2020-2021学年高中数学第3章不等式21一元二次不等式的解法学案北师大版5

学必求其心得，业必贵于专精2．1一元二次不等式的解法学习目标核心涵养1．会从实质情境中抽象出一元二次不等式模型．(难点）1．经过学习一元二次不等式的2．经过函数图像认识一元二次解法,培养数学运算涵养．不等式与相应的二次函数，一元2．经过研究“三个二次”之间二次方程的联系，会解一元二次的关系，提升逻辑推理涵养．不等式．(重点、难点)1．一元二次不等式的相关看法阅读教材P76例1以上，完成以下问题．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式．一元二次不等形如ax2＋bx＋c＞0（≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的式不等式（其中a≠0），叫作一元二次不等式一元二次不等使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元式的解二次不等式的解-1-学必求其心得，业必贵于专精一元二次不等一元二次不等式的所有解组成的会集叫作这个一式的解集元二次不等式的解集思虑：（1）“2x2－3y＋1＞0"是一元二次不等式吗？[提示］不是，因为不等式2x2－3y＋1＞0中含有两个未知数x和y．2）“3ax2＋3x＋2≤0”是一元二次不等式吗？[提示］不用然，当a＝0时，不是一元二次不等式；当a≠0时，是一元二次不等式．2．一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的关系阅读教材P76例1以下至P79小资料以上部分，完成以下问题．鉴识式＝b2－＞0＝0＜04ac二次函数y＝ax2bx＋c（a＞0)的图像一元二次方程有两个不等的有两相等实根ax2＋bx＋c＝0实根x1、2＝错误!x1＝x2没有实根(a＞0）的根(x1＜x2）＝－错误!-2-学必求其心得，业必贵于专精f（x）{x|x＜x1或x＞不等式错误!R＞0x2｝的解集（fx)＜0{x|x1＜x＜x2}??思虑:（1）若不等式ax2＋2x＋b＞0的解集为（x1,x2)，那么a的符号如何？[提示］a＜0(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为(x1，x2)，那么函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点是什么?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的根是什么？[提示］函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点是(x1,0),(x2，0），方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是x1和x2．1．以下不等式中是一元二次不等式的是（)A．a2x2＋2≥0B．错误!〈3C．－x2＋x－2≤0D．x3－2x＋1〉0［答案]C2．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么实数a的值是．3［由题知－7，－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两根．-3-学必求其心得，业必贵于专精∴a＝3．]3．不等式2x2＋5x－3＞0的解集是．错误!［2x2＋5x－3＝（2x－1)(x＋3）＞0，解得x＞错误!或x＜－3，故解集为错误!．]4．设M＝{x｜－x2－2x＋15>0},N＝{x|（1＋x）（6－x）<－8｝，求M∩N，M∪N．[解]由－x2－2x＋15>0,得x2＋2x－15〈0,∴－5<x<3,即M＝｛x｜－5〈x〈3}．由（1＋x）（6－x）〈－8,得6＋5x－x2<－8，即x2－5x－14〈0，∴－2〈x<7，即N＝｛x|－2〈x<7}．∴M∩N＝｛x|－2<x<3}，M∪N＝{x｜－5<x〈7}．一元二次不等式的解法-4-学必求其心得，业必贵于专精【例1】解以下不等式：(1）2x2＋5x－3＜0；(2)－3x2＋6x≤2;(3）4x2－4x＋1〉0；（4)－x2＋6x－10＞0．［解](1）＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝错误!，作出函数y＝2x2＋5x－3的图像，以下列图，用阴影部分描出原不等式的解，由图可得原不等式的解集为错误!．2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0．＝12>0，解方程3x2－6x2＝0，得x1＝错误!，x2＝错误!,作出函数y＝3x2－6x＋2的图像，以下列图，由图可得原不等式的解集为错误!．(3）因为＝0，所以方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1-5-学必求其心得，业必贵于专精1＝x2＝2．作出函数y＝4x2－4x＋1的图像以下列图．由图可得原不等式的解集为错误!．（4）原不等式可化为x2－6x＋10<0，因为＝－4〈0,所以方程x2－6x＋10＝0无实根，所以原不等式的解集为?．解一元二次不等式的一般步骤(1）经过对不等式变形，使二次项系数大于零．(2)计算对应方程的鉴识式．(3）求出相应的一元二次方程的根，或依照鉴识式说明方程有没有实根．（4)依照函数图像与x轴的相关地址写出不等式的解集．错误!1．（1）不等式（x＋1)(2－x)≤0的解集为(）A．[－2，1]B．［－1，2］C．（－∞，－1］∪［2，＋∞）-6-学必求其心得，业必贵于专精D．（－∞,－2]∪[1，＋∞）2）解不等式:－2〈x2－3x≤10．1)C［由(x＋1)（2－x）≤0，得（x＋1)(x－2)≥0，方程（x＋1）(x－2)＝0的解为x＝－1,x2＝2，函数y＝（x＋1)(x－2)的图像是张口向上的抛物线,与x轴的交点为(－1,0）和(2,0）．观察图像可得，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥2}．]（2)［解]原不等式等价于不等式组错误!不等式①可化为x2－3x＋2>0，解得x>2或x〈1．不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2x≤5．故原不等式的解集为[－2，1)∪(25]，．三个二次之间的关系【例2】若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为错误!,求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[解］由题意知错误!所以错误!代入不等式cx2－bx＋a〉0中得16ax2＋错误!ax＋a〉0（a〈0）．-7-学必求其心得，业必贵于专精1即6x2＋错误!x＋1〈0，化简得x2＋5x＋6〈0，所以所求不等式的解集为｛x｜－3〈x<－2｝．三个“二次"问题的解法已知一元二次方程的根，能够写出相应不等式的解集.反之,已知不等式的解集也能够写出相应二次方程的根，进一步可求得方程中的系数或获取系数之间的关系.解决此类问题，要注意隐含条件的提取，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a＜0”这一重点信息，并由此得c＜0，从而解得不等式cx2＋bx＋a＜0。错误!2．已知不等式ax2＋bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值．［解]法一：由题意知x1＝1，x2＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，a＋b＋2＝0故,解得a＝1，b＝－3．4a＋2b＋2＝0法二：由题意知x1＝1，x2＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根,由根与系数的关系得错误!，解得a＝1，b＝－3．-8-学必求其心得，业必贵于专精含参数的一元二次不等式的解法［研究问题]1．不等式(x－a)(x－a－1)＞0的解集是什么？[提示］{x|x＜a或x＞a＋1｝．2．不等式x(ax－1）＜0（其中a≠0)的解集是什么？［提示]当a＞0时，解集为错误!;当a＜0时，解集为错误!．3．如何判断方程x2＋ax＋1＝0可否有根?［提示]当＝a2－4≥0，即a≥2或a≤－2时，方程x2＋ax＋10有根，当＝a2－4＜0,即－2＜a＜2时，方程x2＋ax＋1＝0无根．4．不等式x2＋ax＋1＜0的解集是错误!吗？［提示]当＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，不等式的解集是错误!；当＝a2－4≤0，即－2a≤2时，不等式的解集是?．【例3】解关于x的不等式:ax2－(a－1）x－1＜0(a∈R）．-9-学必求其心得，业必贵于专精[解］原不等式可化为(ax＋1）(x－1)＜0，当a＝0时，x＜1；当a＞0时，错误!（x－1)＜0，∴－错误!＜x＜1；当a＝－1时，x≠1；当－1＜a＜0时,错误!（x－1)＞0，∴x＞－错误!或x＜1；当a＜－1时，－错误!＜1，∴x＞1或x＜－错误!．综上,当a＝0时,原不等式的解集是｛x|x＜1}；当a＞0时，原不等式的解集是错误!；当a＝－1时，原不等式的解集是｛x|x≠1}；当－1＜a＜0时，原不等式的解集是错误!．1．（变条件）把例3中的不等式换为：ax2－x－1＜0(a∈R），解此不等式．［解]当a＝0时，不等式化为－x－1＜0，解得x＞－1，当a＞0时，方程ax2－x－1＝0的＝1＋4a＞0，则该方程有两个根，x1＝错误!，x2＝错误!，且x1＜x2，故不等式的解为错误!＜x＜错误!，-10-学必求其心得，业必贵于专精当a＜0时，方程ax2－x－1＝0的＝1＋4a，若＝1＋4a＞0，即－错误!＜a＜0时，方程ax2－x－1＝0有两个根：x1＝错误!，x2＝错误!，且x1＞x2故不等式的解为x＜错误!或x＞错误!；若＝1＋4a＝0，即a＝－错误!时，不等式化为x2＋4x＋4＞0，不等式的解为x∈R且x≠－2，若＝1＋4a＜0，即a＜－错误!时，方程ax2－x－1＝0无解，则不等式ax2－x－1＜0的解集为R．综上所述：当a＞0时,原不等式解集为错误!，当a＝0时，原不等式的解集为｛x｜x＞－1}，当－错误!＜a＜0时，原不等式的解集为错误!，当a＝－错误!时，原不等式的解集为｛x|x∈R且x≠－2｝，当a＜－错误!时,原不等式的解集为R．2．(变条件）把例3中的不等式换为：x2－（a＋a2）x＋a3＞0，解此不等式．-11-学必求其心得，业必贵于专精[解]原不等式可化为（x－a)（x－a2）＞0，谈论a与a2的大小（1）当a2＞a即a＞1或a＜0时,x＞a2或x＜a．(2）当a2＝a即a＝0或a＝1时，x≠a．(3)当a2＜a即0＜a＜1时，x＞a或x＜a2．综上，当a＜0或a＞1时,解集为｛x｜x＞a2或x＜a}，当a＝0或1时，解集为{x|x≠a}，当0＜a＜1时，解集为｛x|x＞a或x＜a2｝．1．若一元二次不等式中的系数是含有字母的代数式,则需对参数进行分类谈论．一般从以下三个方面进行分类谈论：(1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准；(2）以鉴识式与零的大小关系作为分类标准；(3)若鉴识式大于零，但两根的大小不能够确定，则再以两根的大小关系作为分类标准．2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程可否有根．③依照根的情况写出相应的解集,若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．-12-学必求其心得，业必贵于专精1．解一元二次不等式应注意,当二次项系数为负数时，一般先化成正数再求解，一元二次不等式的解集是一个会集，要写成会集的形式．2．解一元二次不等式要亲近联系其所对应的一元二次方程以及二次函数的图像．一元二次方程的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，对应不等式的解集，而方程的根就是不等式解集区间的端点．3．解不等式ax2＋bx＋c〉0（或ax2＋bx＋c<0）时要注意对参数分类谈论,谈论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数a〉0,a＝0，a〈0;第二层次是有没有实数根的谈论，即根的鉴识式>0，＝0，〈0；第三层次是根的大小的谈论．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)设一元二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，则一元二次不等式f（x)＞0的解集不能能为{x|x1＜x＜x2｝．（）（2)不等式f（x）＝ax2＋bx＋c≥0（a≠0）的解集为空集,则f（x）＝0无零点．（）-13-学必求其心得，业必贵于专精（3)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像在x轴上方时点的横坐标x的会集．( )[答案]（1)×(2)√（3)√[提示]（1）错误．当f（x)二次项系数小于0时，f（x）＞0的解集是｛x|x1＜x＜x2}，(2)（3）正确．2．（2x－1)(3x＋1)>0的解集为(）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［由（2x－1)（3x＋1)>0，得x>错误!,或x<－错误!．