空间向量及其运算

空间向量及其运算取新考纲考情考向分析了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3•掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容•一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.基础知识自主学习 叵出基础知识训堀墓咄题目 ■知识梳理空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a=b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为一a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a〃b共面向量平行于同一个平面的向量2•空间向量中的有关定理⑴共线向量定理空间两个向量a与b(bM0)共线的充要条件是存在实数久，使得a=Xb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p=xa土yb，其中x,yWR,a,b为不共线向量.⑶空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫作空间的一个基底.3•空间向量的数量积及运算律数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a,〃，在空间任取一点O,作OA=a,()B=b,则ZAOB叫作向量a,bn的夹角，记作〈a,b〉其范围是0W〈a,b〉Wn，若〈a,b〉=2，则称a与b互相垂直，记作alb.两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则lallblcos〈a,b〉叫作向量a,b的数量积，记作ab，即a-b=lallblcos〈a,b〉.空间向量数量积的运算律(Aa)-b=X(a-b)；交换律：ab=ba；分配律：a-(b+c)=a-b+a-c.4.空间向量的坐标表示及其应用设a=(a],a2,a^),b=(b],b?，bj.向量表示坐标表示数量积a・bab+a~b~+ab,1 1 22 33共线a=Ab(bM0,久WR)0十=久方十，=Ab2，a3=Ab3垂直a-b=0(aM0,bHO)a十b±+a2b2+a3b3=0模lalx/a?+a2+a3夹角〈a,b〉(aHO,bHO)廿〈ab〉 一°1b1+a2b2+a3b3一cos〈a,b〉 t j斗a?+a2+a§.Yb?+b2+b2【概念方法微思考】1.共线向量与共面向量相同吗？提示不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.2•零向量能作为基向量吗？提示不能•由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关•这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.「基础自测题组一思考辨析1•判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(V)⑵在向量的数量积运算中(a・b)・c=a・(b・c).(X)⑶对于非零向量b,由b=b・c,则a=c.(X)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(X)⑸若a,b,c,d是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=o.(V)⑹若a-b<0,则〈a,b〉是钝角.(X)题组二教材改编2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1BlClDl中，M为A1C1与BR的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是()6BMiA1,1,

B.^a+^b+cc.一2一qb+c11…

c.一2一qb+c答案A解析BM=BB1+B1M=AA1+1(AD-AB),11,1,=c+?(b—a)=—qa+^b+c.3•正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点，则EF的长为.解析IEFI2=EF2=(EC+CD+DF)2=Ec2+cD2+DjF2+2(Ec^CD+EbDF+CEDF)=12+22+12+2(1X2Xcos120°+0+2X1Xcos120°):.IEFI=\'2,・•・EF的长为』2.题组三易错自纠在空间直角坐标系中，已知A(l,2,3),B(—2,—1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直答案B解析由题意得，AB=(—3,—3,3),CD=(1,1,—1),:.AB=-3CD,・・・AB与CD共线，又AB与CD没有公共点，••・AB〃CD.已知a=(2,3,1),b=(—4,2,x),且a丄b,则lbl= .答案A'6解析Tadb,•・a・b=2X(—4)+3X2+1・x=0,•・x=2,Ibl=\'(—4)2+22+22=6.6.0为空间中任意一点，a,b,c三点不共线，且乔=4鬲+8亦+'00，若p,a,b,cTOC\o"1-5"\h\z四点共面，则实数t= .答案83 1 1解析vp,a,b,c四点共面，.•・4+8+t=1,.•.t=8.题型分类深度剖析頁迎做理深盛剖祈宝点迩点爭维抿究题型一空间向量的线性运算 「•例1如图所示，在空间几何体ABCD—A1B1C1D1中,各面为平行四边形，设AA^a,AB=b,AD=AD=c,M,N,c表示以下各向量:(1)AP;

⑵MP+NC].解⑴因为P是C1D1的中点，所以AP=AA]+— 1+d—p=a+AD+2D]C]1—1=a+c+2AB=a+c+2".(2)因为M是的的中点，所以mp=ma+ap=2a—a+ap_1='_1='2-*a+(a+c+2b=2a+2"+c.—>—>—>1—>—>又NC]=NC+CC]=2BC+AA]=2ad+A—1=2c+«,所以MP+NC]=(2a+]b+c)+(a3 1 3=2«+2b+2c.思维升华 用基向量表示指定向量的方法结合已知向量和所求向量观察图形.将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.⑶利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD—AQCp中，O为AC的中点.用AB,AD, 表示OC,则OC]= .答案2AB+2AD+AA1解析vOc=|ac=|(Ab+AD),

—>—>—>1—>—> —>•••OC1=OC+CC1=2（AB+AD）+AA1=2ab+|Ad+Aa1.(2)如图，在三棱锥O—ABC中，M,N分别是AB,OC的中点，设OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示NM,则NM等于( )答案BA，2（—答案BA，2（—a+b+c）B°2（a+b—c）C，2（a—b+c）D，2(一a一b+c) 1 解析NM=NA+AM=（OA—ON）+qAB=（oa-|Oc+|（（-B-（-a）=2（oa+1（oB-2Oc=2（a+b—c）.题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.求证：E,求证：E,F,G,H四点共面;求证：BD〃平面EFGH.证明⑴连接BG,则EG=EB+BGacac二旋+扌说+丽)=Eb+2BF+Eh=EF+EH,由共面向量定理的推论知E,F,G,H四点共面.(2)因为EH=AH—AE1ff1f=2(ad—ab)=2Bd，所以EH//BD.又EH平面EFGH,BD平面EFGH,所以BD〃平面EFGH.思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P,A,B)共线空间四点(M,P,A,B)共面PA=RB且同过点PMP=xMA+yMB对空间任一点o,OP=OA+tAB对空间任一点o,OP=OM+xMA+yMB f f对空间任一点O,OP=xOA+(1-x)OB对空间任一点O,OP=xOM+yOA+(1—x-y)OB跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，点M,N分别在AC1和BC上，且满足AM=kAC1，BN=kBC(0WkW1).⑴向量MN是否与向量AB,AA］共面？⑵直线MN是否与平面ABB1A1平行? 解(l)TAM=kAq,BN=kBC,：.MN=MA+AB+BN=kC-A+AB+kBC=k(C-A+BC)+AB=k(C-A+B-C1)+AB=kB-A+A-B=A-B-kABi=AB-k(A-1+AB)=(1—k)AB—kAA],・••由共面向量定理知向量MN与向量AB,A-]共面.(2)当k=0时，点M,A重合，点N,B重合，MN在平面ABB]A]内，当OvkWl时，MN不在平面ABB]A]内，又由(1)知MN与AB,A-]共面，•MN〃平面ABB]A1.综上，当k=0时，MN在平面ABB]A]内；当OvkWl时，MN〃平面ABB]Al.题型三空间向量数量积的应用 「•-'■■■例3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点.求证：MN丄AB,MN丄CD；求异面直线AN与CM所成角的余弦值.(1)证明设AB=p,AC=q,AD=r.由题意可知，pl=lql=lrl=a,且p,q,r三个向量两两夹角均为60°.1—-.—-1—-MN=AN-AM=2(AC+AD)—qAB=2(q+r-p),

=2=2(a2cos60°+a2cos60°—a2)=0.:.MN丄AB,艮卩MN丄AB.同理可证MN丄CD.⑵解设向量AN与MC的夹角为e.•.•AN=2（AC+AD）=2（q+r），MC=MC=AC-AM=q-1p,1又•.•iANi=iMCi=2a，1又•.•iANi=iMCi=2a，:,ANM/C=iANiiM/Cicose^^ax\.'3aXcose=a2厅.a2—2a2cos60°+a2cos60°—2a2cos60°.2..cose=3°22・•・向量AN与MC的夹角的余弦值为3,从而异面直线an与cm所成角的余弦值为3.思维升华 （1）利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.（2）利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求平面与平面的夹角.⑶可以通过Ial=\；a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°..4 R.4 R⑴求AC］的长；⑵求BA］与AC夹角的余弦值.

解(1)记AB=a,AD=b,AA{=c,则Sl=lbl=lcl=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,.°.a・b.°.a・b=b・c=c・a=2・•・lAA1l=i.'6，即AC1的长为1/6.(2)BA]=b+c—a,AC=a+b,••.lBDjn/2,lACl=V3,BDfAC=(b+c—a)・(a+b)=b2—a2+a・c+b・c=1,•cos{BD,AC〉—：'-1 -A-AlBD1llACl'6.即BD］与AC夹角的余弦值为乎.课时作业b基础保分练1.已知a=(2,3,—4),b=(—4,—3,—2),b—尹一2a,则x等于(A.(0,3,—6)B.(0,6,—20)C.(0,6,—6)D.(6,6,—6)答案B)解析由b=2X—2a,得x=4a+2b=(8,12,—16)+(—8,—6,—4)=(0,6,—20).在下列命题中：若向量a,b共线，则向量a,b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是（）A.OB.1C.2D.3答案A

解析a与b共线，a,b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.3.已知向量a=(2m+l,3,m—1),b=(2,m,—m),且allb,则实数m的值等于( )a，2 b.—2C.0D.|或一2C.0答案B解析当m=0时，a=(1,3，—1)，b=(2,0,0),a与b不平行，...mM0,°.°a〃b.2m+1 3 m_12 m —m，解得m=—2m+1 3 m_12 m —m，解得m=—2.4.在空间直角坐标系中，已知A(1,点坐标为( )—2,1),B(2,2,2),点P在z轴上，且满足PAI=IPBI,则PA.(3,0,0)C.(0,0,3)答案CB.(0,3,0)D.(0,0,—3)解析设P(0,0，z)，则有：J(1—0)2+(—2—0)2+(1—z)2=\'(2—0)2+(2—0)2+(2—z)2,解得z=3.b=(x,1,2)，且a・b=3,则向量a与b的夹角为( )5n2nn nA.6BEc.3d.6答案D解析•a・b=x+2=3,.x=1，.b=(1,1,2)•〈a，ba・b3.cos〈=lallbl=迈"6--2，又•・•a，b〉w[0,n],.a与bn的夹角为6，i5.已知a=(1,0,1),D.6.如图，在大小为45°的二面角A—EF—D中，四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B，D两点间的距离是（）A.V3B.J2C.1D.\：‘3—迈答案D解析vBD=Bf+Fe+Ed,:.IBD|2=IBF|2+IFEI2+IEDI2+2BF・FE+2FE・ED+2BF・ED=1+1+1—*2=3—p2,故lBDl=\/3—2.已知a=(2,1,—3),〃=(一1,2,3),c=(7,6,久)，若a,b,c三向量共面，则A= .答案一9解析由题意知c=xa+yb,即(7,6,A)=x(2,1,—3)+y(—1,2,3),2x一y=7,x+2y=6, 解得久=—9.、一3x+3y=久，已知a=(x,4,1),b=(—2,y,—1),c=(3,—2,z),a〃b,b丄c，贝Vc= .答案(3,—2,2)x4 1解析因为a〃b,所以七=4=—\，—2y—1解得x=2,y=—4,此时a=(2,4,1),b=(—2,—4,—1),又因为b丄c，所以b・c=O,即一6+8—z=0,解得z=2，于是c=(3,—2,2).已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA=VB=VC=VD,VP^^yC,函=§谄，VN=3VD.则VA与平面PMN的位置关系是 .答案平行解析如图，设VA=a,VB=b,VC=c,则VD=a+c—〃,由题意知砌=3”—*，PW=3vD-1VC=2a-2b+3c.因此谄=2砌+2硕’•：谄’PM，硕共面.又VA平面PMN,...VA〃平面PMN.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，(A^A+a1d1+a_1b1)2=3A^B12；心(丽厂币)=0；向量AD］与向量AB的夹角是60°；正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为IAB・AA^ADl.其中正确的序号是 .答案①②解析①中，(AA+ —D^ + ——； )2= — 2+ —D1 2+——2=3——2,故①正确；②中，A^B1-A^=AB1，因为AB］丄A&,故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但AD］与丽的夹角为120。，故③不正确；④中，lAB・AA］・ADl=0，故④不正确.11.已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,若点M满足OM=1((OA+(Ob+Oc).判断MA,mb,MC三个向量是否共面；判断点M是否在平面ABC内.解⑴由题意知OA+OB+OC=3OM,・•・OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC)，即MA=bM+CM=-mb-mC，:.MA，MB，MC共面.(2)由⑴知MA,MB,MC共面且过同一点m,.M，A，B，C四点共面.・•.点M在平面ABC内.已知a=(l,—3,2),〃=(—2,1,1),A(—3,—1,4),B(_2,_2,2).⑴求I2a+〃l；(2)在直线AB上，是否存在一点E,使得OE丄〃？(O为原点)解(1)2a+^=(2,—6,4)+(—2,1,1)=(0,—5,5),故I2a+〃l=\i'02+(—5)2+52=5\''2.(2)令AE=tAB(tGR),所以()E=dA+AE=oA+tAB=(—3,—1,4)+t(1,—1,—2)=(—3+t,—1—1,4—2t),若OE丄〃，则OE・b=o,9所以一2(—3+t)+(—1—1)+(4—2t)=0,解得t=J.因此存在点E,使得OE丄b,此时E点的坐标为(一6，—¥，|)N技能提升练如图，已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，若OG=xOA+yOB+zOC，则x+y+z= .答案6解析连接ON,设OA=a,OB=b,OC=c,则MN=ON—OM=2(ob+oc)-莎dG=dMdG=dM+M/G=2oA+2M/N又OG=xOA^yOB^zOC,所以x