

y=39

B2

x1=1.8

x2=4

y=41x2≤3x2≥4已完成的求解过程和所得到的计算结果可用框图来表示，见下图。定界：由图可知。界为max{39，41}=41。于是界枝是B2。但是，B2的最优解不满足A的整数条件，从而它不是A的最优解。因此，应当再次分枝。其次次分枝：由B2的最优解中，选择决策变量x1=1.8，写出B2的两枝：解B21得：最优解（x1，x2）=（1，4），最优值ymax=40.不难推断，B22无可行解。B21B22至此，已完成的求解过程和所得到的计算结果运用框图来表示，如图所示：

B

x1=2.25

x2=3.75

y=41.25

B1

x1=3

x2=3

y=39

B2

x1=1.8

x2=4

y=41

B21

x1=1

x2=40/9

y=365/9

B22

无可行解x2≤3x2≥4x1≤1x1≥2第三次分枝：解B211得：最优解（x1,x2）=（1,4）,最优值ymax=37。解B212得：最优解（x1,x2）=（0,5）,最优值ymax=40。B212B211其次次定界：由上图可知，界为max{39，365/9}=365/9。界枝为B21.因为B21最优解不满足A的整数条件，不是A的最优解。由B21最优解中，选择变量把B21分成两枝：现在，已完成的求解过程和所得到的计算结果见下图：

B

x1=2.25

x2=3.75

y=41.25

B1

x1=3

x2=3

y=39

B2

x1=1.8

x2=4

y=41

B21

x1=1

x2=40/9

y=365/9

B22

无可行解x2≤

3x2≥

4x1≤

1x1≥

2B211x1=1x2=4y=37B212x1=0x2=5y=40x2≥

5x2≤

4

第三次定界：由上图可知，界为max{39,37,40}=40.所以，界枝是B212。由于B212的最优解满足A的整数条件，它确定也是A的最优解。于是，原整数规划的最优解为：（x1，x2）=（0，5），最优值ymax=40。例3是一个利用分枝定解法求解纯整数规划问题，其基本步骤也适用于混整数规划问题。A1A2A3A4A5A6A7A8需要量（根）