高等数学第一周讲义商学院

授课教师:徐大丰E-mail:1高等数学（Ι）公共邮箱用户名：密码：math_20132教材：《高等数学》（第六版）（上册）,同济大学应用数学系主编,高等教育出版社参考书目1：《高等数学习题全解指南》,同济六版同济大学数学系，高等教育出版社.参考书目2：《数学分析》习题集（共六册）,吉米多维奇，费定晖，周学圣编，郭大钧，邵品琮主审山东科学技术出版社。参考书目3：《微积分学教程(全三卷,共八册)》菲赫金哥尔茨，人民教育出版社。3考核：期中考试与平时占30％，期末考试占70％。答疑时间：周三下午14点到15点、周四中午12点到13点答疑地点：集英楼A101。注意事项：第一节函数4第一章函数与极限1.1实数、区间和邻域51、点a的邻域：其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.为a的

邻域.称点a的去心邻域：6点a的左邻域:点a的右邻域:注意：一点的任何两个邻域都有公共部分，其公共部分仍为此点的邻域。72、函数的概念（function）定义.设D是一个非空数集，f是一个对应法则，如果对于D中的每一个元素x,通过f，都有唯一确定的值y与之对应，则称y是x的函数，记作：x称为自变量，y称为因变量。8

定义域Df：使表达式及实际问题都有意义的自变量取值的集合.值域Y：决定函数的要素：定义域与对应法则，仅当定义域与对应法则都相同时，两个函数才相同。91、绝对值函数定义域值域一些常见的函数：102、符号函数（signum）：xy3、取整函数：对应法则为不超过x的最大整数。显然：xy4、狄利克雷函数（Dirichlet）x

为有理数x

为无理数135、分段函数146.最大值函数与最小值函数。三、函数的几种特性15（一）、有界性：1、函数在X上有上界结论：若函数有上界,则必有无穷多个上界.16函数在X上无上界：172、函数在X上有下界若函数有下界,则必有无穷多个下界.18函数在X上无下界:193、函数在X上有界20函数在X上无界结论：函数在X上有界的充分必要条件是：函数在X上既有上界又有下界。（二）、单调性（注意与教材中的区别）时，则称f(x)为I上的单调增函数。时，则称f(x)为I上的单调减函数。当时,称

为I上的严格单调减函数为I上的严格单调增函数。称

四、反函数22反函数：给定函数y=f(x)，如果对于值域Y中的每一个值y0而言，都有唯一一个值x0使得y0=f(x0).那么，我们就说在Y上定义了y=f(x)的反函数。反函数的求法：函数与反函数图象关于y=x对称（三）奇偶性与周期性（略）五、复合函数

23复合函数：24多个函数的复合：则称y是x的复合函数，记作

复合的作用：视复杂函数为几个简单函数的复合，起化简的目的。25例:六、函数的四则运算

七.初等函数26(1)基本初等函数常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数自然对数函数：27反三角函数及其图象：1-128反三角函数及其图象：1-129反三角函数及其图象：30反三角函数及其图象：31(2)初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的函数,称为初等函数。本课程的研究对象:初等函数.32常见的公式1、绝对值不等式3、柯西不等式2、均值不等式:设则：334、二项式定理：5、34常用的三角函数的公式351、判断下列函数的奇偶性。2、考察下列函数的单调性及有界性。课堂练习3、f(x)的定义域是(4,9]，求f(x2)的定义域。第二节36

第一章数列的极限1、数列概念：37按照一定的顺序排成的一列数。记作：其中n称为项数，称为数列的第n项，或通项。数列的特性：有序性一、数列极限的概念排列法：将数列中的项一个一个地排出

用通项公式法：将数列中的项与项数的关系表示出来。数列的表示形式：数列用排列法给出，写出通项公式。如：2，3/4,4/9,5/16,…..比如：39有界数列：数列若存在正数M，对于所有的n,都有则称数列为有界数列。40对数列单调数列：则称数列为单调递增数列则称数列为单调递减数列数列：有限数列与无限数列41数列的子数列：从一个无限数列中抽取无限多项并且保持在原数列中的顺序，称这样得到的数列是原数列的子数列。数列：子列：显然：42例：考察下列数列，当项数逐渐增大时，数列当中的项的变化趋势。数列极限研究的问题：无限数列中,当项数n越来越大，乃至无限增大时，项的变化趋势。数列极限的描述性定义：对于数列{xn}而言，如果存在一个常数a，当项数无限增加时，数列中的项向a无限靠近，那么则称a为数列{xn}的极限。43

若数列有极限,则称数列收敛.否则称数列发散。44例：考察下列数列，当项数逐渐增大时，项的变化趋势。获得数列极限的方法：对数列直接进行考察。ε-N定义45若数列及常数a

有下列关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛

,否则称数列发散

.或则称该数列的极限为a,或称数列收敛于a.数列极限定义的精确化：注意：ε的作用。46收敛数列的几何意义证明：常数列的极限是常数本身。47例1：证明：取则当时,有证:例.设48证明等比数列证:欲使只要即因此,取,则当n>N

时,就有故的极限为0.49用ε-N定义证明极限：寻找N。解不等式考察当项数n大到一定程度时，此不等式是否成立。注意：与N的关系50例：证明：取则当时,有证:例.已知51证明证:欲使只要取则当时,就有故52说明：数列不以a为极限。若对某使得531、下列结论是否正确，为什么？当n越来越大时，越来越小，则数列有极限a.(1)(2)存在正整数N，当n>

N

时,有无穷多个xn项,使则有问题讨论542、判断：若若若若553、证明：56数列极限存在的准则1、柯西收敛准则收敛的充要条件是：当n、m>

N

时,2、单调有界数列必有极限。单调递增有上界的数列必有极限；单调递减有下界的数列必有极限。二、收敛数列的性质57证:

用反证法.及且取因故存在N1,

从而同理,因故存在N2,

使当n>N2时,有1.唯一性：收敛数列的极限是唯一的.使当n>N1时,

假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N

时,故假设不真!满足的不等式2.收敛数列一定有界。58说明:

此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列3.收敛数列的保号性.59若且时,有推论:若数列从某项起(用反证法证明)注意:若数列从某项起也仅能得到而不能得到则