沈晨竞赛讲义竞赛24：几何光学问题集成课件

光的传播光总沿着光程为极值的路径传播——在均匀介质里沿直线传播，因为给定两点间直线路径最短；在不均匀的介质中，光沿着所有可能的光程中有最小、最大或稳定的光程的路径传播，即遵从费马原理.

费马原理光程原理AB光在反射中遵守费马原理F1F2PF1F2P依据费马原理求解:由基本不等式:光程有最大值即在处存在光的圆折射波道

某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h按照n＝n0－ah的规律而减小，行星的半径为R，行星表面某一高度h0处有光波道，它始终在恒定高度，光线沿光波道环绕行星传播，试求高度h0．专题24-例1解:查阅物像公式依据惠更斯原理求解:MNh0hOR小试身手题13-15解:返回

光源形成的单心光束的顶点

物像公式物点实物点

虚物点

像点被光具作用(折射、反射）后的单心光束的会聚点或发散点称作实像点或虚像点近轴光球面反射成像公式用费马原理推导yPO1xQhAFCOBS根据费马原理可以推论，任一发光点所发光束经球面反射或折射后能成像于一点的条件是，从物点到达像点的所有光线的光程都相等对近轴光线小试身手题1ABP解:

圆锥面的内表面镀上反射层，构成圆锥面镜．在圆锥形内沿轴拉紧一根细丝．要使细丝发出的光线在圆锥内面上反射不多于一次，圆锥形最小的展开角α=____________．P一次反射光无入射点与两像情况完全相同,关于平面镜对称

由点光源S发出的近轴光线经透明球形成像，像到透明球的距离为b，如图所示．如果沿垂直于水平轴将球分成两半，左边一半的平面上镀银，那么像的位置在__________，与球的距离为____________．小试身手题3解:左半平面镀银成平面镜，通过左球面的折射光线通过平面镜反射不改变光束敛散性只是再次由左球面折射而已左侧不经反射，入射光能射到感光面上，入射光与轴所成最大角如图

经一次反射而能入射光面上，入射光与轴所成最大角增大以最大角度入射的光线延长后应恰与接受器表面相切，如图

如图所示，两块平面镜宽度均为L＝5cm，相交成角α＝12°，构成光通道．两镜的右端相距为d＝2cm，左端靠在光接收器的圆柱形的感光面上．试问入射光线与光通道的轴成的最大角度为多少，才能射到光接收器上？小试身手题5解:yxO专题24-例3光穿过几个互相平行的、折射率不同的介质区时有yxOn1nin2n3riri+1yri

O点光沿x方向,则第i层入射角ri满足由图示几何关系得

如图所示，介质在一定区域x＞0、y＞0内的折射率随着y的变化而连续变化．一束细光束沿x方向垂直入射到介质表面，并沿着一个半径为R的圆弧路径穿过介质，求折射率n随y变化的规律．如果y=0时折射率n0=1，已知的材料中最大折射率（金刚石折射率）不超过2.5，圆弧所对应的圆心角最大可能达多少？解:专题24-例4折射光具之三棱镜对光路的作用ABCOδirDE顶角偏向角δ反映三棱镜改变光传播方向的程度!i

通常用阿贝数来表示光学材料的色散特性，其中nD、nC、nF分别表示材料对单色光D及单色光C及F的折射率．一束白光照射到一顶角A=60°，冕牌玻璃（n=1.500，n=1.495，）制的棱镜上，使单色光D在棱镜中的传播方向垂直于角A的平分面．求从棱镜射出的单色光C和F之间的夹角．解:解答Air本题比较三棱镜对C、D、F三种色光改变传播方向的程度！单色光D对称进出三棱镜，光路如示单色光D通过三棱镜偏向角为单色光C通过三棱镜偏向角小于D单色光F通过三棱镜偏向角大于D其中

走“光对称进出三棱镜”时的路径时间最短，即沿图答中折线APQB，其中PQ∥AB，借助光折射模型：PQrDCAhBl由几何关系则最短时间为

小试身手题6

如图．湖湾成顶角为α的楔形，岸上住有一个渔人：他的房子在A点，从A点到他离湖最近的C点之距离为h，而到湖湾的一头，即到D点之距离为．湖对岸B点处有渔人好友的房子，点B位置与A点相对湖岸对称．渔人拥有一只小船，他可以速度沿岸步行或以速度v/2乘船在湖中划行，他从自己家出发到好友家里去．求他需要的最短时间．解:i

假定你站在水平的大沙漠上．在远处，你会看见好似水面的东西，当你靠近“水面”时，它会同时后退，并保持你同它的距离不变，试解释这一现象．假定你的两眼离地面1.6m，且你同“水面”的距离保持为250m，试计算地表温度．空气在15℃，一个大气压下的折射率为1.0002760，假定在距地面1m以上空气温度恒为30℃，大气压强为0.1013MPa．折射率用n表示，并假定(n-1)同空气密度成正比．小试身手题16

由于(n-1)∝ρ，温度T越高，空气密度越小，折射率也越小，大沙漠地表温度较高，高处景物（例如白云）的光自上向下行进，连续从光密介质向光疏介质折射，在地面附近发生全反射，反射光进入人眼的结果是看到了景物的虚像，形似水面解:沙漠蜃景解答，．

n0,T0n30,T301m1.6m250m根据克拉珀龙方程，压强一定时有，

，．

小试身手题122fR若将此透镜的平面镀银，其作用要等同于一个焦距是30cm的凹面镜，应使主轴上距球面顶点2f的物点发出的光进入球内后与镀银平面垂直地入射，则反射后光反向沿原路径到达主轴上物点处，即等效于凹面镜过曲率中心的光线反射后仍过曲率中心解:

有一薄凸透镜，凸面曲率半径R=30cm，如图所示．已知在利用近轴光线成像时：⑴若将此透镜的平面镀银，其作用等同于一个焦距是30cm的凹面镜；⑵若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜．求在⑵情况下的等效凹面镜的焦距．由图示几何关系得对近轴光线，由几何关系得续解，．

xR若将此透镜的凸面镀银，其作用也要等同于一个凹面镜，应使进入镜中的光沿凸面的径向射至镀银球面，则反射后光沿原路径返回，设等效凹面镜曲率半径为x由图示几何关系得对近轴光线，由几何关系得查阅CEAB①②③④⑤⑥OFKG解:如图表示一条光线经过薄会聚透镜折射的光路ABC和透镜的后焦点F．试用圆规和直尺，作出透镜所在位置和它的主光轴．小试身手题8①连接B、F两点；②以BF为直径作圆；③延长入射线AB；④用有刻度的直尺零刻线对准点F，以F为轴转动直尺，当FK=GE时，作线段EF；⑤过F点作EF的垂线为主轴，与圆交于O即为光心；⑥OB为透镜所在位置∵BG⊥EF则OK∥AB为副光轴

EF为焦平面AB经透镜折射后的光线过副焦点K，即为BC，．

小试身手题9LODEGCAB根据题意BD放大率为根据公式

利用薄凸透镜得到三齿的像，如图．三齿ABCEDG的底边AC位于主光轴上，AB=BC．AB部分成像放大率β1=6，而BC部分的放大率β2=3，试求BD部分成像的放大率．解:，．

小试身手题10S1S2物直接经透镜成放大虚像物经平面镜的反射光再经透镜成放大实像设前一像之像距v1，后一像之像距v2，蜡烛距透镜u，则两像放大率为解:

在不透光的箱内直立着一根蜡烛，箱的后壁是平面镜，前壁嵌有透镜，如图，箱长为L，在这光具组中观察到蜡烛火焰的两个像，并且像的大小相等．试求透镜的焦距．，．

小试身手题14F2L1L2F1对L1成S的等大倒立实像:对L2成S1的缩小倒立实像:SS2L3S1

如图所示的薄透镜系统中，透镜L1和L2的焦距f1=f2=10cm，两透镜的间距为70cm，物在L1的前方20cm处，试求最后像的位置、大小与正倒；为提高光能利用率（增加系统的聚光能力以增加像亮度），可增加第三个会聚透镜L3，为了使最后像的位置仍保持不变，试问L3应放在何处？试借助特殊光线用作图法解释L3能提高聚光能力的原因。解:yO1-sn1n2xhPCOAB近轴光球面折射成像公式用费马原理推导根据费马原理可以推论，任一发光点所发光束经球面折射后能成像于一点的条件是，从物点到达像点的所有光线的光程都相等近轴光透镜成像公式d-R2-sn1n2OABnR1P对球面AOB运用球面折射公式:

对球面AO′B运用球面折射公式:

薄透镜d→0

物方焦距

像方焦距

专题24-例5hn对球面所成第1个像运用高斯公式:其中2R即球面一次折射后成平行光!被平面镜反射后仍为平行光再次由球面折射:等大倒立实像

如图所示,一玻璃半球的曲率半径为R，折射率n=1.5，其平面的一边镀银．一物高为h，放在曲面顶点前2R处．求⑴由球面所成的第一个像的位置；⑵这一光具组的最后一个像在哪里?解:专题24-例6

水中的发光体位于距盛水器皿壁x处，从外面往器皿壁上贴一个平凸透镜，透镜在空气中的焦距等于f．透镜和器皿壁是非常薄的，水的折射率为，而玻璃的折射率．物体位于透镜的主光轴上．求出并讨论像的位置y与物体的位置x的关系．作为特例，求出x＝f时的像的位置和放大倍数．如果透镜是贴在器皿内壁，那时候情况是否变化？怎样变化？解:n水n0Pn玻-R-x透镜在空气中焦距为f由薄透镜成像普适公式实像虚像放大虚像续解透镜是贴在器皿内壁的Pn水n0n玻由薄透镜成像普适公式-xR放大虚像

如图所示，两个完全相同的球面薄表壳玻璃合在一起，中空，其中一块涂银成为球面反射镜．屏上小孔Q为点光源，它发出的光经反射后成像于点．调整屏与表壳间的距离L，当L=20cm时，像点正好落在屏上．然后在表壳玻璃间注满折射率的水．试问，当L为何值时，像点仍落在屏上？小试身手题13解:设球面曲率半径R,当L=20cm时,球面镜反射成像物距等于像距,由球面镜反射成像公式QLR在表壳玻璃间注水使成一水凸透镜!n0n水n0其像方焦距由R续解RQn0n水n0RQ对水透镜一次成像Q1,由薄透镜成像公式Q1对球面镜二次成像Q2Q2对水透镜三次成像在屏查阅

如图所示，薄壁球形玻璃鱼缸的半径为R，所盛水的折射率n