2021高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理练习

第6节正弦定理和余弦定理[A级基础牢固]1．在△中，＝60°，＝2，且△的面积为3，则的长为()ABCAABABC2BC3A.2B.3C．23D．21133分析：由于S＝2×AB×AC×sinA＝2×2×2AC＝2，222因此AC＝1，因此BC＝AB＋AC－2AB·ACcos60°＝3，因此BC＝3.答案：B2．在△中，角，，所对的边分别为，，，若c<cos，则△为()ABCABCabcbAABCA．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形c，得sinC，分析：由<cos<cosbAsinBA因此sin<sincos，CBA即sin(A＋B)<sinBcosA，因此sinAcosB<0.由于在三角形中sinA>0，因此cosB<0，即B为钝角，因此△ABC为钝角三角形．答案：A3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则A＝()ππA.B.635π2πC.6D.3分析：由于(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，因此由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc.b2＋c2－a21π因此cosA＝2bc＝2.又A∈(0，π)，因此A＝3.答案：B4．(2020·安庆模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2Aa＝asinB，且c＝2b，则b等于()-1-34A.2B.3C.2D.3分析：由bsin2A＝asinB，及正弦定理得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，122222212得cosA＝2.又c＝2b，因此由余弦定理得a＝b＋c－2bccosA＝b＋4b－4b×2＝3b，a得b＝3.答案：D5．(2020·潍坊调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝()1511A.2B.2315315C.4D.8分析：由于＝2，b＝3，＝4，ac因此cosA＝b2＋c2－a2＝9＋16－4＝21＝7，2bc2×3×42482491515则sinA＝1－cosA＝1－64＝64＝8，315则h＝ACsinA＝bsinA＝3×8＝8.答案：D6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB0，则B＝________．分析：依据正弦定理可得sinsin＋sincos＝0，BAAB即sinA(sinB＋cosB)＝0，明显sinA≠0，因此sinB＋cosB＝0，故B＝3π4.3π答案：47．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．分析：由于bsinC＋csinB＝4asinBsinC，因此由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.1又sinBsinC>0，因此sinA＝2.-2-由余弦定理得cosb2＋c2－a2284>0，A＝2＝bc＝bcbc3483因此cosA＝2，bc＝cosA＝3，1183123因此S△ABC＝2bcsinA＝2×3×2＝3.答案：2338．已知△，＝＝4，＝2.点D为AB延长线上一点，＝2，连接，则△ABCABACBCBDCDBDC的面积是________，cos∠BDC＝________．分析：由于AB＝AC＝4，BC＝2，2＋2－21因此cos∠ABC＝2·AB·BC＝4，由于∠ABC为三角形的内角，因此sin∠ABC＝15，4因此sin∠＝15，CBD411515故S△CBD＝2×2×2×4＝2.由于BD＝BC＝2，因此∠ABC＝2∠BDC.1又cos∠ABC＝4，2125因此2cos∠－1＝，得cos∠＝，BDC4BDC810又∠BDC为锐角，因此cos∠BDC＝4.1510答案：429．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin2B＝3bsinA.求B；1若cosA＝3，求sinC的值．解：(1)在△中，由a＝b，可得asin＝sin，ABCsinAsinBBbA又由asin2B＝3bsinA，得2asinBcosB＝3bsinA＝3asinB，-3-3π因此cosB＝2，得B＝6.(2)由cos122＝，可得sin＝，A3A3π3126＋1则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin(A＋6)＝2sinA＋2cosA＝6.10．(2020·佛山质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bsinCcosAasinA＝2csinB.证明：△ABC为等腰三角形；(2)(一题多解)若D为BC边上的点，BD＝2DC，且∠ADB＝2∠ACD，a＝3，求b的值．(1)证明：由于2bsinCcosA＋asinA＝2csinB，因此由正弦定理得2bccosA＋a2＝2cb，222由余弦定理得2bc·b＋c－a＋a2＝2bc，2bc化简得b2＋c2＝2bc，因此(b－c)2＝0，即b＝c.故△ABC为等腰三角形．(2)解：法一由已知得BD＝2，DC＝1，由于∠ADB＝2∠ACD＝∠ACD＋∠DAC，因此∠ACD＝∠，因此＝＝1.DACADCD又由于cos∠ADB＝－cos∠ADC，222222AD＋BD－ABAD＋CD－AC因此2·＝－2·，ADBDADCD12＋22－c212＋12－b222则2×1×2＝－2×1×1，得2b＋c＝9，由(1)可知b＝c，得b＝3.a法二由题设得CD＝3＝1，又由(1)知，AB＝AC，则∠B＝∠C，由于∠＝∠－∠＝2∠－∠＝∠＝∠.DACADBCCCCB因此△∽△CBCA3b＝3.，因此＝，即＝，因此CABCDACACDb1b[B级能力提高]2－ccosC＝cos11．(2020·青岛调研)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若bB，b＝4，则△ABC的面积的最大值为()A．43B．23C．33D.3-4-2a－ccosC分析：由b＝cosB得2acosB－cosBc＝bcosC，由正弦定理得，2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，又知sin(B＋C)＝sinA＝sinBcosC＋cosBsinC，1因此2sinAcosB＝sinA，则cosB＝2.由B∈(0，π)，因此B＝π.3又知cosB＝1a2＋c2－b2b2162＝2ac≥1－2ac＝1－2ac，因此ac≤16，当且仅当＝时等号成立，ac因此△ABC＝1sin≤1×16×sinπ＝1×16×3＝43.S2acB2322故△ABC的面积的最大值为43.答案：A12．(2020·衡水模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝1，3sinAcosC＋(3sinC＋b)·cosA＝0，则A＝________．分析：由3sinAcosC＋(3sinC＋b)cosA＝0，得3sinAcosC＋3sinCcosA＝－bcosA.因此3sin(A＋C)＝－bcosA，即3sinB＝－bcosA.ab3－ba又sinA＝sinB，因此cosA＝sinB＝－sinA.从而sinA＝－1，则tan＝－3.cosA3A35由0<A<π，因此A＝6π.5答案：π613．(2020·全国大联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°.若△ABC的面积为33，a＝13，求b－c；(2)若△ABC是锐角三角形，求sinBsinC的取值范围．1解：(1)由S△ABC＝33，得2bcsinA＝33，1即2bcsin60°＝33，得bc＝12.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，-5-即b2＋c2－bc＝13，因此(b－c)2＝13－bc＝1，因此b－c＝1或b－c＝－1.由于A＝60°，因此B＋C＝120°，因此C＝120°－B.因此sinBsinCsinBsin(120°－B)＝sinB3＋1B2cosB2sin31－cos2B＝4sin2B＋4＝13sin2－1cos2＋122B2B2112sin(2B－30°)＋4.由于△ABC是锐角三角形，因此C＝120°－B<90°，得B>30°，因此30°<B<90°，则30°<2B－30°<150°，1111因此2<sin(2B－30°)≤1，4<2sin(2B－30°)≤2，1113因此2<2sin(2B－30°)＋4≤4，因此sinBsinC的取值范围是132，4.[C级涵养升华]322214．(2018·北京卷)若△ABC的面积为4(a＋c－b)，且∠C为钝角，则∠B＝________，ca的取值范围是________．分析：依题意有1B＝32223accosB，acsin4(a＋c－