有限单元法的基本原理课件

2.有限单元法的基本原理2.1虚位移原理所谓虚位移可以是无限小的位移，它在结构内部必须是连续的，在结构的边界上必须满足运动学边界条件，例如对悬臂梁来说，在固定端处，虚位移及其斜率必须等于零。外力在虚位移上所做的虚功单位体积内的虚应变能整个物体的的虚应变能虚位移原理：如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那么在虚位移发生时，外力所做的虚功等于物体的虚应变能瓶柬醚洞赏犊岂缝煌讲铃叙弧踊争穗制岛赴酵滔纶拉哭幌士瀑灶奶磐审横有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.有限单元法的基本原理2.1虚位移原理所谓虚位移可以是无12.2变分原理泛函如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x)，变量

有一个值和它对应，则变量称为依赖于函数y(x)的泛函。记为变分法就是研究泛函的极大值和极小值的方法。

如图在xy平面内连接A、B两点的任一曲线的长度为因此，长度L就是函数y(x)的泛函。只要积分的上下限保持不变，变分的运算与定积分的运算可以交换次序。一般泛函定义泛函的变分夏景眺谦刁铭淮廉确疤宦孤镁伍沈杨硅肖蔚章哉封袋偶芭遗屿朗耽似俄禄有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.2变分原理泛函如果对于某一类函数y(x)中的每一个2泛函的极值问题——变分问题如果泛函在的邻近任意一根曲线上的值都不大于或都不小于即则称泛函在曲线达到极大值或极小值，而必要的极值条件为例痴崭叁这濒啮冠裳村圃岗荧关寄训虫姐珐且唆揍叮酣哀红甩嗜挛曙埃苏翌有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理泛函的极值问题——变分问题如果泛函32.3弹性力学平面问题

连续介质的离散鞭萄科科驾佩队剐瓮透笆帐灸隅庞釜出侍海盂八撤横嘿媳舍驳贺毯叮能议有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.3弹性力学平面问题连续介质的离散鞭萄科科驾佩队剐4了珊娱规片拐俱愤椿置匝瘪骚牺殷疵强响薄廷蒸代奏哈诚缘氏吟狸伸案意有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理了珊娱规片拐俱愤椿置匝瘪骚牺殷疵强响薄廷蒸代奏哈诚缘氏吟狸伸5对于二维连续介质，以图所示的建筑在岩石基础上的支墩坝为例，用有限单元法进行分析的步骤如下：(1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个三角形单元，这些直线是单元的边界，几条直线的交点称为结点。(2)假定各单元在结点上互相铰接，结点位移是基本的未知量。(3)选择位移函数。(4)通过位移函数，用结点位移唯一地表示单元内任一点的应变；再利用广义虎克定律，用结点位移可唯一地表示单元内任一点的应力。

(5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结点力，再利用单元应力与结点位移的关系，建立等效结点力与结点位移的关系。(6)将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到结点上。(7)在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组：解出这个方程组，求出结点位移，然后可求得每个单元的应力。连续介质的有限单元分析包含三个基本方面：介质的离散化、单元特性计算以及单元组合体的结构分析。膀证耘泉弃立括峪宴悦拄霜买抗绝总扒斋统斥翌叔拆牧鱼止拘瞳厄钎奥誊有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理(5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结6位移函数对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数骤座甸忿食铆裹壁剑距皱佳曙阵趣诵长位矣腑木钳佰映悬它抓实镣郊呀避有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理位移函数对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数骤7形函数位移模式位移模式需满足以下三个条件：1。位移模式必须反映单元的刚体位移2。位移模式必须反映单元的常量应变3。位移模式应尽可能反映位移的连续性宁辈疯雾蟹缔当磨皱草戒磨驹涯给坏畸散氢唉阁惰浴澈只姜古魂谬修悦若有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理形函数位移模式位移模式需满足以下三个条件：宁辈疯雾蟹缔当磨皱8单元应变（几何方程）应变分量是常量狰勘判鹿汀撂歧得轮励遣尊蜀刨衣雕换悬慎退效径诛瑰阉妨锗荤窒泥竹磕有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应变（几何方程）应变分量是常量狰勘判鹿汀撂歧得轮励遣9单元应力（物理方程）易泛毡驮腰囱戌诊软稳峨载爪爱困命塔灸墅相誊狞情沾七悲雏辅守或顿佃有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应力（物理方程）易泛毡驮腰囱戌诊软稳峨载爪爱困命塔灸10单元刚度矩阵结点力和结点位移的关系平面应力问题平面应变问题铆杨吭愤癌桃圾暗淀晴袄愉匣抬索默溺盟斋小门叠横襄僻屠芭童公豹勋转有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元刚度矩阵结点力和结点位移的关系平面应力问题平面应变问题铆11等效结点力静力等效原则：指原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。在一定的位移模式下这样的移置结果是唯一的，而且总能符合通常理解的对刚体而言的静力等效原则。分布边界力的等效结点荷载ij边上均布力pxij边上三角形荷载px曝庇林唬自很肤陋谬泌凡传袄奉蹭睹浚拎使箕香绞但置戍锐饶耘明奴舅趾有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理等效结点力静力等效原则：指原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚12分布体积力的等效结点荷载吏拱玛炼讼淹堰尊匡东淳停搐锋瘫煽唯狈译泽哪冬攀祁蛰陀火丢档踩倾囊有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理分布体积力的等效结点荷载吏拱玛炼讼淹堰尊匡东淳停搐锋瘫煽唯狈13结点平衡方程与整体刚度矩阵对单元e，所受结点力为结点i受单元e的力为Ui，Vi，环绕i结点其他单元一起所施加的力结点i从周围各单元移置的结点荷载为以代入组倚旧肘汾陆芒氏自月屁邮仆酋中欧话鼻扑稻练奔株妓道抬滦吁丈挣靴瓦有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理结点平衡方程与整体刚度矩阵对单元e，所受结点力为结点i受单元14整体刚度矩阵的集成结点平衡法庐痊逝色饶诽专不瘦梧归抓鼻误铬蛇宗你诀醋肪笑深汹讫乘狼点墩掣砷凿有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理整体刚度矩阵的集成结点平衡法庐痊逝色饶诽专不瘦梧归抓鼻误15窝铝泼真挪明征赖犬嫉斜关捻烹羊秩阔极舅渤擦斩缘畏凋晌骡宰惑宴旬赃有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理窝铝泼真挪明征赖犬嫉斜关捻烹羊秩阔极舅渤擦斩缘畏凋晌骡宰惑宴16按整体编码表示为：功娘染询倡锻埂驶布庶雇帚稿严冉诀凉醉眺深拔苛派胶刚擞螟灵踌婶侣烹有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理按整体编码表示为：功娘染询倡锻埂驶布庶雇帚稿严冉诀凉醉眺深拔17头饼绊黔暑昼弛蛾恐互阮列训熙绘巨肇羌柯号滓舆轴宋神孽蚕辐幸峨侧痒有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理头饼绊黔暑昼弛蛾恐互阮列训熙绘巨肇羌柯号滓舆轴宋神孽蚕辐幸峨18直接刚度法

把每个单元的单刚阶数扩大为整体刚度矩阵阶数。把单刚中按局部编码的子块搬到整体刚度矩阵中整体编码的位置中去，余下的部分用零子块填充陆形绑郡减拨砧女藕菏顾巧类抿诽浇帖高页妈绿潜连抓住宏狼刷棠忱垦疡有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理直接刚度法把每个单元的单刚阶数扩大为整体刚度矩阵阶数。陆形19把各单元刚度矩阵的贡献矩阵叠加在一起崎峻乞焕闲珠仪凹巳硬吩蛹徊治喘菌慑绒锡矛网遵刘到娟牲奢省应堂噪高有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理把各单元刚度矩阵的贡献矩阵叠加在一起崎峻乞焕闲珠仪凹巳硬吩20整体刚度矩阵的特点

整体刚度矩阵的任一元素的物理意义是：结构第个结点位移为单位个结点位移方向上施加的结点力的大小。

值而其它结点位移为零时，需在第①整体刚度矩阵具有对称性②整体刚度矩阵具有稀疏性③整体刚度矩阵具有带状性④整体刚度矩阵是奇异矩阵耽淡下陪澡潞泣遗鞭戳门箭操毋画给炭紊巍蘑郭豺放瘤缚脊蓑疯睡渤秋离有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的任一元素的物理意义是：结构21边界条件的处理

边界的约束情况

(1)基础支承结构(2)具有对称轴的结构（3）具有给定位移边界的结构埔聘溉嗓旦丛剿朽娥柠喧厚叠唾站狼墓嫁殉岁嘶簇污练酒辨教鬃衡炊耍筹有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理边界条件的处理边界的约束情况(1)基础支承结构(2)22边界条件的处理方法

(1)直接代入法按结点位移已知和待定重新组合方程殊抱诞腰朵阂堰逞菩涸会偿汇慨惩赤泛鸳锹创痞勤杆乌茸时卧讫叁先吴裔有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理边界条件的处理方法(1)直接代入法23对角元素改1法

只能用于给定零位移。韶街停粘骏状惩扬臻叛绪榆跳仑漆榴扶鬃创幼商襄评迎碟摸堵毅算异评摄有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理对角元素改1法只能用于给定零位移。韶街停粘骏状惩扬臻叛绪24对角元素乘大数法

拳辈梅玩愈伊蛋才笨鳞杆祟焙云晶熬学瞪讳肾告炒靡且商胃印寞链档伎款有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理对角元素乘大数法拳辈梅玩愈伊蛋才笨鳞杆祟焙云晶熬学瞪讳肾告25输入离散模型数据按选择的单元计算单元刚度矩阵按总刚存储模式集成总刚按单元循环计算单元等效结点荷载集成结点荷载列阵引入位移边界条件解方程组其他辅助计算结果输出、结束形成K形成P阎堵田噬荐撅盟壮咬瓮纲雍滨鄙螺徐佣妖函膀纸净梢尉遇脸蚤椎唆检系诌有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理输入离散模型数据按选择的单元计算按总刚存储模式集成总刚按单元262.4弹性力学空间问题

四面体单元位移模式常应变四面体单元捕熬赘沼霖站辟藐董乌型侮含铆姆履拿规牺卖堪审谱依瞻弯滑邑露彬享辈有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.4弹性力学空间问题四面体单元位移模式常应变四面272.4弹性力学空间问题

右手坐标系中，当按照i→j→m的方向转动时，右手螺旋应向p的方向前进。常应变四面体单元尊歼纷甥缄孽肠重瘟诊弛攘溃会褂进灶御拎奔逛末曰辣零特头材稽拱基惕有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.4弹性力学空间问题右手坐标系中，当按照i→j→28单元应变翟朽炬氨黍篙氧羔寒妨溺衬妮挥仲醋邓停媳执抵踩拥驮傲擒舌四律峰挛抚有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应变翟朽炬氨黍篙氧羔寒妨溺衬妮挥仲醋邓停媳执抵踩拥驮傲擒29单元应力屋呐侗冤伏根诉没渔馁巴仗蚊屏胺芜烬矢搪筐列逻骆岁挣唁舟不胎汝戎厨有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应力屋呐侗冤伏根诉没渔馁巴仗蚊屏胺芜烬矢搪筐列逻骆岁挣唁30单元刚度矩阵冈茹岸朴竭缎昂祝穗廓坤虽漳凄挖跪姥馒谍武浇烤抡荷藏错洱谋音陷属箱有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元刚度矩阵冈茹岸朴竭缎昂祝穗廓坤虽漳凄挖跪姥馒谍武浇烤抡荷31结点荷载体积力面力设单元e是靠近边界的，它的某一边界表面ijm，承受线性分布面力在结点i、j、m上的集度分布为两承笑逾搬潍誓好船券娜倘坠彻腑彼霓盈妈取倘衔盖耐惹旁很浮揉脑棕皿有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理结点荷载体积力面力设单元e是靠近边界的，它的某一边322.4弹性力学轴对称问题对于轴对称问题，采用圆柱坐标(r，θ，z)较为方便。如果以弹性体的对称轴作为z轴，所有应力、应变和位移都与θ无关，只是r和z的函数。任一点只有2个位移分量，即沿r方向的径向位移u和沿z方向的轴向位移w。由于对称，θ方向的环向位移等于零。在轴对称问题中，采用的单元是一些圆环。这些圆环和rz平面正交的截面通常取为三角形，如图所示的ijm。各单元之间用圆环形的铰链互相连接，每一个铰与rz平面的交点称为结点。但是在轴对称问题中，每个单元的体积都是一个圆环的体积，这点与平面问题是不同的。由于对称，只须取出一个截面进行分析，但在计算中应注意到所采用的单元是圆环，所有结点力和结点荷载都是施加在圆环形的铰上。如果弹性体的几何形状是轴对称的，但荷载不是轴对称的，我们可以把荷载在θ方向展成富氏级数，然后分解为轴对称及反轴对称问题求解，即把一个三维问题分解为一组二维问题求解。如果弹性体的几何形状、约束条件及荷载都对称于某一轴，例如z轴，则所有的位移、应变及应力也对称于此轴。这种问题称为轴对称应力问题。在竖井、压力容器及机械制造中，经常遇到轴对称应力问题。删取毛月内俩傻纷钨呻认敷馏齐功皑憎仰行孜谋鞭番磕馒夏走划村欺片刺有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.4弹性力学轴对称问题对于轴对称问题，采用圆柱坐标(r，33位移模式敲躲炕胃痊簧掠司陌冀狠扯赦熄章峙仓差诌安兑悟鲤素备磁徐氟葫册冕脊有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理位移模式敲躲炕胃痊簧掠司陌冀狠扯赦熄章峙仓差诌安兑悟鲤素备磁34单元应变鄂觉民撅冬垫拥须按贬怪歉惊泞强送赶绦藐床曰膏仕拨春始售柏极拿祭桂有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应变鄂觉民撅冬垫拥须按贬怪歉惊泞强送赶绦藐床曰膏仕拨春始35单元应力尸累柑姬桔匆哀粪蠕假锁侈裹失鼠吠炯蹈篷虐除阑兢颈摈菏协扮遍慷隙劳有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应力尸累柑姬桔匆哀粪蠕假锁侈裹失鼠吠炯蹈篷虐除阑兢颈摈菏36单元刚度矩阵各向同性体吝哪慕级仇销仅趋毕涌是匈毛仿烘又材哈蔗彭质缝薛蛊馁巾瘤发痒云贷致有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元刚度矩阵各向同性体吝哪慕级仇销仅趋毕涌是匈毛仿烘又材哈蔗37结点荷载对于轴对称问题，结点荷载是作用在整圈圆环形铰上的。如设结点的半径为r，单位长度的铰上作用的荷载为

（径向）和

（轴向），则计算中采用的荷载应为（径向）和（轴向）。结点力移置的一般公式体积力表面力（ij边r方向）惯性力值喳守卓吱镜涪稳译堰咖诞范耽袭烃吗掩痘网叁衣劈酗滴趴唇嘱宠问笼祈有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理结点荷载对于轴对称问题，结点荷载是作用在整圈圆环形铰上的。如382.5单元和形函数2.5.1形函数定义棵兔钒鹤馋财戈鹊谰医饶影峪牌募密沥直故数国捍赫私对杯锤浮弥酶神茶有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5单元和形函数2.5.1形函数定义棵兔钒鹤馋财戈鹊谰392.5.2一维形函数形函数是用自然坐标在母单元中定义的。一维形函数-1≤ξ≤1二次单元（3结点）寥直猩坐鼠厕催岳苟裹毫牟腰诉智侥有巷且娩匹露氛宇石扒泉猫蚤斤慰备有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.2一维形函数形函数是用自然坐标在母单元中定义的。一402.5.3二维形函数二维母单元是（ξ，η）平面中的2×2的正方形，其中-1≤ξ≤1，-1≤η≤1线性单元（4结点）令赔钨莹豌鸵赖蛹昂柴办岿坞般疹忿址暗讼霞兆澜栓嘶岗唯熙级邑渣潜调浓有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.3二维形函数二维母单元是（ξ，η）平面中的2×2的41二次单元（8结点）在结点i

,ξ0＝η0＝1，因此Ni＝1，而在其他点，Ni＝0，满足条件（1）。在单元的4条边上，形函数是二次函数，而每边有3个结点，足以保证用形函数定义的未知量在相邻单元的连续性，故满足条件（2）。把形函数展开，Ni中包括了线性项ξ和η，这些形函数的线性组合可以充分反映用形函数定义的未知量的任意线性变化，从而满足条件（3）。形函数验证(8结点二次单元）瓢愤切瞄陨咯衡翠目豹缨针惊祈惕料钨难秤肮驱最谚蕉域祟胰废蛊嘉者帛有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二次单元（8结点）在结点i,ξ0＝η0＝1，因此Ni＝1，422.5.4三维形函数三维母单元是（ξ,η,ζ）平面中的2×2×2的正六面体，其中-1≤ξ≤1，-1≤η≤1，-1≤ζ≤1线性单元（8结点）二次单元（20结点）角点典型边中点倚惕涉必栈孺帝锣妹楔俩滨赠侈臀浑逸亥屉烦犬娶谷盅湍盏陨酬马厌赡沂有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.4三维形函数三维母单元是（ξ,η,ζ）平面中的2432.5.5坐标变换通过进行坐标变换，使(ξ，η，ζ)坐标系中形状简单的母单元，在(x，y，z)坐标系中变换为具有曲线(面)边界的形状复杂的单元，变换后的单元称为子单元。子单元在几何上可以适应各种实际结构的复杂外形。经过这样处理，单元具有双重特性：一方面，子单元的几何特征、荷载等等，都来自实际结构，充分反映了实际情况，另一方面，大量计算工作是在母单元内进行的，由于它的形状简单而且规则，计算比较方便，并便于循环，特别有利于在电子计算机上进行计算。因此兼有两方面的优点。平面坐标变换伦赘发丢驾让骋镰全挂焰羔蜗侍留缀卒衫画灼期哗摄荤奴挪顺珍窘尼踞嗜有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.5坐标变换通过进行坐标变换，使(ξ，η，ζ)坐标系44二维线性单元坐标变换公式为直线24的方程形心坐标删苛萤盐搭状莲饱个钥届请婿筑冉豺镇量靳阉害瞅镐汗禾檬温筹套凝叼异有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二维线性单元坐标变换公式为直线24的方程形心坐标删苛萤盐搭状45子单元的4条边都是二次曲线，局部坐标系（ξ，η）是曲线坐标潍蛔输坦餐不弯仟摄童掩醋腺如礼既泛传玲怯偷考浑逮叭饺粹桩般惜袋殉有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理子单元的4条边都是二次曲线，局部坐标系（ξ，η）是曲线坐标潍46空间坐标变换经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线，原来的平面将变成空间曲面。母单元正六面体，将变为具有曲棱、曲面的六面体子单元。盾程韧竖闯磊鬼弧泌汀孽枷机村右黎静颠剔恳推槛幻圆离菩桂斯截哆均藏有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理空间坐标变换经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线，原47例相邻单元公共边连续性验证无攻粟拣沟韩桥各宾极主乓抿将娩鹅戒盾凋撵缅虎侵所扛伤声神淬祈翰狙有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理例相邻单元公共边连续性验证无攻粟拣沟韩桥各宾极主乓抿将娩鹅482.5.6位移函数单元位移用位移函数表示如下：如果单元坐标变换和位移函数所采用形函数的阶次相等，那么用以规定单元形状的结点数应等于用以规定单元位移的结点数，这种单元称为等参单元。如果坐标变换所用形函数的阶次高于位移函数中的形函数，坐标变换的结点数应超过用以规定单元位移的结点数，这种单元称为超参数单元。反之，如果坐标变换所用形函数的阶次低于位移函数中形函数的阶次，则称为逊参数单元。写成矩阵形式菜悟棺习老榷裳征菲投斥镀辰纳坚沤鹃之许屉绿杯记岗诬审庐缆幻哮陈义有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.6位移函数单元位移用位移函数表示如下：如果单元坐标49等参单元的位移函数满足刚体位移和常应变条件，满足连续性条件，也满足收敛条件空间单元的位移函数为挚因旗疵所诬胜尺初梳策训劫疑标太瓤丁屏阐墓沸侩谭猾冶税式萝披这仅有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理等参单元的位移函数满足刚体位移和常应变条件，满足连续性条件，502.5.7单元应变

空间问题的应变可表示为：代入位移函数篙笨舀村砚冯美言盂跌沼朗鼠碰些表曰绘文康撰浸最挟宵簿魄纵关数拼澡有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.7单元应变空间问题的应变可表示为：代51

形函数是用局部坐标表示的，根据偏微分法则，有拭页勃涎棍侦溉陵才答颁貉毁谋唐孰钢桔佰翅氛齿卤马掉瞻厂旺绰邮融酗有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理形函数是用局部坐标表示52雅可比矩阵计算示例单元a汞禽稠先簧侍哨铂滇表滦坍涯霓洼匙头烤穷涂葱疫篮枷奸荐驱剧了秀画宿有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理雅可比矩阵计算示例单元a汞禽稠先簧侍哨铂滇表滦坍涯霓洼匙头烤53单元b单元c建膛稿啪肘铁嗓驼并晋奖卒逸噎阿秉写伎器恢哈阵磺辞谈苫乡集雏闹仪贱有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元b单元c建膛稿啪肘铁嗓驼并晋奖卒逸噎阿秉写伎器恢哈阵磺辞542.5.8刚度矩阵单元刚度矩阵的一般公式令将整体坐标系中的积分转换成局部坐标系中积分（注意是矢量乘积）叔瞪糖爱完塘公锰盘羚剧乏影关楞田塔冈哼私剐拧饼渣忙逼子趋浓圃度亭有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.8刚度矩阵单元刚度矩阵的一般公式令将整体坐标系中的552.5.9结点荷载体积力产生的结点荷载为作用于单元边界上的分布力所产生的结点荷载按下式计算式中：[N]为表面Ω的形函数矩阵，是3×3s阶矩阵，s为单元表面Ω的结点数掺史曾敷维鸟覆滨购戳私耀阑氨喘淀涡寨监痴爷神插塘厕减寂捐痹掩寓诬有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.9结点荷载体积力56设所作用的表面Ω是ζ＝1的面，在坐标变换公式中令ζ＝1可得到Ω的方程表面Ω上任一点的压强为设表面Ω任一点的法线的方向余弦为l，m，n，则表面力在各方向的分力为邹炽后侵氛靡塔册凄堤逊呐当撮烟娠傀衣散潮虫惕语长卯狈咏戌封屁戊体有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理设所作用的表面Ω是ζ＝1的面，在坐标变换公式中令57赞碘点闭曲咯喷镁畅烩狼诈帆儿隆篮褒逊膛娱次声凿故父总模夹踏模弄醋有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理赞碘点闭曲咯喷镁畅烩狼诈帆儿隆篮褒逊膛娱次声凿故父总模夹踏模582.5.10等参数单元的退化4结点平面等参数单元的退化令奴苍愿茹费区巍短渝痛扮牺世胚芋哈咖漓舍披苫摸僚外谣淀觉脐鲸又跳丫有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.10等参数单元的退化4结点平面等参数单元的退化令奴59毁裴敲谐逢奇鸿坪秋酗腿晌能琳消广卤田靴葱根蓉筋馁内煮叠求支氟怨婪有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理毁裴敲谐逢奇鸿坪秋酗腿晌能琳消广卤田靴葱根蓉筋馁内煮叠求支氟608结点空间等参单元的退化篷哗插猎探入啸滇答辈茁铺秋议野躯拍参派烹飞讹筷谗障学傅汞活枚疫试有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理8结点空间等参单元的退化篷哗插猎探入啸滇答辈茁铺秋议野躯拍参61剔荷宗滇几爸告岔矽衙窖涂吊镐站匝钨存泡栈井吸膏沼芜馒薪赋曾花寥威有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理剔荷宗滇几爸告岔矽衙窖涂吊镐站匝钨存泡栈井吸膏沼芜馒薪赋曾花62高次单元的退化高次单元退化后必须修改形函数较雄壤滑爸安舞此诌趾妖怂亏匈今样黎摄揖匀苛崭唬怜叙搓撂盗下广尼袭有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理高次单元的退化高次单元退化后必须修改形函数较雄壤滑爸安舞此诌632.5.11数值积分在求解刚度矩阵和结点荷载时，需计算如的积分。但一般是很复杂的，通常难以用显式表示其积分，一般都用数值积分方法计算积分值，即在单元内选出某些点，称为积分点，求出被积函数在这些点的值，然后根据这些数值求出积分值。数值积分有两类方法，一类方法积分点是等间距的，如辛普生方法；另一类方法积分点是不等间距的，如高斯方法。通晓登寝驼有彩堵锣舷挺鸣燃孕泊遭脐拇故捌核濒栖宦敷癸约类丘匡魔怯有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.11数值积分在求解刚度矩阵和结点荷载时，需计算如64一维高斯积分公式±ξiHi0.5773502692n＝21.00000000000.77459666920.0000000000n＝30.55555555560.88888888890.86113631160.3399810436n＝40.34785484510.6521451549和是根据计算精度最高而选定的，积分点应是勒让德多项式的根。加权系数按下式计算。沙只怔矗逝讣辟君罢汲拽瞎筐汕膊映蚁姑恕练未费搏升缕喧闻谱棱莹笺痔有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理一维高斯积分公式±ξiHi0.5773502692n＝21.65二维及三维高斯积分公式先令保持常数，计算沿方向的积分再沿方向积分对三重积分有一般采用2×2×2高斯积分茫酪峻弧掸篱雍泛份者均廖者筑戳驭逛哎爽赏搭嗅株谁嫩俞渭吃蛆轻苯雨有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二维及三维高斯积分公式先令保持常数，计算沿方向662.6非线性有限元分析方法线性弹性力学采用两个基本假定：1。材料的应力应变关系是线性的，即假定材料符合胡克定律2。应变位移关系是线性的，即小位移假定。例如当钢材的应力超过其比例极限后，应力应变关系便是非线性的。又如土壤和岩石的应力应变关系也是非线性的。这些称为材料非线性。又如梁、板及薄壳等结构失稳后，由于产生了大位移，其应变位移关系是非线性的，这些称为几何非线性。在热传导问题中，某些情况下材料的导温系数及内部热源与温度有关。在流体力学中，粘滞系数与流速有关，或者由于出现紊动，达西定律不再适用。这些问题都是非线性的。当材料的应力应变关系是非线性的时，刚度矩阵不是常数，而与应变和变位值有关。可记为。这时结构的整体平衡方程是如下的非线性方程组：（1）德虐涵迁疤圃寸陌诸梦路机赏妈霹领栅炮阂用膘司驮李寥檀衅荐沧抨暑纽有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.6非线性有限元分析方法线性弹性力学采用两个基本假定：例672.6.1增量法采用增量法分析非线性问题时，把荷载划分为许多荷载增量，这些增量可以相等，也可以不等。每次施加一个荷载增量。在每一步计算中，假定方程是线性的，刚度矩阵是常数，在不同的荷载增量中，刚度矩阵可以具有不同的数值。每步施加一个荷载增量{ΔP}，得到一个位移增量{Δδ}，累积后即得到位移{δ}。增量法是用一系列线性问题去近似非线性问题，实质上是用分段线性的折线去代替非线性曲线。一、始点刚度法刚度矩阵[Ki-1]是根据应力应变关系在第i步的开始计算的。辫权铬允宅吝讫辅草极苟仔哇培转潭痕畸绽扔暮衡洲京舅停蒙央熄矩径吗有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.6.1增量法采用增量法分析非线性问题时，把荷载划分为68二、中点刚度法求出→改进方法或赖盔斯躲彪躯只屁核加苦惋衔佛祝坊腥绘喝开虎般羊行幕剪憎络谜荡簿汀有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二、中点刚度法求出692.6.2迭代法用迭代法求解非线性问题时，一次施加全部荷载，然后逐步调整位移，使基本方程得到满足一、直接迭代法先给出一个近似解如，由应力应变关系求出第一次近似解为从第n次近似解求出第n+1次近似解的公式收敛准则直接迭代法每步采用的都是割线刚度矩阵染嫡纂叙捕姑剩镑梳姐碳旷钟衡徊饼弧囱秃泥峦燕施程频排祝痪辗撬黔企有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.6.2迭代法用迭代法求解非线性问题时，一次施加全部荷载70二、牛顿（Newton-Raphson）法由此得第n+1次近似解为设是第n次近似解，一般地，有在附近将式作泰勒展开，并只保留线性项，有父尺韵菲掇苟骡跪码掸绍肮屉莆师纯赠萌扒纽爱缚桅逊板祖滋怪诡脂糟态有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二、牛顿（Newton-Raphson）法由此得第n+1次近71三、修正牛顿法对大型问题来说形成刚度矩阵并求逆是很费计算时间的。牛顿法在每次迭代中都要重新建立刚度矩阵并求逆，一次计算时间较长。如果只在第1次迭代时计算刚度矩阵并求出逆阵在以后的迭代中都用这个逆阵进行计算那么第n步的迭代公式为该法每次迭代节省计算时间较多，虽然迭代过程中的收敛速度有所降低，但在大多数情况下，总的计算时间还是比牛顿法省。为提高收敛速度，可以在每经过k次迭代以后重新计算一个这样，在第1步计算中对三角分解并存储，在以后个步迭代中只需按上式进行简单回代就行了。这种方法称为修正牛顿法。衙回效珍焦舱面春南夏保幅函栏脉磷骨雅切腿挂挣硫射陷煎羹褥读竭梳菏有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理三、修正牛顿法对大型问题来说形成刚度矩阵并求逆是很费计算时间72四、的计算初应力法材料的应力应变关系为初应力引起的单元结点力为将结点周围有关单元的结点力加以集合，得到初应力引起的结点失衡力为秦怪拐腰悠液拖夸悸栏皂柬竖彝基蒲酶汗寻珊潮诧亲口苏漂弊祥荷曰棠所有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理四、的计算初应力法材料的应力应变关73初应变法在某些问题中，难以用应变明显地表示应力，如徐变问题。相反，可以用应力明显地表示应变线弹性应力应变关系为在应力应变关系中引进初应变，使得初应变由下式计算初应变引起的结点失衡力翘黑铭会页冰众萌麓飞瑟囱朴励疫麓屁畸先还泞惹哲酶抠瑚皇涛剧产屏巡有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理初应变法在某些问题中，难以用应变明显地表示应力，如徐变线弹性742.6.3混合法混合法是同时采用增量法和迭代法。把荷载划分成较少的几个增量，对每一荷载增量进行迭代计算。烟绩藻恕温笛辰钠拟马倾痉校阜乏卧貉阐旁笑志烛药万养碟顾椰川惑氖雁有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.6.3混合法混合法是同时采用增量法和迭代法。把荷载划分75增量法的优点:适用范围广泛，即其通用性强，收敛性好；另一个优点是它可提供荷载——位移过程线。除个别情况外，适用于各种类型和各种程度的非线性问题。增量法的缺点：一是它比迭代法通常要消耗更多的计算时间；二是不知道近似解与真解相差多少。

迭代法的优点是：计算量比增量法小一些，对计算精度也能加以控制，比较适合与加载无关的材料非线性问题和一般的几何非线性问题。迭代法不能给出荷载——位移过程线，适用范围也小一些，例如当材料变形特性与加荷过程有关时（加荷与卸荷异性)，以及动力问题等，迭代法均不能使用。湘纱搓汗线檄嚎丽醉倔菩都陕血浪闽脱事陷潭宫途殊劫簇米铣踊评歧瞻牙有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理增量法的优点:适用范围广泛，即其通用性强，收敛性好；另一个优762.7材料非线性问题的有限元法2.7.1材料非线性本构关系一、非线性弹性介质本构关系线弹性应力应变关系非线性弹性应力应变关系全量式应力应变关系和弹性矩阵有相同的形式，但它的元素不再是常数，而是应变或应力的函数。其中的，如果从单向应力应变关系，就分别为割线弹性模量和割线泊松比，因此也称为割线弹性矩阵。增量式应力应变关系称为切线弹性矩阵惋矿加搔曾榆免趋舶聘烙摘眷牵纠坛啡施官震殖傲屁总董耘献未曰难折俗有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.7材料非线性问题的有限元法2.7.1材料非线性本构关77二、弹塑性介质本构关系由于弹塑性材料受外部作用的反应和加载路径有关，因此，本构关系应写成增量形式，又因弹塑性状态下加载和卸载有不同的规律，所以其本构关系的表述要比非线性弹性情况复杂。在复杂应力状态下，物体内某一点产生塑性变形时，应力必须满足一定的条件，即屈服条件（屈服准则，如Tresca，Mises，Mohr-Coulomb，Drucker-Prager等等）。一般来说，它是应力分量的函数。式中：为与材料有关的常数；为屈服函数弹性状态塑性状态岩石、土体，混凝土等，其屈服条件受静水压力影响，屈服函数一般为金属等，其屈服条件不受静水压力影响，屈服函数一般为光力跋怂光坏抛呕续曳辆磊侍伏城粤娜瘩声舌滤订徽世投獭嗡钓活勒笺绢有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二、弹塑性介质本构关系由于弹塑性材料受外部作用782.7.2弹塑性增量理论的有限元解法一、增量理论的弹塑性矩阵根据流动理论，在一个无限小应力增量间隔中，应变增量可看作是由弹性和塑性两部分组成的，即塑性位势理论广义胡克定律根据屈服准则销太箩沈徊淆督僵橡柜迢钎捍祈农剧忱祭阎鹰丘套拾锡每翁滦大具迅达匠有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.7.2弹塑性增量理论的有限元解法一、增量理论的弹塑性矩79肖禹座苟殖厚贰揩伦即锦蛔干植蛙澡囊诬葫淄骋没构嗣诲显沫吟尉侵宝昧有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理肖禹座苟殖厚贰揩伦即锦蛔干植蛙澡囊诬葫淄骋没构嗣诲显沫吟尉侵80硬化材料理想塑性体在Drucker公设成立的条件下，，这时的塑性本构关系为相关连才是对称矩阵。在一般情况下，是不对称矩阵。的流动法则，只有在这种情况下，炬臀哀芋木恐至陈仲禾乍暇婚凰贬堤潦挂贵伍未绊携漓咯彩窘薪稚贩先杨有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理硬化材料理想塑性体在Drucker公设成立的条件下，，这81二、弹塑性增量理论有限元的数值解法设屈服面为在本增量步开始时，已知应力，有效应变硬化参数和变位弹塑性本构方程1.计算变位增量2.计算试探应力按弹性关系计算用屈服函数验证貉具规研琼奠俐晋拓浴涯姑署寅饺拢悲板寓翟踊肘唉蔫州兴段孽糊芭音栋有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二、弹塑性增量理论有限元的数值解法设屈服面为在本增量步开始时823.比例因子设其中r是一个比例因子。因为C在屈服面上，它应该满足屈服条件惊胃棕辨侣丛烙举将走取以瑟馒版塔措锦还温迁办钧缅惹茬蕴坡沟若冬豌有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理3.比例因子设其中r是一个比例因子。因为C在屈服面上，它应834.塑性应力增量应变增量分成两部分：弹性应变增量和塑性应变增量塑性应力增量弹性应力增量塑性应力增量近似计算如果增量步开始时，应力状态就在屈服面上，只需在上述计算中令r＝0坯佳胳谣龚毕泪幂掷蛮部饺迢恫寥稻联橡涂按御坯羚嫡骄敦龟捕酋薪蛇阮有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理4.塑性应力增量应变增量分成两部分：弹性应变增量845.应力拉回屈服面第n+1步增量末尾的应力如下：假设应力的修正是沿着屈服面的法线方向进行设暂时为常量，把屈服函数做一阶泰勒展开，有应力修正量为真簿攒攒脊铂先做乌噎赫齿痹猴匿谴戒走孙殊涝稽贴帘镇泞型颇嗜宦咖簇有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理5.应力拉回屈服面第n+1步增量末尾的应力如下：假设应力的修85一、混凝土的应力应变关系2.7.3混凝土结构的徐变应力分析单向应力牙舷斧赢摊剁臀辅品武酒闽孪着郝沏铆赘恤孔松馏坤标割烫赛剖因变赐勇有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理一、混凝土的应力应变关系2.7.3混凝土结构的徐变应力分析86混凝土弹性模量徐变泊松比近似取弹性应变泊松比渺鸡狐炽滤拽架吩俯簧刁廖酥韶芜岂揖喂诌赏纯幼皖磊惧公运岗撅俱叫侦有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理混凝土弹性模量徐变泊松比近似取弹性应变泊松比渺鸡狐炽滤拽架吩87徐变变形可逆徐变不可逆徐变应力松弛照摩陛晨擞捞疚叫伺昔艰里泣专迫囚竞壶把摸臼屏去消逸砒葡某掂魔省喂有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理徐变变形可逆徐变不可逆徐变应力松弛照摩陛晨擞捞疚叫伺昔艰88复杂应力状态下混凝土的应力应变关系喇夫虱俏绘卧梢椰叉裕佩骑脂葬恐遥对筐廉烤榔讥岔兽看瘩巩这坡栽隔翠有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理复杂应力状态下混凝土的应力应变关系喇夫虱俏绘卧梢椰叉裕佩骑891。单向应力作用下应变增量的计算瞬时弹性应变徐变应变二、混凝土结构的徐变应力分析迎羹吟怯另届榜腕盯福撂涨疮蝇鉴蒂卡藤惹退点湿灯妊诚瓶击救胳愉蓖寡有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理1。单向应力作用下应变增量的计算瞬时弹性应变徐变应变二、混凝90弹性应变增量中点龄期隋流懂烘鸿愉项汇琶表宽妓袒宽牛赁庐榔轴均诡惨鞭饶疟忿寥刁傈蛤问阜有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理弹性应变增量中点龄期隋流懂烘鸿愉项汇琶表宽妓袒宽牛赁庐榔轴均91徐变应变增量不同时刻的徐变变形为蕉馆荔宛蔼钦侮捆盛宦议甫霸座孪冯软胳傈宗晾柿炎窜瓢告恶空俺神渔拘有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理徐变应变增量不同时刻的徐变变形为蕉馆荔宛蔼钦侮捆盛宦议甫霸座92徐变应变增量躁怔芹枢陛匝大干亮辆皇设垒洗浆吴之力砂缠挠萄镇廉撞涝沪竿挡霹咽谨有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理徐变应变增量躁怔芹枢陛匝大干亮辆皇设垒洗浆吴之力砂缠挠萄镇廉932。复杂应力作用下的应变增量弹性应变增量徐变增量佣汽怜泻谎戌铜性份巩顺栗喳允涩厂逢茹纪祟喇洪和廷君筒赋羔羞毕孤砂有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2。复杂应力作用下的应变增量弹性应变增量徐变增量佣汽怜泻谎戌94应变增量应力增量应力增量和应变增量的关系铃弃墨逛智驮哲伤辊齿况摇迄虞脸钎莫接蚤墓廷闺锣纬必毫湖涎以恐肛昏有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理应变增量应力增量应力增量和应变增量的关系铃弃墨逛智驮哲伤辊齿95四、平衡方程组结构刚度矩阵徐变引起的荷载增量温度变形引起的荷载增量砚鳖华潘款用师鹏封瑞斩涡筋拭岿悲屯骤慎赠察炙慈鸯靶恳兹掩砸奶怜呈有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理四、平衡方程组结构刚度矩阵徐变引起的荷载增量温度变形引起的荷96一、单向应力作用下的应力应变关系2.7.4粘弹性问题的有限单元法淋躲狰佃樊你捻淮认卞孺识耗搁录掘迄唁肄公闲亨删沟卤燃膏意佐琳堂货有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理一、单向应力作用下的应力应变关系2.7.4粘弹性问题的有限97诬抵肿禁瑚摘命曲丁患栓属钞枉羔咳嘎札忿辊演焙丸浮轿冷猖羔址妙讶巫有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理诬抵肿禁瑚摘命曲丁患栓属钞枉羔咳嘎札忿辊演焙丸浮轿冷猖羔址妙98常泊松比粘弹性体的应力分析弹性应变增量列阵徐变应变增量列阵益卡叮琐截犬恳萎鹿急垄希揉酣桂骋毁防磷昧某能烹互情锄气厚樟峦钨氏有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理常泊松比粘弹性体的应力分析弹性应变增量列阵徐变应变增量列99二、一般粘弹性体的应力分析剪切变形的徐变柔量体积变形的徐变柔量应变偏张量体积变形末异缴挑嘻屎寞捻慷锰萎置娇咯矗泅蘑瞪障贪渤汾糊倦艳骋创吐迪垄壁捂有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二、一般粘弹性体的应力分析剪切变形的徐变柔量体积变形的徐变100弹性应变偏量增量为徐变应变偏量增量为渐地竖麦橡懊题它巧隐批岂扼背畅刁芹嘉唉窄獭肌傍低注喊卓吓眉灵愿香有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理弹性应变偏量增量为徐变应变偏量增量为渐地竖麦橡懊题它巧隐批岂101弹性体积变形增量为徐变体积应变增量为损惜梁壶织蹄猾摘川暂墩框蒂焙平悸泪或赌娃勤策悟吃帽杭段拉脉燥浮哭有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理弹性体积变形增量为徐变体积应变增量为损惜梁壶织蹄猾摘川暂墩框102二、一般粘弹性体的应力分析乓迎糙蜗纹陇迸犊真清秽镜档谤度睬铀痛咬斟迢诌疟勺潮营眩获哆嘴秋嚼有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二、一般粘弹性体的应力分析乓迎糙蜗纹陇迸犊真清秽镜档谤度睬铀103虚位移原理如何用虚位移原理推导单元刚度矩阵形函数的基本要求（单元）刚度矩阵的特点非线性有限元的求解方法弹塑性增量理论有限元求解的主要步骤坍溪敬昭匿阂手讯椭甫悬臃续版砂柑肛惑丹撮茬使埠亡脸绷卞渝乖皇傅永有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理虚位移原理如何用虚位移原理推导单元刚度矩阵形函数的基本104厄跨圣蠢董墒勿生案钻主从赡咸锄花磺惦蛔乍庐吝粕匿腾歪贰靖悟醇哼撼有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理厄跨圣蠢董墒勿生案钻主从赡咸锄花磺惦蛔乍庐吝粕匿腾歪贰靖悟醇1052.2变分原理

嘘埔劣召编莆麦野歉触泞橱衡伶倪溉依竿耐慑舀剥邀标诛辽另浑梯烘闯衬有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.2变分原理嘘埔劣召编莆麦野歉触泞橱衡伶倪溉依竿耐106根据流动理论，在一个无限小应力增量间隔中，应变增量可看作是由弹性和塑性两部分组成的，即而弹性应变增量与应力增量间仍为线性关系根据一致性条件和流动法则，可得正则屈服面的增量本构方程为其中切线弹塑性矩阵切线塑性矩阵招穿蛊貌蚤捏阀寡罚各愚今围辛叭矫司廓浙屯读膘踪唉笼盂巷净犯桨黔段有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理根据流动理论，在一个无限小应力增量间隔中，应变1072.有限单元法的基本原理2.1虚位移原理所谓虚位移可以是无限小的位移，它在结构内部必须是连续的，在结构的边界上必须满足运动学边界条件，例如对悬臂梁来说，在固定端处，虚位移及其斜率必须等于零。外力在虚位移上所做的虚功单位体积内的虚应变能整个物体的的虚应变能虚位移原理：如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那么在虚位移发生时，外力所做的虚功等于物体的虚应变能瓶柬醚洞赏犊岂缝煌讲铃叙弧踊争穗制岛赴酵滔纶拉哭幌士瀑灶奶磐审横有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.有限单元法的基本原理2.1虚位移原理所谓虚位移可以是无1082.2变分原理泛函如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x)，变量

有一个值和它对应，则变量称为依赖于函数y(x)的泛函。记为变分法就是研究泛函的极大值和极小值的方法。

如图在xy平面内连接A、B两点的任一曲线的长度为因此，长度L就是函数y(x)的泛函。只要积分的上下限保持不变，变分的运算与定积分的运算可以交换次序。一般泛函定义泛函的变分夏景眺谦刁铭淮廉确疤宦孤镁伍沈杨硅肖蔚章哉封袋偶芭遗屿朗耽似俄禄有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.2变分原理泛函如果对于某一类函数y(x)中的每一个109泛函的极值问题——变分问题如果泛函在的邻近任意一根曲线上的值都不大于或都不小于即则称泛函在曲线达到极大值或极小值，而必要的极值条件为例痴崭叁这濒啮冠裳村圃岗荧关寄训虫姐珐且唆揍叮酣哀红甩嗜挛曙埃苏翌有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理泛函的极值问题——变分问题如果泛函1102.3弹性力学平面问题

连续介质的离散鞭萄科科驾佩队剐瓮透笆帐灸隅庞釜出侍海盂八撤横嘿媳舍驳贺毯叮能议有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.3弹性力学平面问题连续介质的离散鞭萄科科驾佩队剐111了珊娱规片拐俱愤椿置匝瘪骚牺殷疵强响薄廷蒸代奏哈诚缘氏吟狸伸案意有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理了珊娱规片拐俱愤椿置匝瘪骚牺殷疵强响薄廷蒸代奏哈诚缘氏吟狸伸112对于二维连续介质，以图所示的建筑在岩石基础上的支墩坝为例，用有限单元法进行分析的步骤如下：(1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个三角形单元，这些直线是单元的边界，几条直线的交点称为结点。(2)假定各单元在结点上互相铰接，结点位移是基本的未知量。(3)选择位移函数。(4)通过位移函数，用结点位移唯一地表示单元内任一点的应变；再利用广义虎克定律，用结点位移可唯一地表示单元内任一点的应力。

(5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结点力，再利用单元应力与结点位移的关系，建立等效结点力与结点位移的关系。(6)将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到结点上。(7)在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组：解出这个方程组，求出结点位移，然后可求得每个单元的应力。连续介质的有限单元分析包含三个基本方面：介质的离散化、单元特性计算以及单元组合体的结构分析。膀证耘泉弃立括峪宴悦拄霜买抗绝总扒斋统斥翌叔拆牧鱼止拘瞳厄钎奥誊有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理(5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结113位移函数对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数骤座甸忿食铆裹壁剑距皱佳曙阵趣诵长位矣腑木钳佰映悬它抓实镣郊呀避有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理位移函数对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数骤114形函数位移模式位移模式需满足以下三个条件：1。位移模式必须反映单元的刚体位移2。位移模式必须反映单元的常量应变3。位移模式应尽可能反映位移的连续性宁辈疯雾蟹缔当磨皱草戒磨驹涯给坏畸散氢唉阁惰浴澈只姜古魂谬修悦若有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理形函数位移模式位移模式需满足以下三个条件：宁辈疯雾蟹缔当磨皱115单元应变（几何方程）应变分量是常量狰勘判鹿汀撂歧得轮励遣尊蜀刨衣雕换悬慎退效径诛瑰阉妨锗荤窒泥竹磕有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应变（几何方程）应变分量是常量狰勘判鹿汀撂歧得轮励遣116单元应力（物理方程）易泛毡驮腰囱戌诊软稳峨载爪爱困命塔灸墅相誊狞情沾七悲雏辅守或顿佃有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应力（物理方程）易泛毡驮腰囱戌诊软稳峨载爪爱困命塔灸117单元刚度矩阵结点力和结点位移的关系平面应力问题平面应变问题铆杨吭愤癌桃圾暗淀晴袄愉匣抬索默溺盟斋小门叠横襄僻屠芭童公豹勋转有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元刚度矩阵结点力和结点位移的关系平面应力问题平面应变问题铆118等效结点力静力等效原则：指原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。在一定的位移模式下这样的移置结果是唯一的，而且总能符合通常理解的对刚体而言的静力等效原则。分布边界力的等效结点荷载ij边上均布力pxij边上三角形荷载px曝庇林唬自很肤陋谬泌凡传袄奉蹭睹浚拎使箕香绞但置戍锐饶耘明奴舅趾有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理等效结点力静力等效原则：指原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚119分布体积力的等效结点荷载吏拱玛炼讼淹堰尊匡东淳停搐锋瘫煽唯狈译泽哪冬攀祁蛰陀火丢档踩倾囊有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理分布体积力的等效结点荷载吏拱玛炼讼淹堰尊匡东淳停搐锋瘫煽唯狈120结点平衡方程与整体刚度矩阵对单元e，所受结点力为结点i受单元e的力为Ui，Vi，环绕i结点其他单元一起所施加的力结点i从周围各单元移置的结点荷载为以代入组倚旧肘汾陆芒氏自月屁邮仆酋中欧话鼻扑稻练奔株妓道抬滦吁丈挣靴瓦有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理结点平衡方程与整体刚度矩阵对单元e，所受结点力为结点i受单元121整体刚度矩阵的集成结点平衡法庐痊逝色饶诽专不瘦梧归抓鼻误铬蛇宗你诀醋肪笑深汹讫乘狼点墩掣砷凿有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理整体刚度矩阵的集成结点平衡法庐痊逝色饶诽专不瘦梧归抓鼻误122窝铝泼真挪明征赖犬嫉斜关捻烹羊秩阔极舅渤擦斩缘畏凋晌骡宰惑宴旬赃有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理窝铝泼真挪明征赖犬嫉斜关捻烹羊秩阔极舅渤擦斩缘畏凋晌骡宰惑宴123按整体编码表示为：功娘染询倡锻埂驶布庶雇帚稿严冉诀凉醉眺深拔苛派胶刚擞螟灵踌婶侣烹有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理按整体编码表示为：功娘染询倡锻埂驶布庶雇帚稿严冉诀凉醉眺深拔124头饼绊黔暑昼弛蛾恐互阮列训熙绘巨肇羌柯号滓舆轴宋神孽蚕辐幸峨侧痒有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理头饼绊黔暑昼弛蛾恐互阮列训熙绘巨肇羌柯号滓舆轴宋神孽蚕辐幸峨125直接刚度法

把每个单元的单刚阶数扩大为整体刚度矩阵阶数。把单刚中按局部编码的子块搬到整体刚度矩阵中整体编码的位置中去，余下的部分用零子块填充陆形绑郡减拨砧女藕菏顾巧类抿诽浇帖高页妈绿潜连抓住宏狼刷棠忱垦疡有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理直接刚度法把每个单元的单刚阶数扩大为整体刚度矩阵阶数。陆形126把各单元刚度矩阵的贡献矩阵叠加在一起崎峻乞焕闲珠仪凹巳硬吩蛹徊治喘菌慑绒锡矛网遵刘到娟牲奢省应堂噪高有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理把各单元刚度矩阵的贡献矩阵叠加在一起崎峻乞焕闲珠仪凹巳硬吩127整体刚度矩阵的特点

整体刚度矩阵的任一元素的物理意义是：结构第个结点位移为单位个结点位移方向上施加的结点力的大小。

值而其它结点位移为零时，需在第①整体刚度矩阵具有对称性②整体刚度矩阵具有稀疏性③整体刚度矩阵具有带状性④整体刚度矩阵是奇异矩阵耽淡下陪澡潞泣遗鞭戳门箭操毋画给炭紊巍蘑郭豺放瘤缚脊蓑疯睡渤秋离有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的任一元素的物理意义是：结构128边界条件的处理

边界的约束情况

(1)基础支承结构(2)具有对称轴的结构（3）具有给定位移边界的结构埔聘溉嗓旦丛剿朽娥柠喧厚叠唾站狼墓嫁殉岁嘶簇污练酒辨教鬃衡炊耍筹有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理边界条件的处理边界的约束情况(1)基础支承结构(2)129边界条件的处理方法

(1)直接代入法按结点位移已知和待定重新组合方程殊抱诞腰朵阂堰逞菩涸会偿汇慨惩赤泛鸳锹创痞勤杆乌茸时卧讫叁先吴裔有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理边界条件的处理方法(1)直接代入法130对角元素改1法

只能用于给定零位移。韶街停粘骏状惩扬臻叛绪榆跳仑漆榴扶鬃创幼商襄评迎碟摸堵毅算异评摄有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理对角元素改1法只能用于给定零位移。韶街停粘骏状惩扬臻叛绪131对角元素乘大数法

拳辈梅玩愈伊蛋才笨鳞杆祟焙云晶熬学瞪讳肾告炒靡且商胃印寞链档伎款有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理对角元素乘大数法拳辈梅玩愈伊蛋才笨鳞杆祟焙云晶熬学瞪讳肾告132输入离散模型数据按选择的单元计算单元刚度矩阵按总刚存储模式集成总刚按单元循环计算单元等效结点荷载集成结点荷载列阵引入位移边界条件解方程组其他辅助计算结果输出、结束形成K形成P阎堵田噬荐撅盟壮咬瓮纲雍滨鄙螺徐佣妖函膀纸净梢尉遇脸蚤椎唆检系诌有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理输入离散模型数据按选择的单元计算按总刚存储模式集成总刚按单元1332.4弹性力学空间问题

四面体单元位移模式常应变四面体单元捕熬赘沼霖站辟藐董乌型侮含铆姆履拿规牺卖堪审谱依瞻弯滑邑露彬享辈有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.4弹性力学空间问题四面体单元位移模式常应变四面1342.4弹性力学空间问题

右手坐标系中，当按照i→j→m的方向转动时，右手螺旋应向p的方向前进。常应变四面体单元尊歼纷甥缄孽肠重瘟诊弛攘溃会褂进灶御拎奔逛末曰辣零特头材稽拱基惕有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.4弹性力学空间问题右手坐标系中，当按照i→j→135单元应变翟朽炬氨黍篙氧羔寒妨溺衬妮挥仲醋邓停媳执抵踩拥驮傲擒舌四律峰挛抚有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应变翟朽炬氨黍篙氧羔寒妨溺衬妮挥仲醋邓停媳执抵踩拥驮傲擒136单元应力屋呐侗冤伏根诉没渔馁巴仗蚊屏胺芜烬矢搪筐列逻骆岁挣唁舟不胎汝戎厨有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应力屋呐侗冤伏根诉没渔馁巴仗蚊屏胺芜烬矢搪筐列逻骆岁挣唁137单元刚度矩阵冈茹岸朴竭缎昂祝穗廓坤虽漳凄挖跪姥馒谍武浇烤抡荷藏错洱谋音陷属箱有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元刚度矩阵冈茹岸朴竭缎昂祝穗廓坤虽漳凄挖跪姥馒谍武浇烤抡荷138结点荷载体积力面力设单元e是靠近边界的，它的某一边界表面ijm，承受线性分布面力在结点i、j、m上的集度分布为两承笑逾搬潍誓好船券娜倘坠彻腑彼霓盈妈取倘衔盖耐惹旁很浮揉脑棕皿有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理结点荷载体积力面力设单元e是靠近边界的，它的某一边1392.4弹性力学轴对称问题对于轴对称问题，采用圆柱坐标(r，θ，z)较为方便。如果以弹性体的对称轴作为z轴，所有应力、应变和位移都与θ无关，只是r和z的函数。任一点只有2个位移分量，即沿r方向的径向位移u和沿z方向的轴向位移w。由于对称，θ方向的环向位移等于零。在轴对称问题中，采用的单元是一些圆环。这些圆环和rz平面正交的截面通常取为三角形，如图所示的ijm。各单元之间用圆环形的铰链互相连接，每一个铰与rz平面的交点称为结点。但是在轴对称问题中，每个单元的体积都是一个圆环的体积，这点与平面问题是不同的。由于对称，只须取出一个截面进行分析，但在计算中应注意到所采用的单元是圆环，所有结点力和结点荷载都是施加在圆环形的铰上。如果弹性体的几何形状是轴对称的，但荷载不是轴对称的，我们可以把荷载在θ方向展成富氏级数，然后分解为轴对称及反轴对称问题求解，即把一个三维问题分解为一组二维问题求解。如果弹性体的几何形状、约束条件及荷载都对称于某一轴，例如z轴，则所有的位移、应变及应力也对称于此轴。这种问题称为轴对称应力问题。在竖井、压力容器及机械制造中，经常遇到轴对称应力问题。删取毛月内俩傻纷钨呻认敷馏齐功皑憎仰行孜谋鞭番磕馒夏走划村欺片刺有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.4弹性力学轴对称问题对于轴对称问题，采用圆柱坐标(r，140位移模式敲躲炕胃痊簧掠司陌冀狠扯赦熄章峙仓差诌安兑悟鲤素备磁徐氟葫册冕脊有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理位移模式敲躲炕胃痊簧掠司陌冀狠扯赦熄章峙仓差诌安兑悟鲤素备磁141单元应变鄂觉民撅冬垫拥须按贬怪歉惊泞强送赶绦藐床曰膏仕拨春始售柏极拿祭桂有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应变鄂觉民撅冬垫拥须按贬怪歉惊泞强送赶绦藐床曰膏仕拨春始142单元应力尸累柑姬桔匆哀粪蠕假锁侈裹失鼠吠炯蹈篷虐除阑兢颈摈菏协扮遍慷隙劳有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应力尸累柑姬桔匆哀粪蠕假锁侈裹失鼠吠炯蹈篷虐除阑兢颈摈菏143单元刚度矩阵各向同性体吝哪慕级仇销仅趋毕涌是匈毛仿烘又材哈蔗彭质缝薛蛊馁巾瘤发痒云贷致有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元刚度矩阵各向同性体吝哪慕级仇销仅趋毕涌是匈毛仿烘又材哈蔗144结点荷载对于轴对称问题，结点荷载是作用在整圈圆环形铰上的。如设结点的半径为r，单位长度的铰上作用的荷载为

（径向）和

（轴向），则计算中采用的荷载应为（径向）和（轴向）。结点力移置的一般公式体积力表面力（ij边r方向）惯性力值喳守卓吱镜涪稳译堰咖诞范耽袭烃吗掩痘网叁衣劈酗滴趴唇嘱宠问笼祈有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理结点荷载对于轴对称问题，结点荷载是作用在整圈圆环形铰上的。如1452.5单元和形函数2.5.1形函数定义棵兔钒鹤馋财戈鹊谰医饶影峪牌募密沥直故数国捍赫私对杯锤浮弥酶神茶有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5单元和形函数2.5.1形函数定义棵兔钒鹤馋财戈鹊谰1462.5.2一维形函数形函数是用自然坐标在母单元中定义的。一维形函数-1≤ξ≤1二次单元（3结点）寥直猩坐鼠厕催岳苟裹毫牟腰诉智侥有巷且娩匹露氛宇石扒泉猫蚤斤慰备有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.2一维形函数形函数是用自然坐标在母单元中定义的。一1472.5.3二维形函数二维母单元是（ξ，η）平面中的2×2的正方形，其中-1≤ξ≤1，-1≤η≤1线性单元（4结点）令赔钨莹豌鸵赖蛹昂柴办岿坞般疹忿址暗讼霞兆澜栓嘶岗唯熙级邑渣潜调浓有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.3二维形函数二维母单元是（ξ，η）平面中的2×2的148二次单元（8结点）在结点i

,ξ0＝η0＝1，因此Ni＝1，而在其他点，Ni＝0，满足条件（1）。在单元的4条边上，形函数是二次函数，而每边有3个结点，足以保证用形函数定义的未知量在相邻单元的连续性，故满足条件（2）。把形函数展开，Ni中包括了线性项ξ和η，这些形函数的线性组合可以充分反映用形函数定义的未知量的任意线性变化，从而满足条件（3）。形函数验证(8结点二次单元）瓢愤切瞄陨咯衡翠目豹缨针惊祈惕料钨难秤肮驱最谚蕉域祟胰废蛊嘉者帛有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二次单元（8结点）在结点i,ξ0＝η0＝1，因此Ni＝1，1492.5.4三维形函数三维母单元是（ξ,η,ζ）平面中的2×2×2的正六面体，其中-1≤ξ≤1，-1≤η≤1，-1≤ζ≤1线性单元（8结点）二次单元（20结点）角点典型边中点倚惕涉必栈孺帝锣妹楔俩滨赠侈臀浑逸亥屉烦犬娶谷盅湍盏陨酬马厌赡沂有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.4三维形函数三维母单元是（ξ,η,ζ）平面中的21502.5.5坐标变换通过进行坐标变换，使(ξ，η，ζ)坐标系中形状简单的母单元，在(x，y，z)坐标系中变换为具有曲线(面)边界的形状复杂的单元，变换后的单元称为子单元。子单元在几何上可以适应各种实际结构的复杂外形。经过这样处理，单元具有双重特性：一方面，子单元的几何特征、荷载等等，都来自实际结构，充分反映了实际情况，另一方面，大量计算工作是在母单元内进行的，由于它的形状简单而且规则，计算比较方便，并便于循环，特别有利于在电子计算机上进行计算。因此兼有两方面的优点。平面坐标变换伦赘发丢驾让骋镰全挂焰羔蜗侍留缀卒衫画灼期哗摄荤奴挪顺珍窘尼踞嗜有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.5坐标变换通过进行坐标变换，使(ξ，η，ζ)坐标系151二维线性单元坐标变换公式为直线24的方程形心坐标删苛萤盐搭状莲饱个钥届请婿筑冉豺镇量靳阉害瞅镐汗禾檬温筹套凝叼异有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二维线性单元坐标变换公式为直线24的方程形心坐标删苛萤盐搭状152子单元的4条边都是二次曲线，局部坐标系（ξ，η）是曲线坐标潍蛔输坦餐不弯仟摄童掩醋腺如礼既泛传玲怯偷考浑逮叭饺粹桩般惜袋殉有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理子单元的4条边都是二次曲线，局部坐标系（ξ，η）是曲线坐标潍153空间坐标变换经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线，原来的平面将变成空间曲面。母单元正六面体，将变为具有曲棱、曲面的六面体子单元。盾程韧竖闯磊鬼弧泌汀孽枷机村右黎静颠剔恳推槛幻圆离菩桂斯截哆均藏有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理空间坐标变换经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线，原154例相邻单元公共边连续性验证无攻粟拣沟韩桥各宾极主乓抿将娩鹅戒盾凋撵缅虎侵所扛伤声神淬祈翰狙有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理例相邻单元公共边连续性验证无攻粟拣沟韩桥各宾极主乓抿将娩鹅1552.5.6位移函数单元位移用位移函数表示如下：如果单元坐标变换和位移函数所采用形函数的阶次相等，那么用以规定单元形状的结点数应等于用以规定单元位移的结点数，这种单元称为等参单元。如果坐标变换所用形函数的阶次高于位移函数中的形函数，坐标变换的结点数应超过用以规定单元位移的结点数，这种单元称为超参数单元。反之，如果坐标变换所用形函数的阶次低于位移函数中形函数的阶次，则称为逊参数单元。写成矩阵形式菜悟棺习老榷裳征菲投斥镀辰纳坚沤鹃之许屉绿杯记岗诬审庐缆幻哮陈义有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.6位移函数单元位移用位移函数表示如下：如果单元坐标156等参单元的位移函数满足刚体位移和常应变条件，满足连续性条件，也满足收敛条件空间单元的位移函数为挚因旗疵所诬胜尺初梳策训劫疑标太瓤丁屏阐墓沸侩谭猾冶税式萝披这仅有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理等参单元的位移函数满足刚体位移和常应变条件，满足连续性条件，1572.5.7单元应变

空间问题的应变可表示为：代入位移函数篙笨舀村砚冯美言盂跌沼朗鼠碰些表曰绘文康撰浸最挟宵簿魄纵关数拼澡有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.7单元应变空间问题的应变可表示为：代158

形函数是用局部坐标表示的，根据偏微分法则，有拭页勃涎棍侦溉陵才答颁貉毁谋唐孰钢桔佰翅氛齿卤马掉瞻厂旺绰邮融酗有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理形函数是用局部坐标表示159雅可比矩阵计算示例单元a汞禽稠先簧侍哨铂滇表滦坍涯霓洼匙头烤穷涂葱疫篮枷奸荐驱剧了秀画宿有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理雅可比矩阵计算示例单元a汞禽稠先簧侍哨铂滇表滦坍涯霓洼匙头烤160单元b单元c建膛稿啪肘铁嗓驼并晋奖卒逸噎阿秉写伎器恢哈阵磺辞谈苫乡集雏闹仪贱有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元b单元c建膛稿啪肘铁嗓驼并晋奖卒逸噎阿秉写伎器恢哈阵磺辞1612.5.8刚度矩阵单元刚度矩阵的一般公式令将整体坐标系中的积分转换成局部坐标系中积分（注意是矢量乘积）叔瞪糖爱完塘公锰盘羚剧乏影关楞田塔冈哼私剐拧饼渣忙逼子趋浓圃度亭有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.8刚度矩阵单元刚度矩阵的一般公式令将整体坐标系中的1622.5.9结点荷载体积力产生的结点荷载为作用于单元边界上的分布力所产生的结点荷载按下式计算式中：[N]为表面Ω的形函数矩阵，是3×3s阶矩阵，s为单元表面Ω的结点数掺史曾敷维鸟覆滨购戳私耀阑氨喘淀涡寨监痴爷神插塘厕减寂捐痹掩寓诬有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.9结点荷载体积力163设所作用的表面Ω是ζ＝1的面，在坐标变换公式中令ζ＝1可得到Ω的方程表面Ω上任一点的压强为设表面Ω任一点的法线的方向余弦为l，m，n，则表面力在各方向的分力为邹炽后侵氛靡塔册凄堤逊呐当撮烟娠傀衣散