勾股定理的证明比较全的证明方法课件

2002年北京国际数学家大会会标北京欢迎您！2002年北京国际数学家大会会标北京欢迎您！同学们！三角形的知识之前我们已学习了不少。直角三角形是一种特殊的三角形，从今天开始，我们尝试着研究直角三角形三边之间的关系。同学们！三角形的知识之前我们已学习了不少。直角三角形是一种特17．1勾股定理（一）17．1勾股定理（一）学习目标1，掌握直角三角形三边之间的关系（即勾股定理的内容）。2，通过探究，了解勾股定理的证明过程，并掌握1----2种证明方法。学习目标1，掌握直角三角形三边之间的关系（即勾股定理的内容）自研共探：为了实现本节的学习目标，请同学们按照以下要求来自学。认真看课本P22—P24，注意：1、结合P22思考前的故事及“黄色书签”,你在知识的认知上应该养成怎样的品质？2、结合P22思考和图形17.1-2，你认为老毕先生发现了什么？跨越两千多年的时空，看你和老毕是否有心灵的默契？之后用P22下面三行小字验证你的发现。3、用数形结合与面积法思想，借助P22探究与网格再验证其它直角三角形三边是否有同样的性质4、准确记忆P23命题1﹙勾股定理﹚，分清题设与结论。﹙猜想﹚5、利用P23“赵爽弦图”和面积法证明勾股定理6、务必明确勾股定理的两个关于：关于直角三角形与关于该种图形边的关系自学时间10分钟之后比谁能做对检测题。不会的可小声讨论或举手问老师。自研共探：为了实现本节的学习目标，请同学们按照以下要求来自学看一看你同面去能学反朋发们映友相现，直家传什我角作两么们三客千？也角，五来形发百观三现年察边朋前下的友，面某家一的种用次图数砖毕案量铺达，关成哥看系的拉看，地斯看一看你同面去能学反朋发们映友相现，直家传什我角作两么们三客勾股定理(毕达哥拉斯定理)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方c弦股ba勾a2+b2=c2a2=c2-b2b2=c2-a2勾股定理(毕达哥拉斯定理)直角三角形两直角边的平方和等于斜边勾股定理的证明234252勾股定理的证明234252勾股定理的证明两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法．1．传说中毕达哥拉斯的证法2．赵爽弦图的证法3．刘徽的证法4．美国第20任总统茄菲尔德的证法5．其他证法勾股定理的证明两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为AB这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树．也许有人会问：“它与勾股定理有什么关系吗？”仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形．这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．AB这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛传说中毕达哥拉斯的证法关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用面积来进行的．G已知：如图，以在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以a、b、c为边向外作正方形．求证：a2+b2=c2．DEKAHCbcaBF传说中毕达哥拉斯的证法关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的传说中毕达哥拉斯的证法证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB．∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，∴S矩形ADNM＝2S△ADC．又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即平行线AK和BH间的距离），∴S正方形ACHK＝2S△ABK．∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB，∴△ADC≌△ABK．KAbMHCacBGF由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK．同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG．即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG，也就是a2+b2=c2．DNE返回传说中毕达哥拉斯的证法证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个赵爽弦图的证法我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的c“弦图”，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个正方形称为“中黄实”，以弦为边的大正方形叫“弦实”，所以，如果以a、b、c分别表示勾、股、弦之长，朱实中黄实ba返回(b-a)2ab2?(b?a)那么：c?4?22得：c2=a2+b2．赵爽弦图的证法我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式证明1：该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。大正方形的面积可以表示为22caa1)?4?ab也可以表示为(b?a2c122)?4?ab∵c=(b?a22-2ab+a2+2ab=bb=a2+bac2；cbabcb222∴a+b=c证明1：该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示刘徽的证法刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也．I令正方形ABCD为朱方，正方形BEFG为青方．在BG间取一点H，使AH=BG，裁下△ADH，移至DECF△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，是为“出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形ABHG返回DHFI．勾股定理由此得证．刘徽的证法刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方总统巧证勾股定理学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的：1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．总统巧证勾股定理学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比总统巧证勾股定理CDacbcbAEaB美国第二十任总统伽菲尔德返回总统巧证勾股定理CDacbcbAEaB美国第二十任总统伽菲尔勾股定理证明CD：你能只用这两个直角三角形说明a2+b2=c2吗？?aAcEcaBb1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”．b梯形ABCD∵S1=?a+b?221=(a2+2ab+b2)2又∵S梯形ABCD=SAED+SEBC+S1111=ab+ba+c2=(2ab+c2)2222?比较上面二式得

c2=a2+b2CED勾股定理证明CD：你能只用这两个直角三角形说明a2+b2=c向常春的证明方法1121S?(a?b?b)(a??b)a?ab梯形ABCD222S梯形ABCD?S四边形AECD?S?EBC121?c?(a?b)b2212112?c?ab?b22212112112?a?ab?c?ab?b22222bAaccDEa-bBbC从而得到:a?b?c222注:这一方法是向常春于1994年3月20日构想发现的新法．向常春的证明方法1121S?(a?b?b)(a??b)a?a勾股定理证明：2(a+b)大正方形的面积可以表示为；也可以表示为abC4??2a2ababccbcabcabC?∵(a+b)2=4?2a2+2ab+b2=2ab+c2222∴a+b=c2勾股定理证明：2(a+b)大正方形的面积可以表示为；也可以表试一试bacccaab我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的．1证明:上面的大正方形的面积为：c?4?ab22bcba1下面大的正方形的面积为：a?b?4?ab222abacbbbba从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是a＋b，所以面积相等，即aabc1122c?4?ab?c?b?4?ab22222c?a?b2a试一试bacccaab我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的观察下面的图形，你还能发现什么吗？观察下面的图形，你还能发现什么吗？2002年北京国际数学家大会会标北京欢迎您！2002年北京国际数学家大会会标北京欢迎您！同学们！三角形的知识之前我们已学习了不少。直角三角形是一种特殊的三角形，从今天开始，我们尝试着研究直角三角形三边之间的关系。同学们！三角形的知识之前我们已学习了不少。直角三角形是一种特17．1勾股定理（一）17．1勾股定理（一）学习目标1，掌握直角三角形三边之间的关系（即勾股定理的内容）。2，通过探究，了解勾股定理的证明过程，并掌握1----2种证明方法。学习目标1，掌握直角三角形三边之间的关系（即勾股定理的内容）自研共探：为了实现本节的学习目标，请同学们按照以下要求来自学。认真看课本P22—P24，注意：1、结合P22思考前的故事及“黄色书签”,你在知识的认知上应该养成怎样的品质？2、结合P22思考和图形17.1-2，你认为老毕先生发现了什么？跨越两千多年的时空，看你和老毕是否有心灵的默契？之后用P22下面三行小字验证你的发现。3、用数形结合与面积法思想，借助P22探究与网格再验证其它直角三角形三边是否有同样的性质4、准确记忆P23命题1﹙勾股定理﹚，分清题设与结论。﹙猜想﹚5、利用P23“赵爽弦图”和面积法证明勾股定理6、务必明确勾股定理的两个关于：关于直角三角形与关于该种图形边的关系自学时间10分钟之后比谁能做对检测题。不会的可小声讨论或举手问老师。自研共探：为了实现本节的学习目标，请同学们按照以下要求来自学看一看你同面去能学反朋发们映友相现，直家传什我角作两么们三客千？也角，五来形发百观三现年察边朋前下的友，面某家一的种用次图数砖毕案量铺达，关成哥看系的拉看，地斯看一看你同面去能学反朋发们映友相现，直家传什我角作两么们三客勾股定理(毕达哥拉斯定理)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方c弦股ba勾a2+b2=c2a2=c2-b2b2=c2-a2勾股定理(毕达哥拉斯定理)直角三角形两直角边的平方和等于斜边勾股定理的证明234252勾股定理的证明234252勾股定理的证明两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法．1．传说中毕达哥拉斯的证法2．赵爽弦图的证法3．刘徽的证法4．美国第20任总统茄菲尔德的证法5．其他证法勾股定理的证明两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为AB这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树．也许有人会问：“它与勾股定理有什么关系吗？”仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形．这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．AB这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛传说中毕达哥拉斯的证法关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用面积来进行的．G已知：如图，以在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以a、b、c为边向外作正方形．求证：a2+b2=c2．DEKAHCbcaBF传说中毕达哥拉斯的证法关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的传说中毕达哥拉斯的证法证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB．∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，∴S矩形ADNM＝2S△ADC．又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即平行线AK和BH间的距离），∴S正方形ACHK＝2S△ABK．∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB，∴△ADC≌△ABK．KAbMHCacBGF由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK．同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG．即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG，也就是a2+b2=c2．DNE返回传说中毕达哥拉斯的证法证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个赵爽弦图的证法我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的c“弦图”，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个正方形称为“中黄实”，以弦为边的大正方形叫“弦实”，所以，如果以a、b、c分别表示勾、股、弦之长，朱实中黄实ba返回(b-a)2ab2?(b?a)那么：c?4?22得：c2=a2+b2．赵爽弦图的证法我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式证明1：该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。大正方形的面积可以表示为22caa1)?4?ab也可以表示为(b?a2c122)?4?ab∵c=(b?a22-2ab+a2+2ab=bb=a2+bac2；cbabcb222∴a+b=c证明1：该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示刘徽的证法刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也．I令正方形ABCD为朱方，正方形BEFG为青方．在BG间取一点H，使AH=BG，裁下△ADH，移至DECF△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，是为“出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形ABHG返回DHFI．勾股定理由此得证．刘徽的证法刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方总统巧证勾股定理学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的：1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．总统巧证勾股定理学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比总统巧证勾股定理CDacbcbAEaB美国第二十任总统伽菲尔德返回总统巧证勾股定理CDacbcbAEaB美国第二十任总统伽菲尔勾股定理证明CD：你能只用这两个直角三角形说明a2+b2=c2吗？?aAcEcaBb1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”．b梯形ABCD∵S1=?a+b?