高考数学第一轮知识点巩固题库 第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系(含解析)新人教A版

第7讲直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋eq\f(1,2)＝0的距离等于 ()．A.eq\f(7,4) B．2 C.eq\f(9,4) D．4解析直线4kx－4y－k＝0，即y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋eq\f(1,2)＝4，故x1＋x2＝eq\f(7,2)，则弦AB的中点的横坐标是eq\f(7,4)，弦AB的中点到直线x＋eq\f(1,2)＝0的距离是eq\f(7,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,4).答案C2．设斜率为eq\f(\r(2),2)的直线l与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()．A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,3)解析由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，F2，故|AF1|＝|BF2|＝eq\f(b2,a)，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角θ的正切值为eq\f(\r(2),2)，结合图形易得tanθ＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(|AF1|,|CF1|)＝eq\f(|BF2|,|CF2|)，故|CF1|＋|CF2|＝eq\f(2\r(2)b2,a)＝|F1F2|＝2c，整理并化简得eq\r(2)b2＝eq\r(2)(a2－c2)＝ac，即eq\r(2)(1－e2)＝e，解得e＝eq\f(\r(2),2).答案C3．抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|的值等于 ()．A．7 B．3eq\r(5) C．6 D．5解析点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7.答案A4．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝ ()．A．1＋2eq\r(2) B．4－2eq\r(2)C．5－2eq\r(2) D．3＋2eq\r(2)解析如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝eq\r(2)m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝eq\r(2)m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋eq\r(2)m－2a＝m，得m＝2eq\r(2)a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8eq\r(2))a2＝4c2，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝5－2eq\r(2)，故应选C.答案C5．已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是 ()．A.eq\f(1,3) B.eq\f(2\r(2),3) C．2eq\r(2) D.eq\f(\r(2),4)解析法一据题意画图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1.设直线l的倾斜角为θ，|AF|＝2|BF|＝2r，则|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r，所以有|AB|＝3r，|AD|＝r，则|BD|＝2eq\r(2)r，k＝tanθ＝tan∠BAD＝eq\f(|BD|,|AD|)＝2eq\r(2).法二直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝kx－2，))可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB.则yA＋yB＝－2yB＋yB＝eq\f(8,k)，所以yB＝－eq\f(8,k)，yA·yB＝－16，所以－2yeq\o\al(2,B)＝－16，即yB＝±2eq\r(2).又k>0，故k＝2eq\r(2).答案C6．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5－a2)＝1(a>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ()．A．(eq\r(2)，5) B．(eq\r(5)，eq\r(10))C．(1，eq\r(2)) D．(5,5eq\r(2))解析令b＝eq\r(5－a2)，c＝eq\r(a2＋b2)，则双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)，双曲线的渐近线的斜率为±eq\f(b,a).据题意，2<eq\f(b,a)<3，如图所示．∵eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)，∴2<eq\r(e2－1)<3，∴5<e2<10，∴eq\r(5)<e<eq\r(10).答案B二、填空题7．椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的弦被点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))平分，则这条弦所在的直线方程是________．解析设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.∵A，B在椭圆上，∴eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1.两式相减得：eq\f(x1＋x2x1－x2,2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,2y1＋y2)，∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)，即直线AB的斜率为－eq\f(1,2).∴直线AB的方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即该弦所在直线的方程为2x＋4y－3＝0.答案2x＋4y－3＝08．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(eq\r(2)，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．解析由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(2)，,\f(b2,a)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(2)，))∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.答案eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝19．过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．解析由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝eq\f(\r(6),3).答案eq\f(\r(6),3)10．已知曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1(a·b≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0(O为原点)，则eq\f(1,a)－eq\f(1,b)的值为________．解析将y＝1－x代入eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2a,a－b)，x1x2＝eq\f(a＋ab,a－b).eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.所以eq\f(2a＋2ab,a－b)－eq\f(2a,a－b)＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝2.答案2三、解答题11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值；(2)如果eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．(1)解由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)证明设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．∴若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，则直线l必过一定点．12．给出双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x\o\al(2,1)－y\o\al(2,1)＝2，,2x\o\al(2,2)－y\o\al(2,2)＝2，))两式相减得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以直线斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝4.故求得直线方程为4x－y－7＝0.(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，按照(1)的解法可得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2x,y)， ①由于P1，P2，P，A四点共线，得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(y－1,x－2)， ②由①②可得eq\f(2x,y)＝eq\f(y－1,x－2)，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y＝0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝0.(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.考虑到方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝1))无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的．13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．(1)解双曲线C1：eq\f(x2,\f(1,2))－y2＝1，左顶点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))，渐近线方程：y＝±eq\r(2)x.不妨取过点A与渐近线y＝eq\r(2)x平行的直线方程为y＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(2),2)))，即y＝eq\r(2)x＋1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(2)x，,y＝\r(2)x＋1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),4)，,y＝\f(1,2).))所以所求三角形的面积为S＝eq\f(1,2)|OA||y|＝eq\f(\r(2),8).(2)证明设直线PQ的方程是y＝x＋b.因为直线PQ与已知圆相切，故eq\f(|b|,\r(2))＝1，即b2＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,2x2－y2＝1))得x2－2bx－b2－1＝0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2b，,x1x2＝－1－b2.))又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)证明当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝eq\f(\r(2),2)，则O到直线MN的距离为eq\f(\r(3),3).当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(显然|k|>\f(\r(2),2)))，则直线OM的方程为y＝－eq\f(1,k)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,4x2＋y2＝1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,4＋k2)，,y2＝\f(k2,4＋k2)，))所以|ON|2＝eq\f(1＋k2,4＋k2).同理|OM|2＝eq\f(1＋k2,2k2－1).设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以eq\f(1,d2)＝eq\f(1,|OM|2)＋eq\f(1,|ON|2)＝eq\f(3k2＋3,k2＋1)＝3，即d＝eq\f(\r(3),3).综上，O到直线MN的距离是定值．14．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|＝eq\r(2)|DM|，点P在圆上运动．(1)求点M的轨迹方程；(2)过定点C(－1,0)的直线与点M的轨迹交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0＝x，y0＝eq\r(2)y.∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4.∴x2＋2y2＝4，即eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.点M的轨迹方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1(x≠±2)．(2)假设存在．当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,