高中数学第一轮复习立体几何

第15页共15页高三数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.题型2：柱体的表面积、体积综合问题例2．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）A．2 B．3 C．6 D．例3．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积？PPABCDOE题型3：锥体体积、表面积综合问题例4．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）A．32 B．28 C．24 D．20例5．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A． B．C． D．图例6．（1）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）图A．π B．π C．π D．π例7．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（）A．3π B．3π C．6πD．9π。题型4：球的体积、表面积例8．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。题型5：球的面积、体积综合问题例9．（1）表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。五．思维总结1．正四面体的性质设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积：S全=a2；(2)体积：V=a3；(3)对棱中点连线段的长：d=a；(4)内切球半径：r=a；(5)外接球半径R=a；2．直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面体有下列性质：如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。③体积V=abc；⑧外切球半径R=；空间几何体的三视图知识归纳1.中心投影与平行投影2.三视图方法点拨1.画三视图的基本方法(1)确定正视方向，确定投影面；(2)布置视图，按三视图的位置关系，画各视图的定位线，如中心线或某些边线；(3)一般从正视图画起，按投影规律，再画另两个视图．(4)完成三视图绘制，把能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的用虚线表示．2.三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样；侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可间记为“长（左右距离）对正；高（上下距离）平齐；宽（前后距离）相等”或“正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽”．如下图是六棱柱的三视图:3.几种常见几何体的三视图(1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个圆；(2)圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是一圆和其圆心；(3)球的三视图都是圆．如下图所示:(1)圆柱的三视图4.组合体的三视图应认清结构，把组合体分解成基本的几何体，再按基本几何体画图，并注意三视图的位置和大小关系．应用例说例1画出下列几何体的三视图．（图1）（图2）分析：按照三视图的画法规则画图．通常按照以下四个步骤：（1）选择确定正前方，确定投影面，画正视图；（2）画侧视图；（3）画俯视图；（4）三种视图的位置安排．解：几何体（1）的三视图如下图所示：几何体（2）的三视图如下图所示：评注：同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同，所以确定正视、侧视、俯视的方向就显得关键；组合体的三视图要注意它的组成方式，特别是它们的交线位置．例2根据三视图(如图)想像物体原型，并画出物体的一个直观图草图．例3如图，一桶未启封的方便面摆放在桌面上，则它的俯视图是（）．空间几何体的直观图知识归纳1.直观图直观图是观察者观察几何体画出的空间几何体的图形．2.利用斜二侧画法画空间图形的平面直观图的一般步骤:①建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O．②画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应的，，使，它们确定的平面表示水平平面．③画对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，且长度；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，且长度．④擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．知识归纳答案：1.站在某一点．2.②450（或1350）；③轴，保持不变，轴，为原来的一半；方法点拨应用例说例1一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．例2如图1，表示水平放置的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为．图1图2．高考真题2.已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm3.3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。4.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3.5.一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积为__________6.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B．C．D．8.某几何体的三视图如图所示，它的体积为A．12πB.45πC.57πD.81π9.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）①①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A.①② B.①③ C.①④ D.②④10.将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）33332正视图侧视图俯视图图1EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEA.BEB.BEC.BED.11.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A． B． C． D．12.在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为13.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A． B． C． D． 14.如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A． B． C． D．15.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 A．8 B． C．10 D．16一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A）48 （B）32+8 （C）48+8 （D）8017．(1)如图12－6为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为()图12－6A．14eq\r(3)B．6＋eq\r(3)C．12＋2eq\r(3)D．16＋2eq\r(3)18.一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图12－7，则该多面体的体积为()A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm319.如图1，△ABC为三角形，//

//

,

⊥平面ABC

且3===AB,则多面体△ABC-的正视图（也称主视图）是点、直线、平面之间的位置关系一、空间点、直线、平面之间的位置关系推理依据的4个公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。平行和垂直是空间中最重要的两种关系。平行反映了空间的平直性，垂直反映了空间的对称性。1、直线与直线：我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。空间中两条直线的位置关系有三种：共面直线共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点。平行直线：同一平面内，没有公共点。异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托。ababbαβab公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。用符号语言表示如下设a,b,c是三条直线，a∥ba∥cc∥ba,b,c三条直线两两平行，可以记为a∥b∥c这个公理实质上就是说平行具有传递性，在平面内，在空间，这个性质都是不变的。2、直线与平面：一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：位置关系直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行公共点符号表示图形表示aaaaaa证线面平行的基本方法：线线平行线面平行证线线平行的基本方法：线面平行线线平行3、平面与平面：（1）两个平面平行——两个平面没有公共点；（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线。分类两个平面平行两个平面相交定义没有公共点有且只有一条公共直线图象ααββαaβαa符号表示α∥βα∩β=a平行关系线线平行:线面平行：判定：（1）____________________________________________（2）____________________________________________（3）____________________________________________性质：(1)______________________________________________面面平行:判定：(1)_____________________________________________(2)____________________________________________(3)____________________________________________性质：(1)_____________________________________________一、选择题1．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l22.直线与平面平行的充要条件是（）Ａ．直线与平面内的一条直线平行Ｂ．直线与平面内两条直线不相交Ｃ．直线与平面内的任一条直线都不相交Ｄ．直线与平面内的无数条直线平行3．设α、β是两个平面，l、m是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是()A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且m∥αC．l∥α，m∥β且l∥mD．l⊥α，m⊥β且l∥m4．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))⇒a∥b②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))⇒a∥b③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))⇒α∥β④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))⇒α∥β⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c))⇒α∥a⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,α∥γ))⇒α∥a其中正确的命题是()A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④5．已知m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nB．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥αC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β6．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m7．设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥mB．若l∥m，m⊂α，则l∥αC．若l∥α，m∥β，且α∥β，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β且α⊥β，则l⊥m8.已知：，，，则与的位置关系是（）．Ａ． Ｂ．Ｃ．、相交但不垂直 Ｄ．、异面三、解答题9.如图，在四棱锥中，是平行四边形，，分别是，的中点．求证：平面．10.如图，已知为平行四边形所在平面外一点，为的中点，求证：平面．11.如图：E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F、G。求证：EH//FG12.如图，在正方体中，求证：平面平面．垂直关系线线垂直:线面垂直：判定：（1）____________________________________________（2）____________________________________________（3）____________________________________________性质：(1)______________________________________________面面垂直:判定：(1)_____________________________________________(2)____________________________________________性质：(1)___________________________________________一、选择题1．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，且n⊥m，则n⊥α或n⊥βB．若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线C．若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥βD．若α⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥α2.已知平面，则下列命题中正确的是（）A、w.w.w.k.s.5.u.c.o.mB、C、D、3.若，，则与的位置关系是（）A、B、C、D、或AABCDD1A1B1C14.在正方体中，下列几种说法正确的是（）A、B、C、与DC成角D、与成角5.“直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条D.既不充分也不必要条件6．已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α8．下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．其中正确命题的序号是()A．①②B．②③C．②④D．③④9.已知两个平面垂直，下列命题一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（）A．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０三、解答题10.如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，，，．求证：是异面直线与的公垂线．11.PAPABCDFE·PA⊥平面ABCD.(1)求证:PF⊥FD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)设点G在PA上,且EG//平面PFD,试确定点G的位置.12如图.△是正三角形,平面,∥,,为的中点,求证:(1);(2)平面平面;(3)平面平面.13.如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,垂足分别为B、E、F求证：EF⊥PC；AABCPEF14._直观图_俯视图__直观图_俯视图_侧视图_正视图_2_1_1_2_1_1_2APEFBCD直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点.(Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面PAD空间中的夹角和距离【要点精讲】1．距离（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度（2）点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：eq\o\ac(○,1)“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。eq\o\ac(○,2)等体积法。（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。2．夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，