16-三角函数模型的简单应用课件

1.6三角函数模型的简单应用1.6三角函数模型的简单应用问题提出1.函数中的参数对图象有什么影响？三角函数的性质包括哪些基本内容？2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，其中周期性是三角函数的一个显著性质.在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，并利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题.问题提出1.函数中的参数例1如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(1)求这一天6～14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.61014y

T/℃xt/h102030O探究一：根据图象建立三角函数关系例1如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？

如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数:思考2：函数式中A、b的值分别是多少？30°-10°=20°A=10,b=20T/℃102030ot/h61014思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？如图，某地一思考3：如何确定函数式中和的值?思考4：这段曲线对应的函数是什么？思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？

27.07℃.

T/℃102030ot/h61014思考3：如何确定函数式中和的值?思考4：这段曲线对应解:(1)最大温差是20℃(2)从6～14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象61014y

T/℃xt/h102030O将x=6,y=10代入上式,解得所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段温度变化,因此应当特别注意自变量的变化范围所以解:(1)最大温差是20℃61014yT/℃xt/h102总结：已知函数图像也可以利用函数的零值点来求．总结：已知函数图像也可以利用函数的零值点来求．例2画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期.xy-11Oy=|sinx|解周期为π验证:|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|探究二：根据解析式模型建立图象模型例2画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期.xy-11利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法。显然，函数y=|sinx|与正弦函数有紧密的联系，你能利用这种联系说说它的图象的作法吗？正弦函数y=sinx的图象保留x轴上方部分，将x轴下方部分翻折到x轴上方，得到y=|sinx|的图象总结：利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这δφθφ-δ太阳光例3如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ负值.

如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两

楼的距离不应小于多少?课件演示探究三：建立三角函数模型求临界值

δφθφ-δ太阳光例3如图,设地球表面某地正午太阳高度角背景知识介绍太阳光地心北半球南半球M(地球表面某地M处)那么这三个量之间的关系是:背景知识介绍太阳光地心北半球南半球M(地球表面某地M处)那么太阳光直射南半球太阳光地心太阳光直射南半球太阳光地心分析：太阳高度角、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间的有如下关系：h0=htanhCBA根据地理知识，在北京地区，太阳直身北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长.考虑太阳直射南回归线分析：太阳高度角、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间的解:取太阳直射南回归线的情况考虑,此时太阳直射纬度为-23°26′,依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义,有即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距解:取太阳直射南回归线的情况考虑,此时太阳直射纬度为-23°例4海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0探究四：根据相关数据进行三角函数拟合

例4海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?课件演示(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,问题1：观察上表的数据，你发现了什么规律？问题3：能根据函数模型求整点时的水深吗？问题2：根据数据作出散点图.观察图形，你认为可以用怎样的函数模型刻画其中的规律？问题1：观察上表的数据，你发现了问题3：能根据函数模型求整点从数据列表描点可以得图像为：

时刻0.001：002：003：004：005：006：007：008：009：0010：0011：00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12.0013：0014：0015：0016：0017：0018：0019：0020：0021：0022：0023：00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.7543691215182124Oxy64

2从数据列表描点可以得图像为：时刻0.001：002：003：xyO3691215182124246解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用函数刻画水深与时间的关系。xyO3691215182124246解：以时间为横坐标，以解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图3691215182124Oxy64

2根据图象,可以考虑用函数y=Asin(x+)+h刻画水深与题意之间的对应关系.A=2.5,h=5,T=12,=0所以,港口的水深与时间的关系可用近似描述.解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？xyO3691215182124246（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754由得到港口在整点时水深的近似值:货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港.由计算器可得SHIFTsin-1MODEMODE20.2=0.20135792≈0.2014时刻0:001:002:003:004:005:006:00ABCDy=5.5yOx510152468因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.ABCDy=5.5yOx510152468因此,货船可以在0（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。xyO36912152462（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：O246810xy8642P(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数,可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算.在6时的水深约为5米,此时货船的安全小深约为4.3米.6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全小深约为4.1米;7时的小深约为3.8米,而货船的安全小深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.O246三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥十分重要的作用。具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题。总结：三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研练习例

弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化曲线是一个三角函数的图象，如图.（1）求这条曲线对应的函数解析式；（2）小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？4t/ss/cmO-4练习例弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s1.6三角函数模型的简单应用1.6三角函数模型的简单应用问题提出1.函数中的参数对图象有什么影响？三角函数的性质包括哪些基本内容？2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，其中周期性是三角函数的一个显著性质.在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，并利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题.问题提出1.函数中的参数例1如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(1)求这一天6～14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.61014y

T/℃xt/h102030O探究一：根据图象建立三角函数关系例1如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？

如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数:思考2：函数式中A、b的值分别是多少？30°-10°=20°A=10,b=20T/℃102030ot/h61014思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？如图，某地一思考3：如何确定函数式中和的值?思考4：这段曲线对应的函数是什么？思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？

27.07℃.

T/℃102030ot/h61014思考3：如何确定函数式中和的值?思考4：这段曲线对应解:(1)最大温差是20℃(2)从6～14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象61014y

T/℃xt/h102030O将x=6,y=10代入上式,解得所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段温度变化,因此应当特别注意自变量的变化范围所以解:(1)最大温差是20℃61014yT/℃xt/h102总结：已知函数图像也可以利用函数的零值点来求．总结：已知函数图像也可以利用函数的零值点来求．例2画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期.xy-11Oy=|sinx|解周期为π验证:|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|探究二：根据解析式模型建立图象模型例2画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期.xy-11利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法。显然，函数y=|sinx|与正弦函数有紧密的联系，你能利用这种联系说说它的图象的作法吗？正弦函数y=sinx的图象保留x轴上方部分，将x轴下方部分翻折到x轴上方，得到y=|sinx|的图象总结：利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这δφθφ-δ太阳光例3如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ负值.

如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两

楼的距离不应小于多少?课件演示探究三：建立三角函数模型求临界值

δφθφ-δ太阳光例3如图,设地球表面某地正午太阳高度角背景知识介绍太阳光地心北半球南半球M(地球表面某地M处)那么这三个量之间的关系是:背景知识介绍太阳光地心北半球南半球M(地球表面某地M处)那么太阳光直射南半球太阳光地心太阳光直射南半球太阳光地心分析：太阳高度角、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间的有如下关系：h0=htanhCBA根据地理知识，在北京地区，太阳直身北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长.考虑太阳直射南回归线分析：太阳高度角、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间的解:取太阳直射南回归线的情况考虑,此时太阳直射纬度为-23°26′,依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义,有即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距解:取太阳直射南回归线的情况考虑,此时太阳直射纬度为-23°例4海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0探究四：根据相关数据进行三角函数拟合

例4海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?课件演示(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,问题1：观察上表的数据，你发现了什么规律？问题3：能根据函数模型求整点时的水深吗？问题2：根据数据作出散点图.观察图形，你认为可以用怎样的函数模型刻画其中的规律？问题1：观察上表的数据，你发现了问题3：能根据函数模型求整点从数据列表描点可以得图像为：

时刻0.001：002：003：004：005：006：007：008：009：0010：0011：00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12.0013：0014：0015：0016：0017：0018：0019：0020：0021：0022：0023：00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.7543691215182124Oxy64

2从数据列表描点可以得图像为：时刻0.001：002：003：xyO3691215182124246解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用函数刻画水深与时间的关系。xyO3691215182124246解：以时间为横坐标，以解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图3691215182124Oxy64

2根据图象,可以考虑用函数y=Asin(x+)+h刻画水深与题意之间的对应关系.A=2.5,h=5,T=12,=0所以,港口的水深与时间的关系可用近似描述.解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？xyO3691215182124246（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754由得到港口在整点时水深的近似值:货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港.由计算器可得SHIFTsin-1MODEMODE20.2=0.20135792≈0.2014时刻0:001:002:003:00