概率空间(公理化定义)分析课件

1.4概率空间一、概率的公理化定义二、概率性质三、事件概率计算1.4概率空间一、概率的公理化定义二、概率性质三、事件概率通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.

1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.在学习几何和代数时，知道公理是数学体系的基础.数学上的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步内容.一、概率的公理化定义柯氏公理体系是现代概率论的基石.

通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.1定义(概率)：设(Ω,F)，对定义在F上的实值集函数P(A),若满足1)

非负性：对

2)

规范性:P(Ω)=1;3)

可列可加性,对

有则称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A的概率.

三元体(Ω,F,P)称为概率空间.定义(概率)：设(Ω,F)，对1)非负性：对证明由概率的可列可加性得二、概率性质证明由概率的可列可加性得二、概率性质概率的有限可加性证明由概率的可列可加性得概率的有限可加性证明由概率的可列可加性得证明证明证明证明又由性质3

得因此得由图可得证明推广

三个事件和的情况又由性质3得因此得由图可得证明推广三个事件和的情况n个事件和的情况－一般加法公式右端共有项.推论：概率具有次可加性n个事件和的情况－一般加法公式右端共有（6）概率的连续性：（6）概率的连续性：解例1三、事件概率计算解例1三、事件概率计算SABAB例1SABAB例1例2将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？令事件A={至少出一次“6”点}A发生{出1次“6”点}{出2次“6”点}{出3次“6”点}{出4次“6”点}直接计算A的概率较麻烦,我们先来计算A的对立事件={4次抛掷中都未出“6”点}的概率.技巧篇：1.利用性质计算概率

主要举例说明如何利用逆事件的概率公式和概率加法公式计算随机事件的概率例2将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？于是=0.518

因此

==0.482由于将一颗骰子抛掷4次,共有

=1296种等可能结果,而导致事件={4次抛掷中都未出“6”点}的结果数有=625种

于是两事件互斥时的加法公式

两事件的一般加法公式

ABB技巧篇：2.概率加法公式应用举例推广:三个事件和的概率为

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)两事件互斥时的加法公式两事件的一般加法

n个事件和的概率为

n个事件和的概率为例3.甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张,求以下两情况下甲或乙拿到4张A的概率.1)甲抽后不放回，乙再抽;2)甲抽后将牌放回，乙再抽.

解：设A={甲拿到4张A}，B={乙拿到4张A}1)A、B互不相容计算P(A)和P(B)时用古典概型求P(AB)P(A

B)=P(A)+P(B)2)A、B不是互不相容P(A

B)=P(A)+P(B)-P(AB)注意区分事件是否相容！例3.甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张,求以下两情况设Ai={第i封信装入第i个信封}i=1,2,3

A={没有一封信装对信封}某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，（一个信封里只有一封信）问没有一封信装对信封的概率？直接计算P(A)不易，我们先来计算综合题目例4配对问题

={至少有一封信装对信封}则设Ai={第i封信装入第i个信封}i=1,2,3某代入计算的公式中应用加法公式代入计算的公式中应用加法公式

于是推广到n封信,用类似的方法可得:把n

封信随机地装入n个写好地址的信封中,没有一封信配对的概率为:实际中的各种配对问题学生和学习证配对;人和自己的帽子配对;两副扑克牌配对;球箱号码配对…于是推广到n封信,用类似的方法可得:实际中的各种配对问题学生附录1介绍柯尔莫哥洛夫2介绍范剑青附录1介绍柯尔莫哥洛夫2介绍范剑青

柯尔莫哥洛夫

(A.H.Колмогоров1903-1987)

1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德等国的外籍院士及皇家学会会员.为20世纪最有影响的俄国数学家.俄国数学家柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫(A.H.Колмогоров1柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献.他建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础.他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括:20年代关于强大数定律、重对数律的基本工作;柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一1933年在《概率论的基本概念》一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题)30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程;用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论;40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;1933年在《概率论的基本概念》在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理论;50年代中期开创了研究函数特征的信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德的工作解决并深化了希尔伯特第13问题——用较少变量的函数表示较多变量的函数;60年代后又创立了信息算法理论;在动力系统中开创了关于哈密顿系1980年由于它在调和分析,概率论,遍历理论及动力系统方面出色的工作获沃尔夫奖;他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括и.M.盖尔范德,B.и.阿诺尔德,Я.Г.西奈依等人.他还非常重视基础教育,亲自领导了中学数学教科书的编写工作.1980年由于它在调和分析,概率论,统计学界的领袖－－范剑青范剑青，美国普林斯顿大学统计与金融工程终身教授，TheAnnalsofStatistics杂志主编。福建莆田人，1982年毕业于复旦大学数学系，随后考入中国科学院应用数学所攻读硕士。1986年进入美国加州柏克萊大学攻读博士学位，师从国际著名的统计学家Bickel教授和Donoho教授，统计学界的领袖－－范剑青范剑青，美国普林斯顿大学统计与金融工范教授多年来担任TheAnnalsofStatistics，JournalofAmericanStatisticalAssociation，ProbabilityTheoryandRelatedFields等顶尖刊物的副主编，并于2004年任TheAnnalsofStatistics的主编，成为该杂志创刊70多年来唯一的亚裔主编。他还当选为美国统计学会院士（Fellow）、国际数理研究院院士和国际统计研究院院士。由于范教授的杰出成就，香港中文大学聘请他为统计学讲座教授、统计系系主任（2000-2003）。文章引用次数位列世界数学家排名榜的第6名，也是十杰内唯一的亚裔学者。该项排名是由科学资料学会（ISI）根据最近十年的资料整理得出，刊于《科学之窗》2002第三期。而后，他每年都在世界数学家文章引用次数排名榜的十杰内。

范剑青范教授多年来担任TheAnnalsofStatisti用统计方法主攻四个方向：金融学、生物信息、机器学习和生物统计。由于范剑青教授对统计学重要而广泛的贡献，而荣获2000年度的COPSS奖，人们将其比同数学中的费尔兹（Fields）奖，也统计学界公认的最高殊荣。该奖的授予是由国际上五大权威的统计学和相关领域的学会会长组成的委员会投票决定，每年只一个名额，得奖者限40岁以下，竞争十分激烈。范剑青是第一位获此殊荣的大陆学者，给中国人争得了荣誉。范剑青他的主页：/~jqfan/

/faculty/fan.html用统计方法主攻四个方向：金融学、生物信息、机器学习和生物统计1.4概率空间一、概率的公理化定义二、概率性质三、事件概率计算1.4概率空间一、概率的公理化定义二、概率性质三、事件概率通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.

1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.在学习几何和代数时，知道公理是数学体系的基础.数学上的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步内容.一、概率的公理化定义柯氏公理体系是现代概率论的基石.

通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.1定义(概率)：设(Ω,F)，对定义在F上的实值集函数P(A),若满足1)

非负性：对

2)

规范性:P(Ω)=1;3)

可列可加性,对

有则称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A的概率.

三元体(Ω,F,P)称为概率空间.定义(概率)：设(Ω,F)，对1)非负性：对证明由概率的可列可加性得二、概率性质证明由概率的可列可加性得二、概率性质概率的有限可加性证明由概率的可列可加性得概率的有限可加性证明由概率的可列可加性得证明证明证明证明又由性质3

得因此得由图可得证明推广

三个事件和的情况又由性质3得因此得由图可得证明推广三个事件和的情况n个事件和的情况－一般加法公式右端共有项.推论：概率具有次可加性n个事件和的情况－一般加法公式右端共有（6）概率的连续性：（6）概率的连续性：解例1三、事件概率计算解例1三、事件概率计算SABAB例1SABAB例1例2将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？令事件A={至少出一次“6”点}A发生{出1次“6”点}{出2次“6”点}{出3次“6”点}{出4次“6”点}直接计算A的概率较麻烦,我们先来计算A的对立事件={4次抛掷中都未出“6”点}的概率.技巧篇：1.利用性质计算概率

主要举例说明如何利用逆事件的概率公式和概率加法公式计算随机事件的概率例2将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？于是=0.518

因此

==0.482由于将一颗骰子抛掷4次,共有

=1296种等可能结果,而导致事件={4次抛掷中都未出“6”点}的结果数有=625种

于是两事件互斥时的加法公式

两事件的一般加法公式

ABB技巧篇：2.概率加法公式应用举例推广:三个事件和的概率为

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)两事件互斥时的加法公式两事件的一般加法

n个事件和的概率为

n个事件和的概率为例3.甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张,求以下两情况下甲或乙拿到4张A的概率.1)甲抽后不放回，乙再抽;2)甲抽后将牌放回，乙再抽.

解：设A={甲拿到4张A}，B={乙拿到4张A}1)A、B互不相容计算P(A)和P(B)时用古典概型求P(AB)P(A

B)=P(A)+P(B)2)A、B不是互不相容P(A

B)=P(A)+P(B)-P(AB)注意区分事件是否相容！例3.甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张,求以下两情况设Ai={第i封信装入第i个信封}i=1,2,3

A={没有一封信装对信封}某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，（一个信封里只有一封信）问没有一封信装对信封的概率？直接计算P(A)不易，我们先来计算综合题目例4配对问题

={至少有一封信装对信封}则设Ai={第i封信装入第i个信封}i=1,2,3某代入计算的公式中应用加法公式代入计算的公式中应用加法公式

于是推广到n封信,用类似的方法可得:把n

封信随机地装入n个写好地址的信封中,没有一封信配对的概率为:实际中的各种配对问题学生和学习证配对;人和自己的帽子配对;两副扑克牌配对;球箱号码配对…于是推广到n封信,用类似的方法可得:实际中的各种配对问题学生附录1介绍柯尔莫哥洛夫2介绍范剑青附录1介绍柯尔莫哥洛夫2介绍范剑青

柯尔莫哥洛夫

(A.H.Колмогоров1903-1987)

1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德等国的外籍院士及皇家学会会员.为20世纪最有影响的俄国数学家.俄国数学家柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫(A.H.Колмогоров1柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献.他建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础.他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括:20年代关于强大数定律、重对数律的基本工作;柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一1933年在《概率论的基本概念》一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题)30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程;用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论;40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;1933年在《概率论的基本概念》在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理论;50年代中期开创了研究函数特征的信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德的工作解决并深化了希尔伯特第13问题——用较少变量的函数表示较多变量的函数;60年代后又创立了信息算法理论;在动力系统中开创了关于哈密顿系1980年由于它在调和分析,概率论,遍历理论及动力系统方面出色的工作获沃尔夫奖;他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括и.M.盖尔范德,B.и.阿诺尔德,Я.Г.西奈依等人.他还非常重视基础教育,亲自领导了中学数学教科书的编写工作.1980年由于它在调和分析,概率论,统计学界的领袖－－范剑青范剑青，美国普林斯顿大学统计与金融工程终身教授，TheAnnalsofStatistics杂志主编。