求级数和论文

NUM②例23．计算.解：构造傅立叶函数=,其中作偶延拓得:=,由此可知傅立叶系数为：，其中，，（其中）.由狄利克雷收敛条件可知：，其中现在令得：，进而可得：.说明：有了以上结果数项级数的关于就可以套用公式了，下面例题就是直接利用了。例24．计算，，其中满足.解：任意（0，1），记=，由魏尔斯特拉斯定理，因为级数收敛，所以题目中级数在（0，1）上一致收敛.，，因为，所以带入上面式子可得级数和为.2.7三角级数对应复数求级数和为了求三角级数互或的和，常把它们视为复数域内幂级数和的实部和虚部的系数．例25.计算.解：由复数域上幂级数的麦克劳林展式可知：，及，由，对应实部得，其中，.2.8利用三角公式化简级数三角级数还可以利用三角公式化简三角级数，化简后的级数可能比原级数容易求解些，通常复杂级数求和都是要转化，转化为能求和的方向.例26．计算.解：由三角函数的积化和差公式可知：原级数=，其中未知数满足：.2.9针对2.7的延伸在此对2.8的延伸，并不是意味着2.8是个通用的级数和式子，只是看见了另外的一个题可以运用2.8，在此列出是为了表明在求级数和的过程中一些复杂级数可以由另外一些级数求和的，因此遇见复杂级数求和的时候要多注意平常积累的例子，想想平时有没有遇见类似的级数求和问题.例27．计算.解：令，由2.8可知=其中未知数满足，令，.有，由，当时，有，于是.2.10添加项处理系数例28．计算，其中.解：令，当时，=，其中，当:时，，于是：.2.11应用留数定理计算级数和定理：若函数满足以下两个条件：（1）在复平面具有孤立奇点，，…，且这些孤立奇点不为整数及，除去上述奇点外在其它各处都解析；（2）.证明：研究围道积分又由函数满足留数定理的条件，则根据定理我们可以得到如下的等式：（1）由引理，csc()在上有界，即存在，使得|.于是，两边取极限得即：，所以，对（1）式取极限得到0=.所以.证明完毕.例29．求级数（不为0）的和.解：令，当不为零时，满足定理的两个条件，那么.即：，当趋近于零时，将上式变形可得：容易证得等式左边的两个级数是收敛的.故上式两端取极限可得上述级数和,2.12利用函数求级数和定理1：设为自然数，为实数，且，则.定理2：设为自然数，为非负整数，是实数，大于，，有.定理3：设为自然数，级数在[0,1]上一致收敛于函数,则.这三个定理的证明涉及函数，此处证明从略.只说明这三个定理应用于求解级数和的问题.分析这三个定理可以看它们用于解决一些自然数连续性相乘且置于分母的级数和.将级数和中某些数赋予给定理中的相应的、、，再将按定理套用，可以将定理左边的级数化为右边的积分求解.运用定理的关键在于准确找出、、，只要这项工作完成，那么剩下的就是积分的问题.例30：计算.解：对应上述三个定理，此级数根据定理1，将置为-1，置为3，为置1则可以将级数化为积分式子，求解具体过程从略.3.运用特殊级数的和求和法这种方法的基本思想是:将待求和的级数用一些已知级数来表示,通过代入已知级数求得待求级数的和.以下运用例子来说明该方法.例31.求.解:原式可以用级数表示如下.考虑级数,其收敛半径为1,故当时收敛,设其和函数为,下面在区间内求.由于,所以令,即得.例32.(1)求级数的和;(2)求级数的和.解:(1)由于所以,故.(2)因为,所以,从而.例33.求下列级数的和:(1);(2).解:(1)由于,令,得的和,因此.(2)由于当时,有,故令即得,于是有.例33.求下列常数项级数之和:(1);(2);(3).解:将在内展开为正弦级数有,,所以.(1)当时,有.(2)当时,有.(3)当时,有.例34.求的和.解:将函数.令,则.例35.求和.解:令,则.因为,按实部和虚部分别相等的关系,即得.利用四则运算等将所给级数转化为代数方程再求解,这种思维方式和求解方法与错位相减法类似,只不过在错位相减法中两边同乘的是等比级数的公比,在这里则需依具体情况而定,同乘以关于的某个代数式再两式相减以得化简.例36.求级数的和.解:因为该级数的收敛半径,又因为当.,则,(5),(6)(5)式减去(6)得,故.转化为微分方程求解,即研究它的导数或其与它本身有何特点及相关联系,看其是否满足某微分方程及定解条件.找出求和级数所满足的微分方程及定解条件,再解该方程.参考文献：[1]

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