课时跟踪检测(六十九)离散型随机变量的均值与方差、正态分布

课时跟踪检测(六十九)离散型随机变量的均值与方差、正态分布(分A、B卷，共2页)A卷：夯基保分一、选择题1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．2．(2015·太原高三期中)已知随机变量X的分布列为X123P0.20.40.4则E(6X＋8)的值为()A．13.2 B．21.2 C．20.2 D．3．如果X～B(20，p)，当p＝eq\f(1,2)且P(X＝k)取得最大值时，k的值为()A．8 B．9 C．10 D．4．设随机变量X服从正态分布N(3,4)，若P(X<2a－3)＝P(X>a＋2)，则aA．3 B.eq\f(5,3) C．5 D.eq\f(7,3)5．(2015·芜湖一模)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．26．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．二、填空题7．(2015·温州十校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是______．8．若随机变量X的概率分布密度函数是φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(2π))·e－eq\f(x＋22,8)(x∈R)，则E(2X－1)＝________.9．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的均值为______．10．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为eq\f(2,3)，则此人得分的数学期望与方差分别为______________．三、解答题11.(2015·忻州联考)现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．12．(2015·昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：日最高气温t(单位：℃)t≤2222＜t≤2828＜t≤32t＞32天数612YZ由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：日最高气温t(单位：℃)t≤2222＜t≤2828＜t≤32t＞32日销售额X(单位：千元)2568(1)求Y，Z的值；(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；(3)在日最高气温不高于32℃时，

B卷：增分提能1．(2015·崇文一模)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：版本人教A版人教B版苏教版北师大版人教2015510(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．2．(2014·湖北高考)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？3．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N(168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在172cm以上(含172(3)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X，参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.答案A卷：夯基保分1．选B∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.2．选B由随机变量的期望公式可得E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，E(6X＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.3．选C当p＝eq\f(1,2)时，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))20－k＝Ceq\o\al(k,20)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))20，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．4．选D因为X服从正态分布N(3,4)，P(X<2a－3)＝P(X>a＋2)．∴2a－3＋a＋2＝6，a＝eq\f(7,3)，故选D.5．选C由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝6，,np1－p＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)，,n＝12.))∴P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))11＝eq\f(12,212)＝3×2－10.6．选B1000粒种子每粒不发芽的概率为0.1，∴不发芽的种子数服从随机变量ξ～B(1000,0.1)，∴1000粒种子中不发芽的种子数的期望E(ξ)＝1000×0.1＝100(粒)，又每粒不发芽的种子需补种2粒，∴需补种的种子数的期望E(X)＝2×100＝200.7．解析：根据题意知X＝0,1,2，而P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(24,45)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(6,45).∴E(X)＝0×eq\f(15,45)＋1×eq\f(24,45)＋2×eq\f(6,45)＝eq\f(36,45)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)8．解析：σ＝2，μ＝－2，E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.答案：－59．解析：次品数服从超几何分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100，\f(10,100)))，所以E(X)＝3×eq\f(10,100)＝0.3.答案：0.310．解析：记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，Y＝10X，∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×eq\f(2,3)＝20，D(Y)＝100D(X)＝100×3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(200,3).答案：20，eq\f(200,3)11．解：(1)由题意可知投一次小球，落入B槽的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,2).(2)落入A槽的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4)，落入B槽的概率为eq\f(1,2)，落入C槽的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4).X的所有可能取值为0,5,10，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＝eq\f(1,64)，P(X＝5)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(21,32)，P(X＝10)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(21,64)，X的分布列为X0510Peq\f(1,64)eq\f(21,32)eq\f(21,64)E(X)＝0×eq\f(1,64)＋5×eq\f(21,32)＋10×eq\f(21,64)＝eq\f(105,16).12．解：(1)由已知得：P(t≤32)＝0.9，∴P(t＞32)＝1－P(t≤32)＝0.1，∴Z＝30×0.1＝3，Y＝30－(6＋12＋3)＝9.(2)P(t≤22)＝eq\f(6,30)＝0.2，P(22＜t≤28)＝eq\f(12,30)＝0.4，P(28＜t≤32)＝eq\f(9,30)＝0.3，P(t＞32)＝eq\f(3,30)＝0.1，∴六月份西瓜日销售额X的分布列为X2568P0.20.40.30.1∴E(X)＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5，D(X)＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3.(3)∵P(t≤32)＝0.9，P(22＜t≤32)＝0.4＋0.3＝0.7，∴由条件概率得：P(X≥5|t≤32)＝P(22＜t≤32|t≤32)＝eq\f(P22＜t≤32,Pt≤32)＝eq\f(0.7,0.9)＝eq\f(7,9).B卷：增分提能1．解：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为Ceq\o\al(2,50)＝1225，选出2人使用版本相同的方法数为Ceq\o\al(2,20)＋Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,10)＝350，故2人使用版本相同的概率为P＝eq\f(350,1225)＝eq\f(2,7).(2)X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(3,17)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(60,119).P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20),C\o\al(2,35))＝eq\f(38,119).∴X的分布列为X012Peq\f(3,17)eq\f(60,119)eq\f(38,119)∴E(X)＝0×eq\f(3,17)＋1×eq\f(60,119)＋2×eq\f(38,119)＝eq\f(136,119)＝eq\f(8,7).2．解：(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝eq\f(10,50)＝0.2，p2＝P(80≤x≤120)＝eq\f(35,50)＝0.7，p3＝P(X>120)＝eq\f(5,50)＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝Ceq\o\al(0,4)(1－p3)4＋Ceq\o\al(1,4)(1－p3)3p3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))4＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))＝0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0.20.70.