《直线与平面垂直》课件与同步练习

8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直第八章立体几何初步1课程目标1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．课程目标1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问2数学学科素养1．逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2．数学运算：求直线与平面所成角；3．直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.

数学学科素养1．逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的判定定理，3自主预习，回答问题阅读课本149-152页，思考并完成以下问题1、直线与平面垂直的意义是什么？2、直线与平面垂直的判定定理是什么？用符号语言怎样表示？3、什么是直线与平面所成角？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。自主预习，回答问题阅读课本149-152页，思考并完成以下问4空间中直线与平面有几种位置关系？aaaaa∥a∩＝AA复习回顾：空间中直线与平面有几种位置关系？aaaaa∥a5生活中有很多直线与平面垂直的实例生活中有很多直线与平面垂直的实例6ABAB7ABAB8ABAB9ABAB10ABAB11ABAB12ABABABAB13ABAB14CABABABABABAB请你给直线与平面垂直下个定义吧！

直线垂直于平面内的任意一条直线．C1B1CABABABABABAB请你给直线与平面垂直下个定义吧！15线面垂直P定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直。记作：线面垂直线线垂直平面的垂线直线的垂面垂足线面垂直P定义：如果直线与平面内的任16线面垂直的定义常这样使用简记：若线面垂直，则线线垂直l^a线面垂直的定义常这样使用简记：若线面垂直，则线线垂直l^a17P直线和平面垂直的画法:直线与平行四边形的一边垂直P直线和平面垂直的画法:直线与平行四边18思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将19如图，准备一块三角形的硬纸片，做一个试验：探究过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（与桌面接触）.

问题：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？如图，准备一块三角形的硬纸片，做一个试验：探究过20当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．当且仅当折痕AD是BC边上的高时，A21

线线垂直线面垂直nPm一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。线面垂直的判定定理符号语言线线垂直线面垂直nPm一条直线与一个平面内22问题1：和直线与平面垂直的定义相比，在证明直线和平面垂直方面，你觉得判定定理的优越性体现在哪里？问题2：你觉得定义与判定定理的共同特点是什么？线线垂直线面垂直无限有限线不在多，相交就行问题1：和直线与平面垂直的定义相比，在证明直线和平面垂直方面23例1求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：a//b，a求证:bab证明：设m是内的任意一条直线m可作定理使用例1求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，243.直线和平面所成角1)斜线:

2)斜足:

3)斜线在平面内的射影:和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线斜线和平面相交的交点过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影.☆平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，

叫做直线和平面所成的角.规定:①若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90°②若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0°☆直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]αPlAO3.直线和平面所成角1)斜线:

2)斜足:

3)斜线在25直线和平面所成的角：1)2)3)是平面的一斜线与它在平面内的射影的夹角关键在于作线面垂直找射影直线和平面所成的角：1)2)3)是平面的一斜线与它在平面内的26例2.如图，在正方体中，求直线和平面所成的角。解：连接，与相交于点O，连接，设正方体的棱长为a.

又所以，直线和平面所成的角为为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角。在中，例2.如图，在正方体27达标检测A达标检测A28AA29AA30《直线与平面垂直》课件与同步练习31《直线与平面垂直》课件与同步练习32归纳小结1．直线与平面垂直的概念（1）利用定义；（2）利用判定定理．4．数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题3．直线与平面垂直的判定线线垂直线面垂直垂直于平面内任意一条直线2.线面角的概念及范围归纳小结1．直线与平面垂直的概念（1）利用定义；（2）利用判338.6.2直线与平面垂直《第1课时

直线与平面垂直的判定》同步练习8.6.2直线与平面垂直《第1课时直线与平面垂直的判341.直线与平面垂直的概念如果直线l与平面α内的

都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作

,直线l叫做平面α的

,平面α叫做直线l的

,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做

.任意一条直线l⊥α探究1:若直线a⊥平面α,直线b⊂α,则a与b互相垂直吗?答案:垂直.垂线垂面垂足知识清单1.直线与平面垂直的概念任意一条直线l⊥α探究1:若直线a⊥352.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的

都垂直,则该直线与此平面垂直⇒l⊥α两条相交直线a∩b=P2.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言一条直线36

373.直线与平面所成的角(1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面

,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做

,过斜线上

.的一点向平面引垂线PO,过垂足O和

的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的

,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是

;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是

的角,于是,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.垂直斜足斜足以外斜足A锐角直角0°3.直线与平面所成的角垂直斜足斜足以外斜足A锐角直角0°381.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是(

)A.①③ B.② C.②④ D.①②④2.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为(

)A.a∥b B.a⊥bC.a,b相交不垂直

D.a,b异面不垂直答案A答案B小试牛刀1.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的393.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(

)A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角的正弦值为

.

答案答案C3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(40题型分析举一反三例1

下列说法中正确的个数是(

)①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.A.1 B.2 C.3 D.4解析

由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B.题型分析举一反三例1下列说法中正确的个数41解题技巧(判定定理理解的注意事项)解题技巧(判定定理理解的注意事项)42【跟踪训练1】1、下列命题中,正确命题的序号是

.

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,那么l⊥α;②如果直线l与平面α内的两条直线垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直的直线;④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;⑤若a∥α,b⊥α,则a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,则b⊥α.【跟踪训练1】1、下列命题中,正确命题的序号是.

43解析

根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂直时,l⊥α,如果α内的无数条直线互相平行,l与α不一定垂直,故①不正确;根据直线与平面垂直的判定定理可知,如果平面α内的两条直线不相交时,l与α不一定垂直,故②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条互相平行的直线垂直,故③不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故④正确;⑤,⑥显然正确.答案

④⑤⑥解析根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂44例2在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证:PH⊥平面ABC.解析如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,又PH⊂平面AHP,所以PH⊥BC.同理可证PH⊥AB,又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.例2在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,45解题技巧(应用判定定理的注意事项)解题技巧(应用判定定理的注意事项)46【跟踪训练2】1、如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.【跟踪训练2】1、如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且S47证明:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE,在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC,且DE⊥AB.在△SAB中,因为SA=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.因为SD⊂平面SDE,所以AB⊥SD.在△SAC中,因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.因为SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D为斜边AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.而BD⊂平面ABC,所以SD⊥BD.因为SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.证明:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE,48《直线与平面垂直》课件与同步练习49解题技巧(求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤)解题技巧(求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤)501、已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为

.

答案

【跟踪训练3】1、已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面AB518.6.2直线与平面垂直

第2课时直线与平面垂直的性质第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直第八章立体几何初步52课程目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．课程目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问53数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.

数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，54自主预习，回答问题阅读课本153-155页，思考并完成以下问题1、垂直与同一条直线的两条直线有什么位置关系？2、与线面垂直有关的结论有哪些？3、怎样定义直线与平面的距离、平面与平面的距离？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。自主预习，回答问题阅读课本153-155页，思考并完成以下问551.直线和平面垂直的定义如何？

如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.一、复习引入αA1.直线和平面垂直的定义如何？如果一条直线和562.直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。图形表示符号表示关键：线不在多，相交则行.2.直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直57如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？AA1BCDB1C1D1观察平行如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，58O证明:假设b不平行于a,已知：a⊥α，

b⊥α

求证：a∥b．

如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α,b⊥α，则直线a,b有怎样的位置关系？思考

反证法O证明:假设b不平行于a,已知：a⊥α，

b⊥α求证：a59直线和平面垂直的性质定理：符号语言：图形语言：

垂直于同一个平面的两条直线平行.abα据上述分析，得到一个什么结论？作用：证线线平行直线和平面垂直的性质定理：符号语言：图形语言：垂直于60例1.如图，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等。证明：过直线上任意两点分别作平面的垂线，垂足分别为。设直线确定的平面为四边形是矩形。由是直线上任意的两点，可知直线上各点到平面的距离相等。例1.如图，直线平行于平面，求证：直线61一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例题可得，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离62例2.推导棱台的体积公式其中分别是棱台的上、下底面面积，是高。解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥。过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下交于点，则PO垂直于棱台的上底面。从而。设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为，高为，则于是例2.推导棱台的体积公式其中分别是棱台63所以棱台的体积由棱台的上下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且所以代入①，得①所以棱台的体积由棱台的上下底面平行，可以证明棱台的上、下底面64达标检测C达标检测C65《直线与平面垂直》课件与同步练习66小结1、直线和平面垂直的性质定理；2、一种证明直线和直线平行的方法:欲证线线平行，考虑证这两线与某一平面垂直。小结1、直线和平面垂直的性质定理；678.6.2直线与平面垂直《第2课时

直线与平面垂直的性质》同步练习8.6.2直线与平面垂直《第2课时直线与平面垂直的性质681、直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言垂直于同一个平面的两条直线_____⇒

.平行知识清单

1、直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言垂直于同69

702、距离(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离.2、距离71小试牛刀1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平面A1C1(l与棱不重合),则(

)A.B1B⊥l B.B1B∥lC.B1B与l异面

D.B1B与l相交小试牛刀1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平722.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列四个命题:①a∥b,a∥α⇒b∥α;②a⊥b,a⊥α⇒b∥α;③a∥α,β∥α⇒a∥β;④a⊥α,β⊥α⇒a∥β.其中不正确的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列733.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么(

)A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ3.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥74答案44.线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________.

答案44.线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为375题型分析举一反三例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证：（1）MN∥AD1;（2）M是AB的中点.题型分析举一反三例1如图所示,在正方体A76《直线与平面垂直》课件与同步练习77解题技巧(证明两条直线平行的常见方法)解题技巧(证明两条直线平行的常见方法)78【跟踪训练1】【跟踪训练1】79证明因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.又因为a⊥AB，AB∩EB=B，所以a⊥平面ABE.因为α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β.因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.又因为EA∩EB=E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.证明因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.80例2如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.例2如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是81

82解题技巧(空间中距离的转化)解题技巧(空间中距离的转化)83【跟踪训练2】1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点.(1)求证：AE⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱锥P-ACM的体积.【跟踪训练2】1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形AB84

858.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直第八章立体几何初步86课程目标1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．课程目标1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问87数学学科素养1．逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2．数学运算：求直线与平面所成角；3．直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.

数学学科素养1．逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的判定定理，88自主预习，回答问题阅读课本149-152页，思考并完成以下问题1、直线与平面垂直的意义是什么？2、直线与平面垂直的判定定理是什么？用符号语言怎样表示？3、什么是直线与平面所成角？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。自主预习，回答问题阅读课本149-152页，思考并完成以下问89空间中直线与平面有几种位置关系？aaaaa∥a∩＝AA复习回顾：空间中直线与平面有几种位置关系？aaaaa∥a90生活中有很多直线与平面垂直的实例生活中有很多直线与平面垂直的实例91ABAB92ABAB93ABAB94ABAB95ABAB96ABAB97ABABABAB98ABAB99CABABABABABAB请你给直线与平面垂直下个定义吧！

直线垂直于平面内的任意一条直线．C1B1CABABABABABAB请你给直线与平面垂直下个定义吧！100线面垂直P定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直。记作：线面垂直线线垂直平面的垂线直线的垂面垂足线面垂直P定义：如果直线与平面内的任101线面垂直的定义常这样使用简记：若线面垂直，则线线垂直l^a线面垂直的定义常这样使用简记：若线面垂直，则线线垂直l^a102P直线和平面垂直的画法:直线与平行四边形的一边垂直P直线和平面垂直的画法:直线与平行四边103思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将104如图，准备一块三角形的硬纸片，做一个试验：探究过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（与桌面接触）.

问题：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？如图，准备一块三角形的硬纸片，做一个试验：探究过105当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．当且仅当折痕AD是BC边上的高时，A106

线线垂直线面垂直nPm一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。线面垂直的判定定理符号语言线线垂直线面垂直nPm一条直线与一个平面内107问题1：和直线与平面垂直的定义相比，在证明直线和平面垂直方面，你觉得判定定理的优越性体现在哪里？问题2：你觉得定义与判定定理的共同特点是什么？线线垂直线面垂直无限有限线不在多，相交就行问题1：和直线与平面垂直的定义相比，在证明直线和平面垂直方面108例1求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：a//b，a求证:bab证明：设m是内的任意一条直线m可作定理使用例1求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，1093.直线和平面所成角1)斜线:

2)斜足:

3)斜线在平面内的射影:和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线斜线和平面相交的交点过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影.☆平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，

叫做直线和平面所成的角.规定:①若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90°②若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0°☆直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]αPlAO3.直线和平面所成角1)斜线:

2)斜足:

3)斜线在110直线和平面所成的角：1)2)3)是平面的一斜线与它在平面内的射影的夹角关键在于作线面垂直找射影直线和平面所成的角：1)2)3)是平面的一斜线与它在平面内的111例2.如图，在正方体中，求直线和平面所成的角。解：连接，与相交于点O，连接，设正方体的棱长为a.

又所以，直线和平面所成的角为为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角。在中，例2.如图，在正方体112达标检测A达标检测A113AA114AA115《直线与平面垂直》课件与同步练习116《直线与平面垂直》课件与同步练习117归纳小结1．直线与平面垂直的概念（1）利用定义；（2）利用判定定理．4．数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题3．直线与平面垂直的判定线线垂直线面垂直垂直于平面内任意一条直线2.线面角的概念及范围归纳小结1．直线与平面垂直的概念（1）利用定义；（2）利用判1188.6.2直线与平面垂直《第1课时

直线与平面垂直的判定》同步练习8.6.2直线与平面垂直《第1课时直线与平面垂直的判1191.直线与平面垂直的概念如果直线l与平面α内的

都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作

,直线l叫做平面α的

,平面α叫做直线l的

,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做

.任意一条直线l⊥α探究1:若直线a⊥平面α,直线b⊂α,则a与b互相垂直吗?答案:垂直.垂线垂面垂足知识清单1.直线与平面垂直的概念任意一条直线l⊥α探究1:若直线a⊥1202.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的

都垂直,则该直线与此平面垂直⇒l⊥α两条相交直线a∩b=P2.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言一条直线121

1223.直线与平面所成的角(1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面

,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做

,过斜线上

.的一点向平面引垂线PO,过垂足O和

的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的

,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是

;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是

的角,于是,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.垂直斜足斜足以外斜足A锐角直角0°3.直线与平面所成的角垂直斜足斜足以外斜足A锐角直角0°1231.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是(

)A.①③ B.② C.②④ D.①②④2.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为(

)A.a∥b B.a⊥bC.a,b相交不垂直

D.a,b异面不垂直答案A答案B小试牛刀1.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的1243.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(

)A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角的正弦值为

.

答案答案C3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(125题型分析举一反三例1

下列说法中正确的个数是(

)①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.A.1 B.2 C.3 D.4解析

由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B.题型分析举一反三例1下列说法中正确的个数126解题技巧(判定定理理解的注意事项)解题技巧(判定定理理解的注意事项)127【跟踪训练1】1、下列命题中,正确命题的序号是

.

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,那么l⊥α;②如果直线l与平面α内的两条直线垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直的直线;④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;⑤若a∥α,b⊥α,则a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,则b⊥α.【跟踪训练1】1、下列命题中,正确命题的序号是.

128解析

根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂直时,l⊥α,如果α内的无数条直线互相平行,l与α不一定垂直,故①不正确;根据直线与平面垂直的判定定理可知,如果平面α内的两条直线不相交时,l与α不一定垂直,故②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条互相平行的直线垂直,故③不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故④正确;⑤,⑥显然正确.答案

④⑤⑥解析根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂129例2在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证:PH⊥平面ABC.解析如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,又PH⊂平面AHP,所以PH⊥BC.同理可证PH⊥AB,又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.例2在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,130解题技巧(应用判定定理的注意事项)解题技巧(应用判定定理的注意事项)131【跟踪训练2】1、如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.【跟踪训练2】1、如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且S132证明:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE,在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC,且DE⊥AB.在△SAB中,因为SA=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.因为SD⊂平面SDE,所以AB⊥SD.在△SAC中,因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.因为SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D为斜边AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.而BD⊂平面ABC,所以SD⊥BD.因为SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.证明:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE,133《直线与平面垂直》课件与同步练习134解题技巧(求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤)解题技巧(求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤)1351、已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为

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答案

【跟踪训练3】1、已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面AB1368.6.2直线与平面垂直

第2课时直线与平面垂直的性质第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直第八章立体几何初步137课程目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．课程目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问138数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.

数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，139自主预习，回答问题阅读课本153-155页，思考并完成以下问题1、垂直与同一条直线的两条直线有什么位置关系？2、与线面垂直有关的结论有哪些？3、怎样定义直线与平面的距离、平面与平面的距离？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。自主预习，回答问题阅读课本153-155页，思考并完成以下问1401.直线和平面垂直的定义如何？

如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.一、复习引入αA1.直线和平面垂直的定义如何？如果一条直线和1412.直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。图形表示符号表示关键：线不在多，相交则行.2.直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直142如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？AA1BCDB1C1D1观察平行如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，143O证明:假设b不平行于a,已知：a⊥α，

b⊥α

求证：a∥b．

如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α,b⊥α，则直线a,b有怎样的位置关系？思考

反证法O证明:假设b不平行于a,已知：a⊥α，

b⊥α求证：a144直线和平面垂直的性质定理：符号语言：图形语言：

垂直于同一个平面的两条直线平行.abα据上述分析，得到一个什么结论？作用：证线线平行直线和平面垂直的性质定理：符号语言：图形语言：垂直于145例1.如图，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等。证明：过直线上任意两点分别作平面的垂线，垂足分别为。设直线确定的平面为四边形是矩形。由是直线上任意的两点，可知直线上各点到平面的距离相等。例1.如图，直线平行于平面，求证：直线146一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例题可得，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离147例2.推导棱台的体积公式其中分别是棱台的上、下底面面积，是高。解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥。过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下交于点，则PO垂直于棱台的上底面。从而。设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为，高为，则于是例2.推导棱台的体积公式其中分别是棱台148所以棱台