微观经济学数学分析方法

关于微观经济学数学分析方法第一页，共七十八页，2022年，8月28日凸集定义

第二页，共七十八页，2022年，8月28日例子

1维空间：单个点2维空间：直线、射线、线段圆、椭圆、矩形、梯形、三角形等第三页，共七十八页，2022年，8月28日三维空间呢？第四页，共七十八页，2022年，8月28日第五页，共七十八页，2022年，8月28日总结“没有任何孔，边缘不能有缩进”

——蒋中一第六页，共七十八页，2022年，8月28日意义经济分析中，常假设可行集合（约束集）为凸集。约束条件下可行集是凸集保证最优解唯一的必要条件。第七页，共七十八页，2022年，8月28日问题经济学分析中，有哪些约束集合？第八页，共七十八页，2022年，8月28日第九页，共七十八页，2022年，8月28日练习题：判断下列集合是否为凸集第十页，共七十八页，2022年，8月28日凹函数（concave）第十一页，共七十八页，2022年，8月28日凹函数的定义以最简单的单变量函数为例来定义：，和是定义域中的两个量，

令

，如果满足

则称为凹函数（小于等于，凸函数）

若

则称为严格凹函数（小于，严格凸函数）第十二页，共七十八页，2022年，8月28日直观图形严格凹函数ABCD第十三页，共七十八页，2022年，8月28日直观图形非严格凹函数第十四页，共七十八页，2022年，8月28日总结两点间的曲线（弧）与两点间的直线重合，或在其之上。第十五页，共七十八页，2022年，8月28日用一阶导数来定义第十六页，共七十八页，2022年，8月28日xf(x)图示第十七页，共七十八页，2022年，8月28日总结该曲线与其切线重合或者位于其切线的下方。过曲线上任何一点的做切线，该曲线均在切线或切线下方。第十八页，共七十八页，2022年，8月28日凹函数的定义对双变量函数来说：

第十九页，共七十八页，2022年，8月28日图示ABCDzy第二十页，共七十八页，2022年，8月28日总结在曲面上，任何两点的连线均在对应的曲线的下方，则称为凹函数。第二十一页，共七十八页，2022年，8月28日一阶导数的定义当且仅当：即：做任何一个切面，函数值均在切面或切面之下。第二十二页，共七十八页，2022年，8月28日对于多变量函数第二十三页，共七十八页，2022年，8月28日凹函数的二阶导数的判定方法若函数存在二阶连续偏微分，则：第二十四页，共七十八页，2022年，8月28日与上述判定方法等价的方法：引入海塞矩阵多变量函数：该函数的一阶全微分表示为：第二十五页，共七十八页，2022年，8月28日二阶全微分表达式第二十六页，共七十八页，2022年，8月28日简化表达第二十七页，共七十八页，2022年，8月28日海塞矩阵（二阶导数矩阵）第二十八页，共七十八页，2022年，8月28日二阶全微分的简洁表达（引入海塞矩阵）第二十九页，共七十八页，2022年，8月28日二阶导数的判定方法当且仅当海塞矩阵为负半定时，该函数为凹函数。

负半定：即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于等于零，二阶大于等于零……当（非当且仅当）海塞矩阵为负定时，该函数为严格凹函数。

负定：即即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于零，二阶大于零……第三十页，共七十八页，2022年，8月28日顺序主子式值正负交替变化第三十一页，共七十八页，2022年，8月28日二阶导数的判定方法当且仅当海塞矩阵为正半定时，该函数为凸函数。

正半定：即顺序主子式值全部大于等于零当（非当且仅当）海塞矩阵为正定时，该函数为严格凸函数。

正定：即即顺序主子式值全部大于零第三十二页，共七十八页，2022年，8月28日练习检验下列函数的凹凸性：第三十三页，共七十八页，2022年，8月28日（使用顺序主子式方法检验）第三十四页，共七十八页，2022年，8月28日拟凹函数（quasiconcave）第三十五页，共七十八页，2022年，8月28日定义第三十六页，共七十八页，2022年，8月28日定义第三十七页，共七十八页，2022年，8月28日图示N函数图形上任意一段弧MN,使N点高于M点，如果除M和N点外，该弧段上的点均高于或等于M点，则该函数为拟凹函数。AB第三十八页，共七十八页，2022年，8月28日思考：与凹函数的关系？凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定是凹函数。拟凹性是比凹性要弱的条件。第三十九页，共七十八页，2022年，8月28日典型图示Xf(x)第四十页，共七十八页，2022年，8月28日上等值集判定方法如果该函数的上等值集是凸集，则该函数为拟凹函数。上等值集的定义：第四十一页，共七十八页，2022年，8月28日例子：

第四十二页，共七十八页，2022年，8月28日第四十三页，共七十八页，2022年，8月28日一阶导数定义第四十四页，共七十八页，2022年，8月28日拟凹函数的二阶必要条件第四十五页，共七十八页，2022年，8月28日加边海塞矩阵第四十六页，共七十八页，2022年，8月28日第四十七页，共七十八页，2022年，8月28日拟凹函数的充分条件第四十八页，共七十八页，2022年，8月28日拟凸函数的充分条件第四十九页，共七十八页，2022年，8月28日练习第五十页，共七十八页，2022年，8月28日无约束条件下的极值问题第五十一页，共七十八页，2022年，8月28日最优化的一阶条件第五十二页，共七十八页，2022年，8月28日满足一阶条件是极值的必要条件？充分条件？第五十三页，共七十八页，2022年，8月28日双变量的情形第五十四页，共七十八页，2022年，8月28日第五十五页，共七十八页，2022年，8月28日A第五十六页，共七十八页，2022年，8月28日第五十七页，共七十八页，2022年，8月28日A第五十八页，共七十八页，2022年，8月28日二阶条件第五十九页，共七十八页，2022年，8月28日二阶必要条件第六十页，共七十八页，2022年，8月28日回忆：关于凹函数第六十一页，共七十八页，2022年，8月28日等式约束条件下的最优化问题第六十二页，共七十八页，2022年，8月28日自由极值、约束极值在无约束的最优化问题中，决策变量之间是彼此独立的。但是当存在约束条件时，决策变量之间就要受到相互影响。第六十三页，共七十八页，2022年，8月28日xyz自由极值约束极值第六十四页，共七十八页，2022年，8月28日多约束条件下：约束条件的数量应少于决策变量的数量第六十五页，共七十八页，2022年，8月28日约束条件下求极值的方法拉格朗日乘数法目标函数：约束条件：构造一个新函数：

第六十六页，共七十八页，2022年，8月28日第六十七页，共七十八页，2022年，8月28日面临多个约束时的一阶条件第六十八页，共七十八页，2022年，8月28日面临多个约束时的一阶条件第六十九页，共七十八页，2022年，8月28日拉格朗日乘数的含义第七十页，共七十八页，2022年，8月28日单个等式约束情形下极值的二阶条件第七十一页，共七十八页，2022年，8月28日极大值的二阶充分条件：用海塞加边行列式注意：与前面自由极值不同，所加的边是约束条件函数的一阶导数，而非目标函数的一阶导数；二阶矩阵是关于新函数F的二阶导数。第七十二页，共七十八页，2022年，8月28日负定第七十三页，共七十八页，2022年，8月28日多重等式约束的二阶条件：略，参见蒋中一P504第七十四页，共七十八页，2022年，8月28日第七十五页，共