新教材高中数学第三章空间向量与立体几何直线的方向向量与平面的法向量课件北师大版选择性必修第一册

4.1直线的方向向量与平面的法向量第三章20214.1直线的方向向量与平面的法向量第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象)2.会用直线的方向向量与法向量解题.(逻辑推理)核心素养思维脉络1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方课前篇自主预习课前篇自主预习激趣诱思如何用向量来确定直线的位置?如何用向量来确定一条直线和一个平面垂直?这就是我们要解决的主要问题.激趣诱思如何用向量来确定直线的位置?如何用向量来确定一条直线知识点拨一、直线的方向向量与直线的向量表示1.直线的方向向量如图,设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称

为直线l的方向向量.显然,一条直线有无数个方向向量,根据平行向量的定义可知,这些方向向量都平行,因此与

平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量.知识点拨一、直线的方向向量与直线的向量表示2.直线l的向量表示已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量,那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得

=ta.反之,由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为直线l的向量表示.2.直线l的向量表示微练习1下列说法中正确的是(

)A.直线的方向向量是唯一的B.表示直线的方向向量的有向线段一定在直线上C.直线的方向向量有两个D.用直线的方向向量表示直线时,表达式不唯一答案

D微练习1微练习2若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是(

)答案

D微练习2答案D二、平面的法向量及其应用1.平面法向量的定义我们已经知道,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地,空间中给定一点和一条直线后,可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面.因此,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量,则n⊥α.二、平面的法向量及其应用2.平面的向量表示式如图,设点M是平面α内给定的一点,向量n是平面α的一个法向量,那么对于平面α内任意一点P,必有·n=0.此式称为平面α的一个向量表示式.2.平面的向量表示式微练习若两个向量

=(1,2,3),

=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为(

)A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)

D.(-1,2,1)答案

A解析

设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),令x=-1,则y=2,z=-1.即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1).微练习答案A解析设平面ABC的法向量为n=(x,y,z课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一直线的方向向量及其应用例1(1)已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=

,y=

.

(2)在空间直角坐标系中,已知点A(2,0,1),B(2,6,3),P是直线AB上一点,且满足AP∶PB=3∶2,则直线AB的一个方向向量为

,点P的坐标为

.

探究一直线的方向向量及其应用例1(1)已知直线l1的一个方向新教材高中数学第三章空间向量与立体几何直线的方向向量与平面的法向量课件北师大版选择性必修第一册规律方法1.应注意直线AB的方向向量有无数个,哪个易求求哪个.2.利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置,进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.规律方法1.应注意直线AB的方向向量有无数个,哪个易求求哪个变式训练1若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(

)A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)答案

A解析

=(1,4,7)-(-1,0,1)=(2,4,6)=2(1,2,3),故选A.变式训练1若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,探究二平面的法向量及求法例2如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.探究二平面的法向量及求法例2如图,在四棱锥P-ABCD中,底解

如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),取x=1,则y=-1,z=1,故平面EDB的一个法向量为n=(1,-1,1).解如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),反思感悟

利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.反思感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(4)解方程组,取延伸探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?解

如同例题建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.延伸探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一变式训练2如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量;(3)求平面SCD的一个法向量.变式训练2如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC解

以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,解以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴新教材高中数学第三章空间向量与立体几何直线的方向向量与平面的法向量课件北师大版选择性必修第一册探究三证明平面的法向量例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.求证:是平面ADE的法向量.探究三证明平面的法向量例3在正方体ABCD-A1B1C1D1证明如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,证明如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴反思感悟

用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直,因此,其思想方法与证明线线垂直相同,区别在于必须证明两次线线垂直.反思感悟用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明变式训练3如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,PA=AD=1,M,N分别是AB,PC的中点.(1)建立适当的空间直角坐标系,写出向量

的坐标;(2)求证:为平面PCD的一个法向量.变式训练3如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直于正方形(1)解

由PA垂直于正方形ABCD所在平面知PA,AB,AD两两互相垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.(1)解由PA垂直于正方形ABCD所在平面知PA,AB,A新教材高中数学第三章空间向量与立体几何直线的方向向量与平面的法向量课件北师大版选择性必修第一册素养形成求平面的法向量的注意事项典例四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.分析解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.素养形成求平面的法向量的注意事项解

∵AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,∴以A为原点,以

的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),∴

=(1,0,0)是平面SAB的法向量.设平面SCD的一个法向量为n=(1,y,z),解∵AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,∴以A为原点,以反思感悟

任一平面的法向量有无数个,一般用待定系数法解一个三元一次方程组,求得其中的一个即可.构造方程组时,注意所选平面内的两个向量是不共线的,赋值时应保证所求法向量为非零向量,本题中的法向量的设法值得借鉴.反思感悟任一平面的法向量有无数个,一般用待定系数法解一个三当堂检测1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是(

)A.(2,2,6) B.(-1,1,3)C.(3,1,1) D.(-3,0,1)答案

A解析

∵A,B在直线l上,∴

=(1,1,3),与

共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.当堂检测1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面(

)A.xOy平行 B.xOz平行C.yOz平行 D.yOz相交答案

C解析

因为

=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),所以AB∥平面yOz.2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2答案

2∶3∶(-4)答案2∶3∶(-4)4.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论:①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的是

.(填序号)

4.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长答案

①②③

答案①②③5.已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法向量.5.已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0)本课结束本课结束4.1直线的方向向量与平面的法向量第三章20214.1直线的方向向量与平面的法向量第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象)2.会用直线的方向向量与法向量解题.(逻辑推理)核心素养思维脉络1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方课前篇自主预习课前篇自主预习激趣诱思如何用向量来确定直线的位置?如何用向量来确定一条直线和一个平面垂直?这就是我们要解决的主要问题.激趣诱思如何用向量来确定直线的位置?如何用向量来确定一条直线知识点拨一、直线的方向向量与直线的向量表示1.直线的方向向量如图,设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称

为直线l的方向向量.显然,一条直线有无数个方向向量,根据平行向量的定义可知,这些方向向量都平行,因此与

平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量.知识点拨一、直线的方向向量与直线的向量表示2.直线l的向量表示已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量,那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得

=ta.反之,由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为直线l的向量表示.2.直线l的向量表示微练习1下列说法中正确的是(

)A.直线的方向向量是唯一的B.表示直线的方向向量的有向线段一定在直线上C.直线的方向向量有两个D.用直线的方向向量表示直线时,表达式不唯一答案

D微练习1微练习2若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是(

)答案

D微练习2答案D二、平面的法向量及其应用1.平面法向量的定义我们已经知道,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地,空间中给定一点和一条直线后,可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面.因此,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量,则n⊥α.二、平面的法向量及其应用2.平面的向量表示式如图,设点M是平面α内给定的一点,向量n是平面α的一个法向量,那么对于平面α内任意一点P,必有·n=0.此式称为平面α的一个向量表示式.2.平面的向量表示式微练习若两个向量

=(1,2,3),

=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为(

)A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)

D.(-1,2,1)答案

A解析

设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),令x=-1,则y=2,z=-1.即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1).微练习答案A解析设平面ABC的法向量为n=(x,y,z课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一直线的方向向量及其应用例1(1)已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=

,y=

.

(2)在空间直角坐标系中,已知点A(2,0,1),B(2,6,3),P是直线AB上一点,且满足AP∶PB=3∶2,则直线AB的一个方向向量为

,点P的坐标为

.

探究一直线的方向向量及其应用例1(1)已知直线l1的一个方向新教材高中数学第三章空间向量与立体几何直线的方向向量与平面的法向量课件北师大版选择性必修第一册规律方法1.应注意直线AB的方向向量有无数个,哪个易求求哪个.2.利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置,进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.规律方法1.应注意直线AB的方向向量有无数个,哪个易求求哪个变式训练1若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(

)A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)答案

A解析

=(1,4,7)-(-1,0,1)=(2,4,6)=2(1,2,3),故选A.变式训练1若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,探究二平面的法向量及求法例2如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.探究二平面的法向量及求法例2如图,在四棱锥P-ABCD中,底解

如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),取x=1,则y=-1,z=1,故平面EDB的一个法向量为n=(1,-1,1).解如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),反思感悟

利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.反思感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(4)解方程组,取延伸探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?解

如同例题建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.延伸探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一变式训练2如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量;(3)求平面SCD的一个法向量.变式训练2如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC解

以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,解以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴新教材高中数学第三章空间向量与立体几何直线的方向向量与平面的法向量课件北师大版选择性必修第一册探究三证明平面的法向量例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.求证:是平面ADE的法向量.探究三证明平面的法向量例3在正方体ABCD-A1B1C1D1证明如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,证明如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴反思感悟

用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直,因此,其思想方法与证明线线垂直相同,区别在于必须证明两次线线垂直.反思感悟用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明变式训练3如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,PA=AD=1,M,N分别是AB,PC的中点.(1)建立适当的空间直角坐标系,写出向量

的坐标;(2)求证:为平面PCD的一个法向量.变式训练3如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直于正方形(1)解

由PA垂直于正方形ABCD所在平面知PA,AB,AD两两互相垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.(1)解由PA垂直于正方形ABCD所在平面知PA,AB,A新教材高中数学第三章空间向量与立体几何直线的方向向量与平面的法向量课件北师大版选择性必修第一册素养形成求平面的法向量的注意事项典例四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.分析解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.素养形成求平面的法向量的注意事项解

∵AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,∴以A为原点,以

的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),∴

=(1,0,0)是平面SAB