对数与对数函数经典例题

6/6经典例题透析类型一、指数式与对数式互化与其应用

1．将下列指数式与对数式互化：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).

思路点拨：运用对数的定义进行互化.

解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；

(6).

总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.

举一反三：

[变式1]求下列各式中x的值：

(1)(2)(3)lg100=x(4)

思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

解：(1)；

(2)；

(3)10x=100=102，于是x=2；

(4)由.

类型二、利用对数恒等式化简求值

2．求值：解：.

总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：

[变式1]求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.

解：.

类型三、积、商、幂的对数

3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.

(1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15

解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a

(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b

(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a

举一反三：

[变式1]求值

(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：

(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2

=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

[变式2]已知3a=5b=c，，求c的值.

解：由3a=c得：

同理可得

.

[变式3]设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.

证明：.

[变式4]已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0.求证：.

证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，

∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb

即.

类型四、换底公式的运用

4．(1)已知logxy=a，用a表示；

(2)已知logax=m，logbx=n，logcx=p，求logabcx.

解：(1)原式=；

(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.

方法一：am=x，bn=x，cp=x

∴，

∴；

方法二：.

举一反三：

[变式1]求值：(1)；(2)；(3).

解：

(1)

(2)；

(3)法一：

法二：.

总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.

类型五、对数运算法则的应用

5．求值

(1)log89·log2732

(2)

(3)

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

解：(1)原式=.

(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

举一反三：

[变式1]求值：

解：

另解：设=m(m>0).∴，

∴，∴，

∴lg2=lgm，∴2=m，即.

[变式2]已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?

解：∵∴，

类型六、函数的定义域、值域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域与单调性）在解题中的重要作用.

6.求下列函数的定义域：

(1)；(2).

思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.

解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；

(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.

举一反三：

[变式1]求下列函数的定义域.

(1)y=(2)y=ln(ax-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).

解：(1)因为，所以，

所以函数的定义域为(1，)(，2).

(2)因为ax-k·2x>0，所以()x>k.

[1]当k≤0时，定义域为R；

[2]当k>0时，

(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；

(ii)若0<a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；

(iii)若a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域

为.

[变式2]函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.

思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].

类型七、函数图象问题

7．作出下列函数的图象：

(1)y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2)y=lg|x|；(3)y=-1+lgx.

解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).

类型八、对数函数的单调性与其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.

8.比较下列各组数中的两个值大小：

(1)log23.4，log28.5

(2)log0.31.8，log0.32.7

(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)

思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.

(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，

所以，log23.4<log28.5；

解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5；

解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4<log28.5；

(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；

(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的围，再由函数单调性判断大小.

解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1<loga5.9

当0<a<1时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1>loga5.9

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，

令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则

当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9

所以，b1<b2，即

当0<a<1时，y=ax在R上是减函数，且5.1<5.9

所以，b1>b2，即.

举一反三：

[变式1]（2011理7）已知则（）

A．B．C．D．

解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，

由图像可得

又∵为单调递增函数，∴故选C.

9.证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.

证明：设，且x1<x2则

又∵y=log2x在上是增函数

即f(x1)<f(x2)

∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.

举一反三：

[变式1]已知f(logax)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.

解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2，

∴f(t1)-f(t2)=，

∵0<x1<x2，a>1，∴f(t1)<f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，

当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a>1或0<a<1，f(x)在R上总是增函数.

10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0<t≤4，

∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.

再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.

∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.

∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.

类型九、函数的奇偶性

11.判断下列函数的奇偶性.(1)(2).

(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.

解：由

所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称

又

所以函数是奇函数；

总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.

(2)解：由

所以函数的定义域为R关于原点对称

又

即f(-x)=-f(x)；所以函数.

总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.

类型十、对数函数性质的综合应用

12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).

(1)若函数f(x)的定义域为R，数a的取值围；(2)若函数f(x)的值域为R，数a的取值围.

思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.

f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，

即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，

使u能取遍一切正数的条件是.

解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，

当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；

当a≠0时，有a>1.∴a的取值围为a>1.

(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，

∴a的取值围为0≤a≤1.

13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.

(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；

(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值围.

解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).

并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，

C(a+8，log2(a+8))(a>1)，如图.

∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕

∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).

(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2

=2log2(1+).

由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，

∴0<2