2020年高考理科数学质量检测试题及答案

年高考理科数学质量检测试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设集合A』x|x2—x—2<0},B={x|log2x<0},则AljB=2.3.A.(-1,2)1i1.设集合A』x|x2—x—2<0},B={x|log2x<0},则AljB=2.3.A.(-1,2)1i设2=1-iA.-1B.(0,1)C.(-二，2)D.(-1,1)Z是z的共轲复数，则z，Z=B.iC.1D.4已知向量m=(x2,1),n=(x,2),命题p命题4：：3九下0,使得m=?」n成立，则命题p是命题q的A,充分不必要条件B,A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件4.4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为5.A.3已知随机变量B.七x2:服从正态分布C..5D.2N(0,1),如果P(£<1)=0,8413,则P(—1<£M0)=A.0.3413

B.0.6826

C.0.1587

D.0.07946.已知点A（2瓶,3痴胜双曲线10b2=1（b>0）上，则该双曲线的离心率为10B. 2C.,10D.2.107.若函数f(x)=.J3s\nxx+cos«ix(co>0),且fQ)=2,f(P)=0,-耳的最小值是-2,则f(x)的单调递增区间是A.[2k二一飞■,2k二-](kz)B.[2k二JiC.[k]一一*二—](kz)D.[k二12-,2k二3](kz),n…一、,kr:—](k-z)128.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为 85.5尺，则芒种日影长为9.宋元时期数学名着《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺,竹长两尺，松日自半,竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a,b分别为5,2,则输出的nA.5B.4C.3D.210.已知抛物线12,.y=-x的焦点

42 2F是椭圆%+与=1(a〉bA0)的一个焦点，且该抛物线的准线与ab椭圆相交于A、B两点，若△FAB是正三角形，则椭圆的离心率为A.,3-1C.11.已知三棱锥S-ABC所有顶点都在球O的球面上,且SC_L平面ABC,若SC=AB¥C=1,/BAC=120°,则球。的表面积为A.5nB.5n C.4n D.—k2 3.已知八幻为偶函数，对任意HWR,f（x）=/（2一工）恒成立，且当OMmMI时，/«）二2—2/.设函数义工）=f\x）-log3x,则g⑸的零点的个数为A.: B. C. ：D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）且J3a=2csinA,c=J7,.在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为角A且J3a=2csinA,c=J7,且MBC的面积为W3,a+b的值为2.在三1B隹S—ABC中，/SAB=/SAC=/ACB=901AC=2,BC=V13,SB=V29,则异面直线SC与AB所成角的余弦值为.5.（x+yX2x—y）的展开式中x3y3的系数为（用数字填写答案）.2.已知椭圆C：x-+y2=1,直线l：y=x—1与椭圆C交于A,B两点，则过点A,B且与2，.… 4直线m：x=—相切的圆的方程为3三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题（共60分）.（本小题满分12分）已知数列Q｝满足a1=1,an=2an,+2n—1（n22）,数列0｝满足bn=an+2n+3.（1）求证数列｛bn｝是等比数列；（2）求数列（an｝的前n项和Sn..（本小题满分12分）每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南某地区20092018年10年间梅雨季节的降雨量（单位： mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：0003O.tK)2'HUHNNJ200WO如0NKJ图H吊(1)假设每年的梅雨季节天气相互独立，求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；(2)老李在该地区承包了20亩土地种植杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元.而乙品种杨梅的亩产量计(切/亩)与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为32-O.Oln(元/屈@),请你帮助老李分析，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润(万元)的期望更大？并说明理由.降雨量|[100,200)1(200300)[300,400)[400,500]500700600400.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD■中,AB//CD,AB=1,CD=3,AP^2,DP^2网， PAD=60°,AB,平面PAD点M在棱PC上.(1)求证：平面PABL平面PCD(2)若直线PA//平面MBD,求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值..(本小题满分12分)已知P为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点P到直线x—y+3=0的最小距离为J2.(1)求抛物线C的方程；(2)过点(1,0)作两条互相垂直的直线Ip12,与抛物线C分别交于ARD、E,求四边形ADBE的面积S的最小值..(本小题满分12分), 1 1已知f(x)=elnx-—x.ex(1)求函数f(x)的极值；x e一(2)设g(x)JXx1)3%,对于任意Xu［0,+oc),x2u［1,"),总有g(X)>-f(x2)成立，求实数a的取值范围.(二)选考题(共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。).［选彳4—4:坐标系与参数方程］(10分)(X=2+2cosa在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为［y=2s方Z7CT(”为参数)以坐标系原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 G的极坐标方程为p=2sin0.(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线。的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，且/POQ=,求^POQ的面积的最大值.-r.［选彳4-5:不等式选讲］(10分)已知函数 ^(1)求不等式fS)&5的解集；(2)若存在实数飞,使得汽飞区6+用一切2成立的加的最大值为时，且实数也人满足足+/=M,证明：.•.参考答案一、选择题1.A2.C3.A4.A5.A6.C7.B8.B9.B10.C11.B12.C二、填空题13.514. 2^1715.4016.x2+卜=16.17 3 9三、解答题.解：（I）当n=1时，a1=1,故b1=6.当n22时，an=2an」+2n-1,则bn =an +2n+3=2an」+2n-1+2n+3 =2（an,+2n+1 ）= 2 -an^+2（n-1）+31,「-bn=2bn」，二数列｛bn｝是首项为6,公比为2的等比数列.（n）由（I）得bn=3父2'an=bn—2n—3=3父2n—2n—3，，Sn=3（2+22+III+2n）-2（1+2+川+n）—3n=320-2）—n（n+1）—3n，1-2.Sn=32n1-n2-4n-6..解：（1）频率分布直方图中第四组的频率为 1—10。乂（0田02+0.004+0.003）=0.1该地区在梅雨季节的降雨量超过 350mm的概率为5。X0.003+0.1=0.2S所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 的概率为年'（$'卜-*）+媚（$=瓦+而，（或。.15625）.⑵据题意，总利润为2。噌2-0.01门）元，其中”.=500,7口。,6叫4叫所以随机变量（万元）的分布列如下表：273531.222.4P0.20.40.30.1故总利润（万元）的期望F<=27X02+35X0.4+3L2x0.3+22.4X0.1+22.4=5.4+14.0+9.38+2.24=31（万元）

因为31>28,所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润(万元)的期望更大.解：(I)因为AB，平面PAD所以AB±DR又因为DP=2/3,ap=2,/pad=60,PD由s出/PD由s出/PAD sinZ-PDA=-smLPDA可得 2所以/PDA=30,所以/APD=90,即DPIAP,因为48rMp=4所以DP1平面PAB因为DP匚平卸尸吗所以平面PABL平面PCD(n)由AB1平面PAD,如图所示建立空间直角坐标系以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z其中的0,0), qo,43>D(040)P的1，°).,如图所示建立空间直角坐标系从而前=(04-1)AP=(加0)PC=(一价33)设PM=APC从而得Mf品1-4⑶+1园)BM=(73(1-2)后4+L3a-1)设平面MBD勺法向量为

<n、BM=0向的二0若直线pa//平面mbd满足Im*幺F=0,,a'3(1-Z)x+(3A+l)y+(3A-l)z-0। 4y-z=0「一.得4 =庐-31-12)且后P=十.L—D,直线BP与平面MB而成角的正弦值等于:sin0=\n-BP\3-3+12| 2\n\\BP*156x15 65V19520解：20解：(1)设2

by022P(y-,y。)，则点P到直线x—y+3=0的距离2p则dmin=0不合题意，所以△<0即0<P<6所以当y0=P时，dmin夕3即抛物线C的方程为y2=4x;(2)因为抛物线C的方程为y2=4x,所以(1,0)是焦点设li交抛物线C于A(。y)B%,y2),I2交抛物线C于D(x3,y3),E(x4,y4)由题意l1的斜率k存在且不为0,设l1的方程为y=k(x-1),y-k(x_1) 22 2 2由2 ：kx—(2k 4)xk=0=xx2y=4x=2—k2则AB, , ,4 ———=x+x2+p=4+—,同理得DE

k2=44k2,, 1 .1 1 .4 . 9故S=-ABDE=—(4+万)(4+4k2)=8k2 2k即S*2q8k242+16=32,当且仅8r一 .当8k2=二即k=省时，等号成立，所以Smin=32k21.(1)fx=-11x-ex-e所以f所以f(x)的极小值为：frie2，一2一,极大值为：f(e)=—；X(y」)1ee(事何八X)一0+0/(x)单调速遍极小值单调递增极大值单调递褪(2)由⑴可知当xw1,+比)时，函数f(x)的最大值为-e对于彳Etx〔wb,f),&w1,f)，总有g(xf2)成立，等价于g(x)之1恒成立,gx=exgx=ex1--a①a4①a42时，因为ex>x+1,所以g'(x)=ex+1 〜 ，——-a>2-a>0,即g(x)在x110,^)上单调递增，g(x)2g(0)=1恒成立，符合题意.②当, 7 1a②当, 7 1a>2时，设h(x)=e+ —a,v1hx=e >0,所以g'(x)在［0,")上单调递增，且g'(0)=2—a<0,则存在xow(0,f)，使得g'(x)=0所以所以g(x族(0,x0)上单调递减，在(/，依)上单调递增，又g(R)<g(0)=1,所以所以g(x)>1不恒成立，不合题意.综合①②可知，所求实数a的取值范围是-二,21.aa为参数)，1rH=2+2msa(1)曲线C的参数方程为=转换为直角坐标方程为:(x-2)2+y2=4,转换为极坐标方程为:==4cos0.曲线G的极坐标方程为==2sin0,转换为直角坐标