第10讲 微积分：求导法则丶定积分

微积分(±):求导法则、定积分导数的概念函数的平均变化率：当△X尹0,W=称为函数y=/(x)在区间［X0,X。+&］之间的平均变化率。函数在一点处的导数：如果当AxtO时，务趋近于一个常数Z,则称［为函数f(x)在点X。的瞬时变化率，也称为函数y=/(%)在x=X。处的导数，记作f(x())，f'M=lim蜃项@°+普一於°)。此时称f(x)在x=X。处是可导的。(3)导函数:若T3)在(Q,幻内每一点都可导，则称T3)在(Q,幻内可导，此时广3)构成的一个新的函数称为函数y=『3)的导函数。导数的几何意义：曲线y=/(x)在点(x0J(x0))的切线的斜率等于f3o)。常见函数的导数公式C'=O(C为常数)；(xn)r=nxn-1,nCN+；(sinx)r=cosx；(cosx)'=-sin%；(e、)'=ex；tt1(ax)f=axIna(a>0,a1)；(lnx)'=—；x1(1Oga%)=7h^(a>0,o'1)扩展公式：3。)'=1必一1,aeQ两个函数的和、差、积、商的求导法则:法则1［u(x)±v(x)］r=U(%)±v\x)法则2[iz(x)u(x)]'=u(x)v(x)+u(x)vr(%)法则3[籍]'=(v(x)a0)Lv(x)Jvz(x)复合函数y=/(u(x))的求导法则：[/(u(x))]'=|/(u)]^-u(%)5.定积分定积分的概念：曲边梯形面积的极限，即和式的极限。，7(x)dx=lim^oZ冒广⑶△羽。这里的a，b分别叫做积分下限与积分上限，[a,b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数。积分运算与求导运算互为逆运算。微积分基本定理：♦广(x)dx=F(x)|，=F(b)—F(q),其中F'(x)=/(x)o定积分求曲边梯形面积由三条直线x=a,x=b(a<b),x轴及一条曲线y=f(x)(/(%)>0)围成的曲边梯形面积5=J；f(x)dx。如果图形由曲线y=/!(%)/y=£(x)，(设/x(x)之EO))及直线x=a,x=b(a<b)围成，那么所求图形的面积s=「(如-"用【例1】(1)设尸(3)=4,则limz竺祟也=(B)乙flA.-lB.-2C.-3D.4(2)求下列函数的导数①尸(x)=xsinx+cosx;©/(%)=(X2~X~，)虾(Q为不晦常数)；®fM=ln(l+x)-名；AI④尸(x)=tan%—务解析：①尸(x)=XCOSX②尸(x)=(2%—l)eax+(入2—%—^jaeax=(ax2—ax+2x—2)eax=(ax+2)(%—l)eaxc，,、11+x-xX③f(X)=1T7—(1T^=(1^尸(x)cosx尸(x)cosxcosx—sinx•(—sinx)(1\一2_(T…cos2x11cos2x2x\[x⑶(2009湖北)已知函数/'(x)=f(；)cosx+sinx,则广(乌)的值1。解析：f(x)=f(；)(-sin%)+cosx,取值x=；fG)=fG)(fin：)+cos=踞)=lo(4)(2009海淀)已知函数/'(x)=sin(cox+(p)3>0,\(p\<：)的导函数y=，(x)的部分图像如图所示，且导函数y=尸(x)有最小值-2,则口=2*=土解析：f(%)=3cos(COX+(P)由三角函数图像解得答案。【例2](1)(2008江苏)直线y=^x+b是曲线y=Inx(x>0)的一切线，则实数。的值为In2-1。解析:(ln%y=i=Ux=2f所以切点为(2,m2),代入段即可。XL(2)(2009江西)设函数/'(x)=g(x)+%2,曲线y=g(x)在点(1,g(l))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=尸(x)在点(1/(1))处的切线斜率为(A)A.4B.-iC.2D.-i42(3)(2009安徽)已知函数y=/(%)在R上满足/(%)=2/(2-%)-%2+8%-8,则曲线y=f(x)在点(1/(1))处的切线方程是(A)

A.y=2%—1B.y=xC.y=3x—2D.y=—2%+3解析：f(x)=—2f'(2—x)—2x+8,令x=1,(1)=-2尸(1)-2+8“(1)=2/(I)=2/(1)-1+8—8nf(l)=1A.y=2%—1B.y=x(4)曲线y=%3-2x2一4入+2过点(1,一3)的切线方程是5*+y-2=0或21x+4y-9=0。解析：/(X)=3x2-4x-4,设切点为(Xo，r(xo))，则切线方程为y=(3%o一4xo-4)(%一%o)+f(xo)因为切线方程过点(1,-3),代入得—3—(3%o—4%o—4)(1—%o)+3xq—2x/—4xq+2=>X。=1或;=>5x+y-2=0或21x+4y-9=0此题意义:过某点的切线与在某点处的切线，【例2】计算下歹U定积分的值：f^(4x-x2)dx；+sin%)dx况Vl-x2dx