2023学年人教A版数学选修推理与证明 市赛获奖

数学选修1-2·人教A版新课标导学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案从前，某国王一贯自我标榜不仅是至高无上的权威，而且更是一个“大慈大悲”的救世主，他在处决犯人之前，要恩赐一个机会，叫他们去抽生死签，如果抽到“活”字，就可幸免一死．有一次，一个囚犯行将处决，他的冤家买通狱吏，把两张纸都写上“死”．不料有人把此消息透漏给犯人，可犯人闻后却高兴地说“啊！我可死里逃生了”．国王宣布抽签后，犯人抽出一张签，二话不说便吞入腹中，这下在场的人慌了手脚，因为谁也搞不清楚犯人吞下的是“死”还是“活”，只听国王大声呵斥：“混蛋，你们只要看一下剩下的那张纸签就是了．”显然剩下的是“死”签，由此反证犯人吞下的是“活”签，聪明的犯人死里逃生，就是巧用了本节课要学习的方法——反证法．1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设________，从而证明了原命题________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法证题的原理(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．矛盾错误成立3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与____________矛盾，或与________矛盾，或与____________________、事实矛盾等．已知条件假设定义、公理、定理4．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)________以“至多”“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，________的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．结论结论1．用反证法证明“如果a3>b3，则a>b”，假设的内容是(

)A．a<b

B．a＝bC．a≤b

D．a≥b[解析]

用反证法证明“如果a3>b3，则a>b”时，提出的假设为a≤b.C

C

3．实数a、b、c不全为0等价于(

)A．a、b、c均不为0B．a、b、c中至多有一个为0C．a、b、c中至少有一个为0D．a、b、c中至少有一个不为0[解析]

“不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．D

4．用反证法证明命题：“若a、b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是______________________.[解析]

结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”．假设a≠1或b≠1

5．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.[解析]

假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理矛盾．所以假设不成立，故原命题正确．互动探究学案

设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．命题方向1

⇨用反证法证明否(肯)定性命题典例1『规律方法』1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p，则q”的过程中，虽然否定了结论q，但是在证明过程中没有把“¬q”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．〔跟踪练习1〕

已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.[解析]

假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2.『规律方法』本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p、q的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法．[思路分析]

明确“至少”的含义→对结论作出假设→得出矛盾．命题方向2

⇨用反证法证明“至多”“至少”类命题典例2『规律方法』1.当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q

求证：方程2x＝3有且只有一个根．[思路分析]

本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有”即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证法．命题方向3

⇨用反证法证明存在性、唯一性命题典例3[解析]

显然x＝log23是方程的一根，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)．则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1.∵b1≠b2，∴b1－b2≠0.如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．所以假设不成立．从而2x＝3的根是唯一的．故2x＝3有且只有一个根．『规律方法』1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．〔跟踪练习3〕

已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．[解析]

∵a∥b，∴过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a、b、m有一个平面α假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．

已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.[错解]

假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0与题设条件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．∴假设不成立，∴原命题成立．[辨析]

错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误．“求证：a>0，b>0，c>0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.”准确写出反设典例4[正解]

假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0，若a<0，则由abc>0，得bc<0，由a＋b＋c>0得，b＋c>－a>0，∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc<0，这与已知ab＋bc＋ac>0矛盾．又若a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾．故“a≤0”不成立，∴a>0，同理可证b>0，c>0.〔跟踪练习4〕

已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0.用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．[解析]

假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根．则该方程的判别式Δ＝4－4(5－p2)＝4(p2－4)≥0，解得p≤－2或p≥2，若p≤－2，则p＋2≤0,2p＋1<0，(p＋2)(2p＋1)≥0，与(p＋2)(2p＋1)<0矛盾．若p≥2，则p＋2>0,2p＋1>0，(p＋2)(2p＋1)>0，与(p＋2)(2p＋1)<0矛盾．所以假设不成立．故关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．分析法和综合法是对立统一的两种方法．一个命题用何种方法证明，要能针对具体问题进行分析，灵活地运用各种证法．当不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目更是行之有效的方法．一般来说，对于较复杂的证明，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，或者在证明过程中综合法与分析法并用，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．分析综合法这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分证明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的落点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．

已知n∈N，且n>1，求证：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)．典例5『规律方法』(1)利用真数与底数相同，向同底转化．(2)本题先用分析法把证明一个对数不等式转化为证明一个式子大于零，然后利用对数性质及放缩法证明(*)式成立，进而说明原命题成立．前面为分析法，而中间的证明(*)式成立为综合法，即分析法用来转化，综合法用来证明．1．“a<b”的反面是(

)A．a≠b

B．a>bC．a＝b

D．a≥bD

D

3．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab可被2整除，那么a，b中至少有一个能被2整除．”时，假设的内容应该是(

)A．a，b都能被2整除 B．a，b都不能被2整除C．a，b不都能被2整除 D．a不能被2整除[解析]

由于反证法是命题的否定的一个运用，