云南省文山西畴县二中2023学年高三第二次诊断性检测数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是()A．. B．C． D．2．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为()A． B． C． D．3．在中，点D是线段BC上任意一点，，，则（）A． B．-2 C． D．24．设函数，则使得成立的的取值范围是（）．A． B．C． D．5．设全集，集合，则＝()A． B． C． D．6．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biēnaò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺7．已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（）A． B． C． D．8．已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则（）A． B．2 C． D．9．已知复数是正实数，则实数的值为()A． B． C． D．10．若，则函数在区间内单调递增的概率是（）A．B．C．D．11．已知角的终边经过点，则的值是A．1或 B．或 C．1或 D．或12．已知集合，，则的真子集个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为数列的前项和.若，则______.14．若函数，其中且，则______________．15．设，满足条件，则的最大值为__________.16．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测√××√乙的猜测×○○√丙的猜测×√×√丁的猜测○○√×三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．求的值；设的平分线与边交于点，已知，，求的值.18．（12分）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为，设，圆锥的侧面积为.（1）求关于的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.19．（12分）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.20．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．（1）求证：．（2）若，求二面角的余弦值．21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点.为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若，求的值；⑶设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22．（10分）已知函数．⑴当时，求函数的极值；⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【答案解析】

根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.【题目详解】A中，当时，，所以不关于直线对称，则错误；B中，，所以在区间上为减函数，则错误；D中，，而，则，所以不关于直线对称，则错误；故选：C.【答案点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.2．A【答案解析】

利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数.【题目详解】从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为.故选：A.【答案点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.3．A【答案解析】

设，用表示出，求出的值即可得出答案.【题目详解】设由，，.故选：A【答案点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.4．B【答案解析】

由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果.【题目详解】由题意知：定义域为，，为偶函数，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，由得：，解得：或，的取值范围为.故选：.【答案点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.5．A【答案解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的补集.【题目详解】由解得，故，所以，故选A.【答案点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.6．A【答案解析】

根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项.【题目详解】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥，为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以为的中点，设球半径为，则,所以外接球的表面积，故选：A．【答案点睛】本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.7．A【答案解析】

画出分段函数图像，可得，由于，构造函数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.【题目详解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故选：A【答案点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.8．C【答案解析】

把代入，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．【题目详解】∵，∴，∵为纯虚数，∴，解得．故选C．【答案点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．9．C【答案解析】

将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【题目详解】因为为正实数，所以且，解得.故选：C【答案点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.10．B【答案解析】函数在区间内单调递增，，在恒成立，在恒成立，，函数在区间内单调递增的概率是，故选B.11．B【答案解析】

根据三角函数的定义求得后可得结论．【题目详解】由题意得点与原点间的距离．①当时，，∴，∴．②当时，，∴，∴．综上可得的值是或．故选B．【答案点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，然后再根据三角函数的定义求解即可．12．C【答案解析】

求出的元素，再确定其真子集个数．【题目详解】由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个．故选：C.【答案点睛】本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【答案解析】

由已知数列递推式可得数列是以16为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的前项和公式求解．【题目详解】由，得，．且，则，即．数列是以16为首项，以为公比的等比数列，则．故答案为：1．【答案点睛】本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14．【答案解析】

先化简函数的解析式，在求出，从而求得的值.【题目详解】由题意，函数可化简为，所以，所以.故答案为：0.【答案点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15．【答案解析】

作出可行域，由得，平移直线，数形结合可求的最大值.【题目详解】作出可行域如图所示由得，则是直线在轴上的截距.平移直线，当直线经过可行域内的点时，最小，此时最大.解方程组，得，..故答案为：.【答案点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.16．乙、丁【答案解析】

本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果.【题目详解】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖.所以本题答案为乙、丁.【答案点睛】本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．；.【答案解析】

利用正弦定理化简求值即可；利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出的值.【题目详解】解：，由正弦定理得：，，，，，又，为三角形内角，故，，则，故，；（2）平分，设，则,,，，则，，又，则在中，由正弦定理：，.【答案点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.18．（1），（2）侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为【答案解析】试题分析：（1）由条件，，，所以S，；（2）令，所以得，通过求导分析，得在时取得极大值，也是最大值．试题解析：（1）设交于点，过作，垂足为，在中，，，在中，，所以S，（2）要使侧面积最大，由（1）得：令，所以得，由得：当时，，当时，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在时取得极大值，也是最大值；所以当时，侧面积取得最大值，此时等腰三角形的腰长答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．19．（1）证明见解析，；（2）11202.【答案解析】

（1）由n，，成等差数列，可得，，两式相减，由等比数列的定义可得是等比数列，可求数列的通项公式；（2）由（1）中的可求出，根据和求出数列，中的公共项，分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，可得答案.【题目详解】（1）证明：因为n，，成等差数列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又当时，，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.（2）根据（1）求解知，，，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.又因为，，，，，，，，，，，所以.【答案点睛】本题考查等比数列的定义，考查分组求和，属于中档题.20．（1）见解析（2）【答案解析】

（1）由已知可证明平面，从而得证面面垂直，再由，得线面垂直，从而得，由直角三角形得结论；（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法示二面角．【题目详解】（1）证明：连接，，．，，平面．平面，平面平面．，为的中点，．平面平面，平面．平面，．为斜边的中点，，（2），由（1）可知，为等腰直角三角形，则．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，记平面的法向量为由得到，取，可得，则．易知平面的法向量为．记二面角的平面角为，且由图可知为锐角，则，所以二面角的余弦值为．【答案点睛】本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而得线线垂直，考查用空间向量法求二面角．在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时，可以建立空间直角坐标系，用空间向量法求解空间角，可避免空间角的作证过程，通过计算求解．21．（1）（2）（3）【答案解析】试题分析：（1）；（2）由椭圆对称性，知，所以，此时直线方程为，故．（3）设，则，通过直线和椭圆方程，解得，，所以，即存在．试题解析：（1）设椭圆方程为，由题意知：解之得：，所以椭圆方程为：（2）若，由椭圆对称性，知，所以，此时直线方程为，由，得，解得（舍去），故．（3）设，则，直线的方程为，代入椭圆方程，得，因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，又在直线上，所以，同理，点坐标为，，所以，即存在，使得．22．（1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）【答案解析】试题分析：（1），通过求导分析，得函数取得极小值为，无极大值；（2），