弯曲应力(工程力学)课件

第六章弯曲应力第六章弯曲应力1§6–1梁的纯弯曲§6–2纯弯曲时的正应力§6–3横力弯曲时的正应力§6–4弯曲切应力§6–5提高弯曲强度的措施§6–1梁的纯弯曲2§6－１梁的纯弯曲2、横力弯曲构件横截面上的（内力）、应力内力剪力Q剪应力t弯矩M正应力s1、横力弯曲横截面上既有剪力Q又有弯矩M的情况q§6－１梁的纯弯曲2、横力弯曲构件横截面上的（内力）、应力3某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。弯曲应力PPaaABQMxx3.纯弯曲某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的4只有正应力，没有剪应力4.纯弯曲段横截面上的应力只有正应力，没有剪应力4.纯弯曲段5§6－2纯弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：纵向对称面bdacabcdMMMM§6－2纯弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验6弯曲应力2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层纵向对称面中性轴弯曲应力2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，7假设：纵向纤维无相互挤压。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，且与弯曲后的轴线垂直。距中性层等高处的纵向纤维变形相等。

3.假设中性层纵向对称面假设：纵向纤维无相互挤压。平面假设：横截面变形后仍为平84.几何方程：

abcdABA1B1O1Odqrxy)))OO1)xyyy4.几何方程：abcdABA1B1O1Odqrxy)))9

（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应力状态。在横截面上建立坐标系：以对称轴为y轴,以中性轴为Z轴。（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于10目录（三）静力学关系：故y,z轴为形心主轴。目录（三）静力学关系：故y,z轴为形心主轴。11弯曲应力正应力沿梁高的分布：线形分布弯曲应力正应力沿梁高的分布：12（四）最大正应力：令

（四）最大正应力：令13DdDd=abh几种截面的抗弯截面模量:

bBhHDdDd=abh几种截面的抗弯截面模量:bB14横力弯曲正应力公式弹性力学精确分析表明，当跨度l

与横截面高度h

之比l/h>5

（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。横力弯曲最大正应力目录§6－3横力弯曲时梁横截面上的正应力ql横力弯曲正应力公式弹性力学精确分析表明，当跨度l15解：画内力图求危险截面上

的内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，试求最大正应力。弯曲应力q=3.6kN/mxM+ABL=3m求最大应力解：画内力图求危险截面上

的内力例2矩形(b16解：求支座反力例3T字形截面的铸铁梁受力如图，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

截面对形心轴的惯性矩Iz=763cm4，试计算梁内的最大拉应力及最大压应力。弯曲应力P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2Ｃ②画弯矩图并求危面内力解：求支座反力例3T字形截面的铸铁梁受力如图，其截面形17y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmM③画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD结论：对于截面关于中性轴不对称的弯曲构件，最大弯矩的截面不一定是产生最大拉应力或最大压应力的截面。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmM③画危面181.对等截面梁且截面关于中性轴对称，弯矩最大截面的上下边缘产生最大正应力３.若材料为脆性材料，脆性材料的抗拉和抗压性能不同，则二方面都要考虑。２.若截面关于中性轴不对称，注意最大正应力的计算。目录§6－４弯曲正应力的强度条件1.对等截面梁且截面关于中性轴对称，弯矩最大截面的上下边缘产19弯曲应力依此强度准则可进行三种强度计算：、校核强度：Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：弯曲应力依此强度准则可进行三种强度计算：、校核强度：Œ校核强20解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，试求最大正应力,并校核梁的正应力强度。弯曲应力q=3.6kN/mABL=3m求最大应力并校核强度xM+解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.21例3T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[t]=30MPa，[c]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？弯曲应力P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2G解：求支座反力并画弯矩图2.5kNmM-4kNm例3T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[t]=30MP22校核强度:y1y2GA1A2A3A4画危面应力分布图，找危险点2.5kNmM-4kNm校核强度:y1y2GA1A2A3A4画危面应力分布图，找23§6－5弯曲剪应力一、矩形截面梁横截面上的剪应力2、两点假设：

剪应力与剪力平行；

距中性轴等距离处,剪应力相等。1、研究方法：在梁上取微段如图b；

弯曲应力dxxQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c３、在微段上取一块如图c，平衡§6－5弯曲剪应力一、矩形截面梁横截面上的剪应力2、两点假24弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c由剪应力互等定理弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+d25弯曲应力Qt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。弯曲应力Qt方向：与横截面上剪力方向相同；26弯曲应力其中：Q为截面剪力；Sz为计算点所在作用层以下的面积对中性轴之面积矩；Iz为整个截面对z（中性轴）轴之惯性矩；b

为计算点处截面宽度。弯曲应力其中：Q为截面剪力；Iz为整个截面对z（中性轴）轴之27弯曲应力二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：其中：Q为截面剪力；Sz为计算点所在作用层以下的面积对中性轴之面积矩；Iz为整个截面对z（中性轴）轴之惯性矩；b

为计算点处截面宽度。弯曲应力二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面282、几种常见截面的弯曲剪应力

弯曲应力①工字钢截面：;»maxAQtf结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大剪应力Af—腹板的面积。腹板： 2、几种常见截面的弯曲剪应力弯曲应力①工字钢截面：;»29

②圆截面：③薄壁圆环：弯曲应力②圆截面：③薄壁圆环：弯曲应力30

④槽钢：弯曲应力exyzPQeQeh④槽钢：弯曲应力exyzPQeQeh31三、梁的剪切强度条件三、梁的剪切强度条件32解：画内力图求危面内力例４矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。弯曲应力q=3.6kN/mABL=3mQ–+x+M解：画内力图求危面内力例４矩形(bh=0.12m0.33弯曲应力q=3.6kN/mABL=3m求最大应力并校核强度应力之比+Q–+xM弯曲应力q=3.6kN/mABL=3m求最大应力并校核强度34悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕=10MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷。1.画梁的剪力图和弯矩图2.按正应力强度条件计算许可载荷3.按切应力强度条件计算许可载荷解：例题5目录悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力354.按胶合面强度条件计算许可载荷5.梁的许可载荷为目录4.按胶合面强度条件计算许可载荷5.梁的许可载荷为目录36注意：

一般情况下，只需校核梁的正应力，不需要校核梁的剪应力。下面几种特殊情况，需校核梁的剪应力：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，M较小，而Q较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。注意：

一般情况下，只需校核梁的正应力，不需要校核梁的剪37§6-６提高梁弯曲强度的主要措施1.降低Mmax

合理安排支座合理布置载荷6-7目录§6-６提高梁弯曲强度的主要措施1.降低Mmax合38合理安排支座：目录FFF合理安排支座：目录FFF39合理安排支座目录合理安排支座目录40§6-６提高梁弯曲强度的主要措施目录合理布置载荷F§6-６提高梁弯曲强度的主要措施目录合理布置载荷F412.增大WZ合理设计截面形状合理放置截面6-7目录WZ是衡量构件弯曲强度的一个指标。2.增大WZ合理设计截面形状合理放置截面6-7目录WZ42目录合理设计截面形状：一般地，把梁的抗弯截面模量Ｗ与其横截面面积Ａ之比作为选定合理截面形状的一个指标。 目录合理设计截面形状：一般地，把梁的抗弯截面模量Ｗ与其横截面43目录合理放置截面目录合理放置截面443、等强度梁

目录⑴、等截面梁

bh3、等强度梁目录⑴、等截面梁bh45目录⑵、等强度梁

等强度梁：任一截面上的最大正应力都达到容许正应力。目录⑵、等强度梁等强度梁：任一截面上的最大正应力都达到容46目录目录47目录目录48目录目录49小结1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法2、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用3、了解提高梁强度的主要措施目录小结1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法2、熟练掌握弯曲正应50第六章弯曲应力第六章弯曲应力51§6–1梁的纯弯曲§6–2纯弯曲时的正应力§6–3横力弯曲时的正应力§6–4弯曲切应力§6–5提高弯曲强度的措施§6–1梁的纯弯曲52§6－１梁的纯弯曲2、横力弯曲构件横截面上的（内力）、应力内力剪力Q剪应力t弯矩M正应力s1、横力弯曲横截面上既有剪力Q又有弯矩M的情况q§6－１梁的纯弯曲2、横力弯曲构件横截面上的（内力）、应力53某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。弯曲应力PPaaABQMxx3.纯弯曲某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的54只有正应力，没有剪应力4.纯弯曲段横截面上的应力只有正应力，没有剪应力4.纯弯曲段55§6－2纯弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：纵向对称面bdacabcdMMMM§6－2纯弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验56弯曲应力2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层纵向对称面中性轴弯曲应力2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，57假设：纵向纤维无相互挤压。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，且与弯曲后的轴线垂直。距中性层等高处的纵向纤维变形相等。

3.假设中性层纵向对称面假设：纵向纤维无相互挤压。平面假设：横截面变形后仍为平584.几何方程：

abcdABA1B1O1Odqrxy)))OO1)xyyy4.几何方程：abcdABA1B1O1Odqrxy)))59

（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应力状态。在横截面上建立坐标系：以对称轴为y轴,以中性轴为Z轴。（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于60目录（三）静力学关系：故y,z轴为形心主轴。目录（三）静力学关系：故y,z轴为形心主轴。61弯曲应力正应力沿梁高的分布：线形分布弯曲应力正应力沿梁高的分布：62（四）最大正应力：令

（四）最大正应力：令63DdDd=abh几种截面的抗弯截面模量:

bBhHDdDd=abh几种截面的抗弯截面模量:bB64横力弯曲正应力公式弹性力学精确分析表明，当跨度l

与横截面高度h

之比l/h>5

（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。横力弯曲最大正应力目录§6－3横力弯曲时梁横截面上的正应力ql横力弯曲正应力公式弹性力学精确分析表明，当跨度l65解：画内力图求危险截面上

的内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，试求最大正应力。弯曲应力q=3.6kN/mxM+ABL=3m求最大应力解：画内力图求危险截面上

的内力例2矩形(b66解：求支座反力例3T字形截面的铸铁梁受力如图，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

截面对形心轴的惯性矩Iz=763cm4，试计算梁内的最大拉应力及最大压应力。弯曲应力P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2Ｃ②画弯矩图并求危面内力解：求支座反力例3T字形截面的铸铁梁受力如图，其截面形67y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmM③画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD结论：对于截面关于中性轴不对称的弯曲构件，最大弯矩的截面不一定是产生最大拉应力或最大压应力的截面。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmM③画危面681.对等截面梁且截面关于中性轴对称，弯矩最大截面的上下边缘产生最大正应力３.若材料为脆性材料，脆性材料的抗拉和抗压性能不同，则二方面都要考虑。２.若截面关于中性轴不对称，注意最大正应力的计算。目录§6－４弯曲正应力的强度条件1.对等截面梁且截面关于中性轴对称，弯矩最大截面的上下边缘产69弯曲应力依此强度准则可进行三种强度计算：、校核强度：Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：弯曲应力依此强度准则可进行三种强度计算：、校核强度：Œ校核强70解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，试求最大正应力,并校核梁的正应力强度。弯曲应力q=3.6kN/mABL=3m求最大应力并校核强度xM+解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.71例3T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[t]=30MPa，[c]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？弯曲应力P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2G解：求支座反力并画弯矩图2.5kNmM-4kNm例3T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[t]=30MP72校核强度:y1y2GA1A2A3A4画危面应力分布图，找危险点2.5kNmM-4kNm校核强度:y1y2GA1A2A3A4画危面应力分布图，找73§6－5弯曲剪应力一、矩形截面梁横截面上的剪应力2、两点假设：

剪应力与剪力平行；

距中性轴等距离处,剪应力相等。1、研究方法：在梁上取微段如图b；

弯曲应力dxxQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c３、在微段上取一块如图c，平衡§6－5弯曲剪应力一、矩形截面梁横截面上的剪应力2、两点假74弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c由剪应力互等定理弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+d75弯曲应力Qt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。弯曲应力Qt方向：与横截面上剪力方向相同；76弯曲应力其中：Q为截面剪力；Sz为计算点所在作用层以下的面积对中性轴之面积矩；Iz为整个截面对z（中性轴）轴之惯性矩；b

为计算点处截面宽度。弯曲应力其中：Q为截面剪力；Iz为整个截面对z（中性轴）轴之77弯曲应力二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：其中：Q为截面剪力；Sz为计算点所在作用层以下的面积对中性轴之面积矩；Iz为整个截面对z（中性轴）轴之惯性矩；b

为计算点处截面宽度。弯曲应力二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面782、几种常见截面的弯曲剪应力

弯曲应力①工字钢截面：;»maxAQtf结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大剪应力Af—腹板的面积。腹板： 2、几种常见截面的弯曲剪应力弯曲应力①工字钢截面：;»79

②圆截面：③薄壁圆环：弯曲应力②圆截面：③薄壁圆环：弯曲应力80

④槽钢：弯曲应力exyzPQeQeh④槽钢：弯曲应力exyzPQeQeh81三、梁的剪切强度条件三、梁的剪切强度条件82解：画内力图求危面内力例４矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。弯曲应力q=3.6kN/mABL=3mQ–+x+M解：画内力图求危面内力例４矩形(bh=0.12m0.83弯曲应力q=3.6kN/mABL=3m求最大应力并校核强度应力之比+Q–+xM弯曲应力q=3.6kN/mABL=3m求最大应力并校核强度84悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为