工硕练习及答案

一、设A，B互不相容且P(A)p,P(B)q，求：(1)P(AB)=(2)P(AB)=(3)P(AB)=(4)P(AB)=解：（1）P(AB)P(A)P(B)pq(2)P(AB)1P(AB)1(3)P(AB)P(A)1p(4)P(AB)P(A)p二、设随机变量(X,Y)的联合分布律为：X012Y11004211016430111616（1） 求X,Y的边缘分布律；（2） 判断X与Y是否相互独立；

3116140（3）求在X2时Y的条件分布律以及Y2时X的条件分布律；（4）求V=max(X,Y)的分布律；（5）求U=min(X,Y)的分布律；（6）W=X+Y的分布律。（7） E[Y|X=2]解：边缘分布律为X01235515P16161616Y 1 2 3P

5 9 216 16 16(2)因为P{X1,Y1}0,而P{X551}P{Y1}1616故P{X1,Y1}P{X1}P{Y1}从而X与Y不独立。（3）X=2时Y的条件分布律为：P{Y1|X2}P{X2,Y1}0P{X2}P{Y2|X2}P{X2,Y2}0P{X2}P{Y3|X2}P{X2,Y3}1P{X2}同理Y=2时X的条件分布律为：P{X0|Y2}19P{X1|Y2}49P{X2|Y2}0P{X3|Y2}49(4)P{V1}P{X0,Y1}P{X1,Y11}4P{V2}5,P{V3}71616P{U0}P{X0,Y1}P{X50,Y2}P{X0,Y3}(5)166,P{U5P{U1}2}1616(6)P{W1}P{X0,Y1}14P{W2}P{X0,Y2}P{X1,Y1}116P{W3}P{X0,Y3}P{X1,Y2}P{X2,Y11}4P{W4}P{X1,Y3}P{X2,Y2}P{X3,Y21}516P{W5}P{X2,Y3}P{X3,Y2}16(7)E[Y|X2]1P{Y1|X2}2P{Y2|X2}3P{Y3|X2}3三、设（X，Y）的联合密度函数为cxy,0 x 1,0 y 1f(x,y)0, 其 他1）求常数c；2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；3）求条件概率密度fX|Y(x|y),fY|X(y|x)；（4）求P(X Y 1)。解：由-f(x,y)dxdy1得-111y2|10dxcx2|01c10dxcxydycx00244于是c=4。（2）由fX(x)f(x,y)dy得时，f(x)12x，故当0X4xydyx102x0x1fX(x)其他0由f(x,y)中x与y的对称性知2y0y1fY(y)其他0（3）由fX|Y(x|y)f(x,y)得，fY(y)2x0x1当0<y<1时，fX|Y(x|y)其他0同理当0<x<1时，fY|X(y|x)2y0y10其他（4）P{X11x1Y1}f(x,y)dxdydx04xydyxy106yy+x=11x0 1四、设（X，Y）的联合密度函数为cxy,0 x 1,0 y xf(x,y)0, 其 他1）求常数c；2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求条件概率密度fX|Y(x|y),fY|X(y|x)，特别地，求fX|Y(x|0.5),fY|X(y|0.5)；（4）求如下概率：P(XY0.5)，PY1X1；42（5）求EX，E(X+Y)，DX。解：（1）由f(x,y)dxdy1得--1x124y|0xdxcx|011，于是c=8.dxcxydycx00028y01x（2）由fX(x)f(x,y)dy得当0x1时，fX(x)x4x3，故8xydy0fX(x)4x30x10其他当0y1时，()14(12)，故fY8xydyyyyyfY(y)4y(1y2)0y10其他（3）当0x1时，fY|X(y|x)f(x,y)2y0yxx2fX(x)0其他当0y1时，f(x,y)2xyx1fX|Y(x|y)12fY(y)y0其他所以fY|X(y|0.5)8y0y0.50其他8x0.5x1fX|Y(x|0.5)30其他y0.500.250.51x（4）P{XY0.5}1P{XY0.5}11y11y1P{XY0.5}4dy24y4x2|y28xydxdy0y096则P{XY950.5}961X1(y|1)dy13PY1fY|X128ydy4y2|0.54220.25444（5）EXxfX(x)dx14x4dx4052EX2x2fX(x)dx15dx4x038EYyfY(y)dy1y2)dy4y2(10154E(XY)EXEY32DXEX2(EX)275五、若随机变量 X,Y的联合概率密度为：1 x2 y21f(x,y)其他试求其协方差矩阵，并判断 X,Y是否相关，是否相互独立。解：y1-1 1 x-1Cc11c12,其中c11DX,c22DY,c12c21E[XEX][YEY]c21c22DXEX2(EX)2当11x2x1时，fX(x)21x

21x2dy21x2则fX(x)1x1其他同理，当1y1时，fY(y)21y21 y 1则fY(y)

1 y21 y2

21y2dx其他121x2EXxdx0(被积函数为奇函数）1EX21221x241212xsin4/222xdx0xxdxsincosd101/21/2cos4)d1