测量不确定度评定与表示

1059.1测量不确定度评定与表示

北京理工大学

周桃庚

主要内容第一部分测量不确定度概念的产生和发展第二部分实验室认可和资质认定政策对测量不确定度评估的要求第三部分统计学的基本知识第四部分名词术语第五部分测量不确定度评定第三部分

统计学的基本知识随机变量作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，可把这些数看作为某变量X的取值范围，变量X称为“随机变量”，即实验结果可用随机变量X来表示。通俗地讲，表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，它们的取值用相应的小写字母x，y，z表示。定义：如果某一量(例如测量结果)在一定条件下，取某一值或在某一范围内取值是一个随机事件，则这样的量称作随机变量。随机变量根据其值的性质不同，可分为离散型和连续型两种，如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则称随机变量X为离散型随机变量。如果随机变量的所有可能取值充满为某范围内的任何数值，且在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称X为连续型随机变量。概率()概率是一个0和1之间隶属于随机事件的实数概率与在一段较长时间内的事件发生的相对频率有关或与事件发生的可信程度()有关3358.1-2009统计学词汇及符号第1部分：一般统计术语与用于概率的术语概率的频率解释若对某一个被测量重复测量，我们可以得到一系列测量数据，这些数据称测量值或观测值测量值是随机变量，它们分散在某个区间内，概率是测量值在区间内出现的相对频率，即出现的可能性大小的度量在此定义的基础上奠定了测量不确定度A类评定的理论基础。概率的可信程度的解释由于测量的不完善或人们对被测量及其影响量的认识不足，概率是测量值落在某个区间内的可信度大小的度量在这个定义中，对于那些我们不知道其大小的系统误差，可以认为是以一定的概率落在区间的某个位置，认为也属于随机变量或者说，某项未知的系统误差落在该区间内的可信程度也可以用概率表征。这是测量不确定度B类评定的理论基础概率测量值x落在()区间内的概率可以表示为概率的值在0到1之间概率分布()一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而变化的函数1.随机变量在整个集合中取值的概率等于12.一个概率分布与单一(标量)随机变量有关时称为单变量概率分布，与随机变量的向量有关时称为多变量概率分布。多变量概率分布也称联合分布3.一个概率分布可以采用分布函数或概率密度函数的形式分布函函数对于每每个x值给给出了了随机机变量量X小小于或或等于于x的的概率率的一一个函函数称称分布布函数数，用用F(x)表示示F(x)=P(X≤x)01231F(x)x10F(x)是是一个个不减减的函函数20概率密密度函函数分布函函数的的导数数（当当导数数存在在时））称（（连续续随机机变量量的））概率率密度度函数数，用用p(x)表示示，p(x)(x)p(x)称称““概率率元素素”p(x)P(x＜＜X＜＜)离散型型随机机变量量的概概率分分布要了解解离散散型随随机变变量X的统统计规规律，，就必必须知知道它它的一一切可可能值值及取取每种种可能能值的的概率率如果将将离散散型随随机变变量X的一一切可可能取取值及及其对对应的的概率率，，记作作P()=，，1,2,…….则称上上式为为离散散型随随机变变量X的概概率分分布或或分布布X-123概率密密度函函数若已知知某个个随机机变量量的概概率密密度函函数p(x),则测测量值值x落落在()区区间内内的概概率p可用用下式式计算算数学上上，积积分代代表了了面积积。由由此可可见，，概率率p是是概率率分布布曲线线下在在区间间()内包包含的的面积积当0.9，，表明明测量量值有有90%的的可能能性落落在该该区间间内，，该区区间包包含了了概率率分布布下总总面积积的90%当1，，表明明测量量值以以100%的可可能性性落在在该区区间内内，也也就是是测量量值必必定在在此区区间内内。3.概概率分分布的的特征征参数数尽管概概率分分布反反映了了该随随机变变量的的全貌貌，但但在实实际使使用中中更关关心代代表该该该概概率分分布的的若干干数字字特征征量。。期望方差标准偏偏差期望期望又又称(概率率分布布或随随机变变量的的)均均值()或或期望望值(),有有时又又称数数学期期望。。常用符符号表表示，，也用用E(X)表示示。测量值值的期期望离散随随机变变量连续续随随机机变变量量通俗俗地地说说：：期期望望值值是是无无穷穷多多次次测测量量的的平平均均值值。。期望望对于于单单峰峰、、对对称称的的概概率率分分布布来来说说，，期期望望值值在在分分布布曲曲线线峰峰顶顶对对应应的的横横坐坐标标正因因为为实实际际上上不不可可能能进进行行无无穷穷多多次次测测量量，，因因此此，，测测量量中中期期望望值值是是可可望望而而不不可可得得的的。。期望望是是概概率率分分布布曲曲线线与与横横坐坐标标轴轴构构成成面面积积的的重重心心所所在在的的横横坐坐标标，，因因此此它它是是决决定定随随机机变变量量分分布布的的位位置置的的量量期望望三条条测测量量值值分分布布曲曲线线的的精精密密度度相相同同，，但但正正确确度度不不同同。。期望望与与真真值值之之差差即即为为系系统统误误差差，，如如果果系系统统误误差差可可以以忽忽略略，，则则期期望望就就是是被被测测量量的的真真值值期望望代代表表了了测测量量的的最最佳佳估估计计值值，，或或相相对对真真值值的的系系统统误误差差大大小小方差差对于于一一个个随随机机变变量量，，仅仅用用数数学学期期望望还还不不足足以以充充分分描描述述其其特特性性。。比如如，，两两组组测测量量数数据据：：28,29,30,31,32…………数数学学期期望望30，，各各个个数数据据在在28和和32之之间间波波动动10,20,30,40,50…………数数学学期期望望30，，各各个个数数据据在在10和和50之之间间波波动动两组组数数据据具具有有相相同同的的数数学学期期望望为为30，，但但它它们们具具有有重重要要的的差差别别。。第2组组数数据据比比第第一一组组数数据据分分散散得得多多。。方差差(随随机机变变量量或或概概率率分分布布的的)方方差差用用符符号号表表示示测量量值值与与期期望望之之差差是是随随机机误误差差，，方方差差就就是是随随机机误误差差平平方方的的期期望望值值方差差说说明明了了随随机机误误差差的的大大小小和和测测量量值值的的分分散散程程度度。。但但由由于于方方差差的的量量纲纲是是单单位位的的平平方方，，使使用用不不方方便便，，因因此此引引出出了了标标准准偏偏差差这这个个术术语语标准准偏偏差差概率率分分布布或或随随机机变变量量的的标标准准偏偏差差是是方方差差的的正正平平方方根根值值，，用用符符号号表表示示标准准偏偏差差是是无无穷穷多多次次测测量量的的随随机机误误差差平平方方的的算算术术平平均均值值的的正正平平方方根根值值的的极极限限，，标准准偏偏差差标准准偏偏差差是是表表明明测测得得值值分分散散性性的的参参数数，，小小表表明明测测得得值值比比较较集集中中，，大大表表明明测测得得值值比比较较分分散散。。通通常常，，测测量量的的重重复复性性或或复复现现性性是是用用标标准准偏偏差差来来表表示示的的。。三条条误误差差分分布布曲曲线线的的正正确确度度相相同同，，但但精精密密度度不不同同标准准偏偏差差由于于标标准准偏偏差差是是无无穷穷多多次次测测量量时时的的极极限限值值，，所所以以又又称称总总体体标标准准偏偏差差。。可见见：：期期望望和和方方差差(或或标标准准偏偏差差)是是表表征征概概率率分分布布的的两两个个特特征征参参数数。。理理想想情情况况下下，，应应该该以以期期望望为为被被测测量量的的测测量量结结果果，，以以标标准准偏偏差差表表示示测测得得值值的的分分散散性性三条条误误差差分分布布曲曲线线的的正正确确度度相相同同，，但但精精密密度度不不同同标准准偏偏差差由于于期期望望、、方方差差和和标标准准偏偏差差都都是是以以无无穷穷多多次次测测量量的的理理想想情情况况定定义义的的，，因因此此都都是是概概念念性性的的术术语语，，无无法法由由测测量量得得到到，，2和和。。三条误差差分布曲曲线的正正确度相相同，但但精密度度不同4.有限限次测量量时μ和和σ的估估计值算数平均均值()期望的最最佳估计计值在相同测测量条件件下，对对某被测测量X进进行有限限次独立立重复测测量，得得到一系系列测量量值,算算术平平均值为为算术平均均值是期期望的最最佳估计计值由大数定定理证明明，测量量值的算算术平均均值是其其期望的的最佳估估计值大数定理理：算术平均均值若干个独独立同分分布的随随机变量量的平均均值以无无限接近近于1的的概率接接近于其其期望。所以以是是期期望的的最佳佳估计值值。即使在同同一条件件下对同同一量进进行多组组测量，，每组的的平均值值都不相相同，说说明算术术平均值值本身也也是随机机变量。。由于有限限次测量量时的算算术平均均值是其其期望的的最佳估估计值，，因此，，通常用用算术平平均值作作为测量量结果的的值。2）实验验标准偏偏差()有限次测测量时标标准偏差差的估计计值实际工作作中不可可能测量量无穷多多次，因因此无法法得到总总体标准准偏差σσ。用有限次次测量的的数据得得到标准准偏差的的估计值值称为实实验标准准偏差，，用符号号s表示示。现介绍几几种常用用的实验验标准偏偏差的估估计方法法。在相同测测量条件件下，对对某被测测量X进进行有限限次独立立重复测测量，得得到一系系列测量量值,则则实验验标准偏偏差可按按以下几几种方法法估计（1）贝贝塞尔公公式式中——n次次测量的的算术平平均值——残差差——自由由度——(测测量值的的)实验验标准偏偏差,表表征了观观测值的的变动性性，或更更确切地地说，表表征了它它们在平平均值周周围的分分散性残余误差差各个测得得值与算算术平均均值之差差，叫作作残余误误差（也也称残差差）残余误差差性质：：残余误误差的代代数和等等于零。。即这是因为为例：用游游标卡尺尺测某一一尺寸10次，，数据见见表（设设无系统统和粗大大误差）），求算算术平均均值及单单次测值值的实验验标准差差。测序22175.01-0.0350.001225275.04-0.0050.000025375.07+0.0250.000625475.00-0.0450.002025575.03-0.0150.000225675.09+0.0450.002025775.06+0.0150.000225875.02-0.0250.000625975.05+0.0050.0000251075.08+0.0350.001225可得利用贝塞塞尔公式式求出的的实验标标准差是是上述10个测测值的测测量组中中单次测测量的实实验标准准差。如如何理解解？例：测量量列为75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08；这10个个测值是是等权测测量，每每一个测测值的实实验标准准差都是是0.0303。。单次测值值的实验验标准差差在数据据处理中中的意义义：1）可比比较不同同测量组组的测量量可靠性性：例：对同同一被测测量进行行了两组组测量（（如由两两人），，其数据据是：测量结果果一样，，哪个测测量者的的测量水水平高、、测值更更可靠？？何时会用用单次测测量值作作为测量量结果？？2）当用用单次测测量值作作为测量量结果时时，可反反映单次次测量测测量结果果的可靠靠性。说明：（1）单单次测量量的实验验标准偏偏差s并并非只测测量一次次就能得得到的。。对于一一定的测测量方法法或量仪仪，必须须通过多多次测试试才能获获得。（（即所谓谓“用统统计方法法得出””）（2）一一旦得出出了s值值，在今今后使用用该量仪仪或测量量方法时时，s便便为已知知值，便便能对单单次测量量给出测测量不确确定度。。（3）在在有的仪仪器说明明书里或或手册表表格中往往往也给给出了s值。此此时，在在测量过过程中便便可直接接引用，，而不必必自己去去求出。。（2）极极差法从有限次次对立重重复测量量的一列列测量值值中找出出最最大值，，最最小小值得到极差差，，并根据据测量次次数n查查表得到到极差系系数值值代代入下式式得到实实验标准准偏差（3）较较差法从有限次次独立重重复测量量的一列列测量值值中，将将每次测测量值与与后一次次测量值值比较得得到差值值，利用用下式得得到实验验标准偏偏差3）实验验标准偏偏差的可可靠性与与自由度度的关系系实验标准准偏差是是标准偏偏差的估估计值，，它本身身存在着着标准偏偏差，实实验标准准偏差的的标准偏偏差估计计值为实验标准准偏差s的相对对标准偏偏差为由此可见见，标准准偏差估估计值的的可靠程程度是与与自由度度大小成成反比的的，自由由度越大大，评定定的标准准偏差估估计值越越可靠。。各种估计计方法的的比较贝塞尔公公式法是是一种基基本的方方法，极差法使使用起来来比较简简便，但但当数据据的概率率分布偏偏离正态态分布较较大时，，应当以以贝塞尔尔公式法法的结果果为准。。较差法更更适用于于随机过过程的方方差分析析，如频频率测量量的阿伦伦方差就就属于这这种方法法。4）算数平均均值的实验标标准偏差若测量值的实实验标准偏差差为s()，，则算术平平均值的实验验标准偏差为为有限次测量的的算术平均值值的实验标准准偏差与成成反反比。测量次次数增加，减减小，即算术术平均值的分分散性减小。。一般3~20通常用算术平平均值作为被被测量估计值值，则算术平平均值的实验验标准偏差是是被测量估计计值的A类评评定的标准不不确定度概率统计术语语无限次测量的理想条件下概率论术语有限次测量条件下的统计学术语数学期望算术平均值标准偏差实验标准偏差s(x)算术平均值的实验标准偏差常用的概率分分布正态分布正态分布又称称高斯分布。。一个连续随随机变量X的的正态分布的的概率密度函函数为式中，是X的期望，为标准偏差差。正态分布的特特点单峰性：概率率分布曲线在在均值μ处处具有一个极极大值对称性：正