考研数学一公式手册大全(最新整理全面)

高等数学公式导数公式:(fgx)'=sec'x(ctgx\=-esc2x(secx)'=secx-tgx(escx)f=-escx-etgx(a)=axIna(bg“x)，=-^—xlna(arcsinx)'=/Jl-x~(arccosx)，=——/1Vl-x2(aretgx)=-~-1+厂,、，1(arcctgx)=--~-1+厂基本积分表：\tgxdx=-In|cosx|+Cfctgxdx=bi|sinx\fdxr2 > > ；—=secxdx=tgx-^-CJcos'xJjsecxdx=In|secx++C

jescxdx=In|cscx-etg^+C[-2-=[esc2xdx=-ctgx+CJsinx」Jsecx-tgxdx-secx+Cdx2 24+Xdx~22x-aJescx-ctgxdx--escx+C1,x-a——In2ax+a+Caxdx=———yC

Inashxdx—chx+Cdx~2 2a-xdx1,q+x-=In +C2aa-xclvcdx=shx4-Cyja2-x2.x--arcsin—+C

ardxy1x2±a2=ln(x+yjx2±a2)+Cjljln-2n2 2,a•X—x4 arcsin—I-C2ajsin〃xdx=jcos"xdx=0 0jylx2+a2dx=-1y/x2+a2+ln(x+y/x2+a2)+CJylx2-a2dx=-ylx2-a2-Inx4-Jyla2-x2dx=三角函数的有理式积分：.2w \—u2 x.2dusinx=7,cosx=〃=,dx--1+M2 1+w2 2 1+M2一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦：S/1X=W-e~x双曲余弦：向=1二2双曲正切:机1=在=《chxexarshx=ln(x+J『+1)archx=±ta(x-l-Vx2—1). 1.14-Xarthx=—In 21—x三角函数公式:•诱导公式：..sinx,lim =1XT°Xlim(1+与=e=2.718281828459045...XT8X角A\sincostgCtg-a-sinacosa-tga-ctga90°-acosasinactgatga90°+acosa-sina-ctga-tga180°-asina-cosa-tga-ctga180°+a-sina-cosatgactga270°-a-cosa-sinactgatga270°+a-cosasina-ctga-tga360°-a-sinacosa-tga-ctga360°+asinacosatgactga•和差角公式:••和差角公式:sin(a±/?)=sinacosp±cosasin0cos(a±/?)=cosacos夕干sinasinpfg(a±£)=产主吗X+tgatgfi,g(a士少:胆迎王1ctg/3±ctgasin。+sin/?=2sina+£ct—B -cos -sin(7-sin0=2cosa+B.a-B sin cosa+cos夕=2cos2 2a+0cc-B -cos -cosa-cosp=2sina+£.ci—B -sin -.asin—=21-coscrsinasina 1+.asin—=21-coscrsinasina 1+cosa•正弦定理：-r—= =2RsinAsinBsinCacos—=2a /l+cosal+cosasinactg—=±J = = 2V1-cosasina1-cosa•余弦定理：c2=a2-\-h~-2abcosCsin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-l=l-2sin2a=cos2a-sin2actg2a-\ctgla=- 2ctga/0 2tgatg2a=T-tgrsin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos'a-3cosa3tga-tg3atg3a=- ?—l-3tg~a•半角公式:冗arctgx=—冗arctgx=——arcctgx•反三角函数性质：arcsinx= arccosx2高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：而产二A=0=/%+ T，+"5T）"5-2、"+…+.〃（〃二1）二（"k /一）严+-+/"）2! 我!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：— =f'^Xb-a）柯西中值定理:F®二1（。）=/垃F（b）-F（a）当F（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds=Jl+y"dr,其中了=tga平均曲率次=包公。:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。AvM点的曲率：K=lim-=—=-^ .瓜叫MdsJ（l+y，2）3直线：K=0;半径为a的圆：K=~.a定积分的近似计算:b-a矩形法：J/(尤+弘+…+y“_i)梯形法:J/(x)« +%)+，+•••+yn-J抛物线法:j，(x)a yo+笫)+2(%+乂+…+尤-2)+4(%+%+…+”T)]a定积分应用相关公式:功：W=Fs水压力：F=p-A引力：尸=攵警,女为引力系数函数的平均值：y= ff(x)dxb-a.俨3dt俨3dt均方根:空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d=\M}M2\=yl(x2-xj2+(y2-y,)2+(z2-zj2向量在轴上的投影:Pr。丽=|祠＜050,谡荏与〃轴的夹角。Prju(q+a2)=Prja}+Prja2。石=同咽005。=0也+a饱+a也,是一个数量,两向量之间的夹角:cos8= 。也+。也+生.Jd+%2+—5+…Jijkc=axb-axay凡,同=同卡卜达。例：线速度：v=wxr.么及b:a,aya:向量的混合积:［而司=3x5)1=aby仇斗同cosa,a为锐角时,CxCycz代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式：A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中万={人民。},“。"。,外,%。)2、一■般方程：Ax+By>+Cz+D=03、截距世方程」+2+三=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=E+8yo+Czo+"7a2+b2+c2x=x04-mt空间直线的方程:上玉="正=/力=/，其中8={m,〃,p};参数方程:y=y0+〃fmnpz=z0+pt二次曲面：1、椭球面:冬+2+―=1aocr2v22、抛物面—+--=z,(p,q同号)2p2q3、双曲面：2 2 2单叶双曲面:—7+ -—7=1a2b2c22 2 2双叶双曲面：—^-鼻+彳=1(马鞍面)a2b2c2多元函数微分法及应用人如八 ,dz.dz. .du,du.du.全微分：dz=or+—ay du=—dx+—4y+—dzdxdy dxdydz全微分的近似计算：Azedz=f、(x,y)Ax+/v(x,y)Ay多元复合函数的求导法：「「/、/、、 dzdzdudzdvz=/[u(Z),v(Z)] —=—•—+—atduotovot，「/ 、/ &dzdudzdvz=/[»(x,y),v(x,y)] —=-,—+oxoudxdvdx当〃=m(x,y),v=v(x,y)时,,du.du. .dv.dv.du=—ar+—dy dv--dx-\--aydxdy dxdy隐函数的求导公式：隐函数尸(x,y)=O,dy_8一，也=乙.区N2 \ )'/F”dydxFwdx~ox F、dyF.dx， ydz F 3z F隐函数F(x,y,z)=O,g=-短，色=一」dx F, dy Fz隐函数方程组:0d(u,v)"一投丝avd(F,G) 史___L『EG)Jd(x,v) dxJd(u,x)S'X7a(,S'X7a(,微分法在几何上的应用：[x=叭t)空间曲线y=材⑴在点M(x。,y0,z。)处的切线方程:等=上/=2m,*、 尹伉)▼J)(o(tQ)[z=co(t)在点M处的法平面方程：(p\t0)(x-x0)+承0。)(>-九)+。'&)(z-z0)=0F(xvz1=() F FF FFF若空间曲线方程为:二°,则切向量T={「J,J/,//)G(x,y,z)=0 GyG.GzGxGxGy曲面尸(x,y,z)=0上一点M(X。,%,z°),则:1、过此点的法向量：n={Ft(x0,y0,z0),F),(x0,y0,z0),F2(x0,y0,z0))2、过此点的切平面方程：Ft(xo,yo,zo)(x-xo)+Fv(xo,yo,zo)(y-yo)+F::(xo,yo,zo)(z-zo)=03、过此点的法线方程:一匕受一=_匕％_=一口一4(%，%，Z。)鸟.(%,%*0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：函数z=/(x,y)在一点p(x,y)沿任一-方向/的方向导数为:更=更8$9+更sin夕oloxdy其中夕为X轴到方向/的转角。函数z=/(x,y)在一点p(x,y)的梯度：grad/(x,v)=—T+—Jdxdy它与方向导数的关系是:笠=grad其中0=cos0i+sin夕・],为厂方向上的ol单位向量。•••%是grad/(x,y)在/上的投影。dl多元函数的极值及其求法：

设/（/，%）=/、.（/，处）=°，令：九（/，％）=A4（*0，处）=8,fyy（x0,y0）=C卜3〉。叱九篇黑贝iJ：，AC-B2<（M， 无极值AC-B2=OHt 不确定重积分及其应用:||f(x,y)dxdy=JJ/(rcos。/sinO)rdrdOiy曲面z=曲面z=f(x,y)的面积A="DdxdyJJxp{x,y)dcr平面薄片的重心：M? JJxp{x,y)dcr平面薄片的重心：M? ,Mjjp(x,y)daDm1Jyp(x，y)dby_dMjjp(x,y)daD平面薄片的转动惯量：对于x轴/<="）"/?（尤,y）dcr, 对于）轴/v=JJx2P（x,y）dcr平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a>0）的引力：F={Fx,Fy,F.},其中:工=川工=川pa，y）M\D，+V+02）5柱面坐标和球面坐标：F=/jjp(x,y)ydad(x2+y2+a2y工=_前收)叱°(x2+y2+a2yxx=rcos0

柱面坐标:<y=rsin。,

z=zjjj/(x,y,z)dxdydz=JjjF(r,9,z)rdrdOdz,Cl其中：尸(r,6,z)=/(rcos0,rsin0,z)x=rsin(pcos0球面坐标，y=rsinesin0,dv=rd(p,rsin(pdffdr=r2sin(pdrd(pdOz=rcos(p2“ *r((pe)1JJ/(m乂2)比4,收=JJJF{r,(p.0)r2sin(pdrd(pcl0=^dO^dcpjF{r.(p,0)r2sin(pdr重心：元=/胆"匕尸春川'即也彳其中9lVic LV1n lVic c转动惯量：/,=J]J(y2+z2)pdv,Iy=JJJ(X2+z2)pdv,Iz=Jjj(x2+y2)pdvQ Q Q曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：L的参数方程为:L的参数方程为:X=(p(t)y，。)'(aWT〃),则:特殊情况Jx=t[y特殊情况Jx=t[y=0(r)格林公式:当P=_y,Q=X,jf(x,y)ds=jf[(p(t),HDlJo"⑺+/2⑺力(a</3)L a第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为产叫则：』="(/)PjP(尤,y)dx+Q(x,y)dy=J{P［。⑺，材")］。'«)+。必f),“«)•'«)}力L a两类曲线积分之间的关系:JPdx+Qdy=j(Pcosa+2cos^)ds,其中。和夕分别为L LLh积分起止点处切向量的方向角。--)dxdy={.公+3>，格林公式：[(^^_名心力=,Pdx+Qdydy'* dxdy'\即—=2时,得到。的面积：A=jjdxdy=~Jxdy-ydxox3y [) 2人・平面上曲线积分与路径无关的条件:1、G是一个单连通区域；2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且险=丝。注意奇点，如(0,0),应oxdy减去对此奇点的积分，注意方向相反！・二元函数的全微分求积：在也=理时，RZr+Qdy才是二元函数"(x,y)的全微分，其中：dxoy(x,y)”(x,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设/=%=0。(%,九)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds=jjf[x,y,z(x,y)中+z；(x,y)+z；(x,y)dxdyI %对坐标的曲面积分:JjP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dx(fy其中:jjR(x,y,z)dxdy=±jjR[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号；z %JjP(x,y,z)dydz=土JJP[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号；E %jj0(x,y,z)dzdx=±1JQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。工 /两类曲面积分之间的关系:JjPdydz4-Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+(2cos0+Rcosy)ds高斯公式:jjj(皆+ +警)du=灯Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=百(尸cosa+Qcos/3+Rcosy)ds高斯公式的物理意义——通量与散度：若divD<0,则为消失..散度：出“=翁詈+去即.•单位体积内所产超流体质量,通量:JjN,nds=JjAnds若divD<0,则为消失..因此，高斯公式又可写成:用divAdv=目Andsn 工)dxdy=1)dxdy=1Pdx+Qdy+Rdzrr.37?dQ、」,,dPdR.,,而一在）叱+（法-在）拉+上式左端又可.写成上式左端又可.写成：JJ1A-Jd&RA8。dcosacos£cos/

2gg

dxdydzPQR空间曲线积分与路径无关的条件:更=望，—,也二dydzdzdxdxijk旋度：rotA=———dxdydzPQR向量场,沿有向闭曲线「的环流量^Pdx+Qdy+Rdz=^A-tdsr r常数项级数：等比数歹U：l+q+/+…+l-g等差数列：1+2+3+…+”=9山2调和级数:1+,+!+…+'是发散的23n级数审敛法：1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)：0<1时，级数收敛设：/?=lim 贝小夕>1时，级数发散0=1时，不确定2、比值审敛法：忸<1时，级数收敛设：0=礴4巴，则时，级数发散/I—>00TJ" [P=1时，不确定3、定义法：5“=%+“2+,”+“”；&05"存在，则收敛；否则发散。交错级数%-“2+〃3-v4+…(或-必1+“2-m3+…>。)的审敛法 莱布尼兹定理:u„>UnJ_.如果交错级数满足益":那么级数收敛且其和SW%,其余项乙,的绝对值匕区―、“―>8 〃绝对收敛与条件收敛：⑴〃]+“2+…+〃"+…，其中〃〃为任意实数；(2)同+同+同+…+同+…如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。调和级数:发散，而收敛;n n级数:收敛；

乙”2加特中1/pwi时发散.,工M]p〉l时收敛哥级数:2 3 /国<1时，收敛于二一1+X4-X~4-X+,,,+X，r4-••,( 1-X\国？1时，发散对于级数(3)即+41工+%/+…+%x"+…，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全/W<R时收敛数轴上都收敛，则必存在R,使时发散，其中R称为收敛半径。=R时不定P0时，/?=—求收敛半径的方法：设勒""|=「，其中。“，。”+|是(3)的系数，则(0=0时，7?=+oo1"1 \0=+8时，/?=0函数展开成嘉级数：TOC\o"1-5"\h\z函数展开成泰勒级数：f(x)=f(xQXx-x0)+^^(x-xQ)2+---+^^(x-x(>y+---2! 〃！F(〃+l)/tr\余项：Rn=J一里(尤-x0)"MJ(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn=05+1)! ―x0=on寸即为麦克劳林公式：y(x)=/(o)+/w+^^a：2+--.+^^z+•••2! 〃！一些函数展开成幕级数：八,m(m-l)2 zn(w-l)---(w-n+l)„(1+x)=l+/nx+- -x+•••+- - -X+■■2! "!V-3 5 2"Tsinx=x F F(-l)"- +•••(-oo<x<+oo)3! 5! (2n-l)!cosx=或cosx=或<sinx=e'x=cosx+zsinxx+Zx+Z(a”cosnx+bnsinnx)”=i/⑴=A+£Asin("训+<pn)=~n=l 乙其中，4=砒)，an=4sM(p〃，bn=Ancos(p,〃cot=Xo正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x---sinnx,cos/zx…任意两个不同项的乘积在[-巩4]上的积分=0。傅立叶级数:

周期=24aR/(x)=—+周期=24aR/(x)=—+Z(Q〃cos依+b”sinnx\2〃=]111乃2八111

kh初+…=司＞+铲—不乃2=±(相加)6万2='(相减)122正弦级数:an=0»bn=—\/(x)sinnxdx叫余弦级数：bn=0,an=—jf(x)cosivcdx

71on=1,2,3,-,/(x)=＞也,sin/u是奇函数〃=0,l,2…/(x)=?+Za〃cosnr是偶函数周期为21的周期函数的傅立叶级数:，(幻=§+£(4cos竿+2sin竿)，周期=2/2〃=1I Ian=-^f(x)cos^^-dx(〃=0,1,2…)其中；'£>n=-j/(x)sin^^-dx (n=1,2,3,-,).JI微分方程的相关概念：一阶微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=O可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)ify=/(尤)dr的形式，解法：[g(y)"y=J/(x)公 得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成@=/(x,y)=0(尤,y),即写成上的函数，解法：ax x设〃=2,贝ij包=〃+x半，“+包=虫〃),,如=*—分离变量，积分后将上代替〃,xaxaxdx x(p(u)-u x即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程:9+P(x)y=Q(x)dx/当Q(x)=OI叱为齐次方程，y=Ce-"""、当Q(x)wO口寸，为非齐次方程，y=(jQ(x)JP(x)dxdx+C)e~^PMdx2、贝努力方程:包+P(x)y=Q(x)y",(nH0,1)dx全微分方程：如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程,即：du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:丁=P(x,y),—=Q(无,y)ox oy“(x,y)=。应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：d2ym、dyc,、_〃、//(x)三弼•为齐次-7r+P(x)7+Q(x)y=/(x),( 、八日泊在支力dxdx \/(x)#0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y"+py'+qy=0,其中p,q为常数;求解步骤：1、写出特征方程：(△)/+/+夕=0,其中r的系数及常数项恰好是(*)式中的系数;2、求出(△)式的两个根小々3、根据耳弓的不同情况，按下表写出(*)式的通解:中「2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p、4夕＞0)y=qe*+c2e'A两个相等实根(p2-4g=0)y=(q+c2x)er,x•对共枕复根(p?-4”0)八=a+i。,r2=a-i/3a=-L”如"2 2y=*(GcosySv+c2sinfix)二阶常系数非齐次线性微分方程/+py'+qy=f(x),p,q为常数f(x)=",(x)型,4为常数;，(尤)=e"[6(x)cos5+E,(x)sin①x]型概率论与数理统计.随机事件及其概率AuC=Q AcQ=A吸收律：Au0=A An0=0Au(AB)=AAn(AuB)=AA-B=AB=A-(AB)反演律：AuB=AB AB=A<jBUA=h^nA=UAi=li=l i=li=l.概率的定义及其计算P(Z)=1-P(A)若Au8=>P(B-A)=P(B)-P(A)对任意两个事件4B,有P(B-A)=P(B)-P(AB)加法公式：对任意两个事件4B,有P(Au8)=/⑷+P(B)_PiAB)

p(C|A)=£p(A)-Zp(AAj)+沙(444)+…+(T)"Tp(A4-4)i=1 Z=l l£i<j" l$i〈j〈k£n3.条件概率P（B\A）=P(A6)

尸⑷乘法公式P(AB)=P(A)P(81A)(P(A)>0)全概率公式尸(A4…4)=p(4)p(&|a).-p(aJA&…町)(P(AiA2---A„_1)>0)全概率公式P(A)=£p(A8,)=%P(即)(小即i=l i=lBayes公式尸闻A)=理出=P(♦)P(A®P(A)£p(bjp(a|即/=1.随机变量及其分布分布函数计算P(a<X<b)=P(X<b)-P(X<a)=F(b)-F(a).离散型随机变量(1)0-1分布P(X=k)=p“l-p)T,左=oi⑵二项分布8(n,p)若。(力)=PP(X=6=C：p*(1—p)"-",上=0,1,…，“*Possion定理limrip”=2>0〃一>8有ftnC：p：(l-pJ-*=eWri"f8 左！k=0,1,2,…

(3)Poisson分布P(4)P(X=k)=e-A^,攵=0,1,2,…6.连续型随机变量(1) 均匀分布U(a,b) ,a<x<bb-a0,其他F(x)=<x—ab-a⑵指数分布£(2)x>0其他x>0其他x<0x>0(3)正态分布“(〃，(72)I_(A,?f(x)=.———e 2， -oo<x<+00后(y*N(0,1)—标准正态分布—00<X<—00<X<4-00①(x)=——e2由-oo<x<+ooJ2万J-r.多维随机变量及其分布二维随机变量(>,了)的分布函数F(x,y)=「「f(u,v)dvduJ—coJ-CO边缘分布函数与边缘密度函数

p.vp+xFx(x)=JJf(u,v)dvduJ»4-00f(x,v)dv一»ryk4(y)=f(u、v)dudvJ-00J—co4(y)=JJ”,y)du.连续型二维随机变量(1)区域G上的均匀分布，〃(G)f(X,y)= ]，(X，”G0,其他■MX2129.二维随机变量的条件分布■MX2129.二维随机变量的条件分布/*,y)= ,2兀0\/#-p~—oo<x<+oc,—oo<y<4-oc/(x,y)=/x(x)4x(y|x)AW>°=fy(y)fx\Y^y)A(y)>ofx(%)=["(x,y)"y=匚加(中)人(y)力4(y)=["(x,y)dx=匚和(冰)人(x)办及八小)f(x,y)

A(y)/a,y)

fxM/y|x(y|x)/x(x)

/r(y)■4|y(Hy)4(y)

fx(x)10.随机变量的数字特征数学期望4-X>£(x)=Zx*p*k=\xf(x)dx—oo随机变量函数的数学期望

X的《阶原点矩E（X'）才的衣阶绝对原点矩£（|X-）X的左阶中心矩E（（X—E（X））«）%的方差E（（X-E（X））2）=O（X）乃，？的4//阶混合原点矩E（x*y'）才，？的才+/阶混合中心矩E（（x_E（x））«（y_E（y）），）才，y的二阶混合原点矩E（XY）/,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差E（（x-E（x））（y-E（y）））的相关系数J（x-E（x））（c-E（y））][Vw）Vw））PxYX的方差D（X）=£（CT-6（心）2）D（X）=E（X2）-E2（X）协方差cov（x,y）=E（（x-E（x））（r-E（y）））=£（xr）-E（x）E（r）=±|（D（x±y）-o（x）-D（r））相关系数Pxy相关系数Pxy=cov（x,y）Jd（xNd（y）简单整理了一下，中心极限定理及数理统计部分多概念少公式故未详细列出线性代数行列式"行列式共有/个元素，展开后有”!项，可分解为2”行列式；代数余子式的性质：①、%和%的大小无关;②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为Ml：代数余子式和余子式的关系：Mg设n行列式D：将。上、下翻转或左右翻转，所得行列式为〃，则4=（-1）2o；n（n-l）将。顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为匕，则2=（-i）2。；将。主对角线翻转后（转置），所得行列式为则4=0；将。主副角线翻转后，所得行列式为。4，则&=。；行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；"（"二。②、副对角行列式：副对角元素的乘积x（-l）2;③、上、下三角行列式（|^|=|k|）：主对角元素的乘积；ntn1»④、|，|和|/|:副对角元素的乘积x（-l）亍；AnAC CAOA⑤、拉普拉斯展开式：rR=；=刈网、〃 =（-1产-同忸|C£>UH 15UifU⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；对于"阶行列式|川，恒有：|花-4|=心+力（-及5""",其中凡为无阶主子式；*=|证明M=0的方法：①、|a|=-|a|；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解；④、利用秩，证明r（A）<";⑤、证明0是其特征值；矩阵4是”阶可逆矩阵：<=>|a|*o（是非奇异矩阵）；0r（4）="（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关：

。齐次方程组Ax=0有非零解;oWbeR",Ar=8总有唯一-解；。4与E等价；oA可表示成若干个初等矩阵的乘积；。A的特征值全不为0；oA7是正定矩阵；oA的行（列）向量组是K"的一组基;oA是R"中某两组基的过渡矩阵；对于”阶矩阵A：AA'=A'A=\A\E无条件恒成立:(解)*=(4*尸 (A')r=(Ar)-' (A*)『=(A『)*(AB)-'=B'A'(AB)t=BtAt (AB)'=B'A'矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;(AB)-'=B'A'TOC\o"1-5"\h\z关于分块矩阵的重要结论，其中均4、8可逆：'A 、若4= 4. ,贝U：I、|小=|阕|阈…⑷:N 、II>A-'= ;、 4六②、0°b\^o哥住对角分块）③、）=【:，打（副对角分块）G（ACY'（A-'-4七3-、/八+小心④、八c= .;（拉普拉斯）1^0B） B'J⑤、OL-b\（拉普拉斯）矩阵的初等变换与线性方程组-个mx〃矩阵4,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F=E,O

00mxn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵4、B,若r(A)=r(8)oA〜B；行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非。元素所在列的其他元素必须为0;初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)若(A,E)二(E,X),则4可逆，且X=4"；②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，8就变成A'b,BP: ;③、求解线形方程组：对于“个未知数"个方程Ax=6,如果(4⑼二(E,x),则A可逆，且x=A»；初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；‘4 、②、A=4. ，左乘矩阵4,4乘4的各行元素；右乘，4乘A的各列元素；’1③、对调两行或两列，符号且EG,/)-=E(i,j),例如：1XP④、倍乘某行或某列，符号E(i(A)),且E(i(A))-'=E(id)),例如：k⑤、倍加某行或某列,符号E⑷(A)),且E(讥外尸=E(讥-A)),如：\矩阵秩的基本性质：①、04rdl,)4min(,".")：②、r(Ar)=r(A);③、若A〜8,则r(A)=r(5)；④、若P、。可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、max(r(A),r(B))<r(A,B)<r(A)+r(B)；(X)⑥、r(A+B)<r(A)+r(B)；(X)

⑦、r(AB)<min(r(A),r(B))；(X)⑧、如果4是mx”矩阵，8是nxs矩阵，且AB=O,则：(X)I、8的列向量全部是齐次方程组AX=O解(转置运算后的结论);II、r(A)+r(B)<n⑨、若4、8均为“阶方阵，贝IJr(AB)2r(A)+r(8)-〃；三种特殊矩阵的方毒：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用结合律；’1ac、②、型如01b的矩阵：利用二项展开式：、。0二项展开式：(a+b)n=C；a"+C“a"。C*a"-mbm+---+C^ab"-+C；*h= ;m=0注：I、(a+b)"展开后有n+1项；n、C'"=〃("T)……(〃-m+l)=n!r«=r，=1C："m=C；+CC："m=C；+C， fc=2" rC：=〃C：，r=OIII、组合的性质：c：=c="③、利用特征值和相似对■角化：r(A)=nr(A)=n-1r(A)=nr(A)=n-1：r(A)<n-l①、伴随矩阵的秩：r(A*)=10②、伴随矩阵的特征值：耳(AX=2X,A*=|A|AT=A*X=，X)；关于4矩阵秩的描述：①、r(A)=n,A中有〃阶子式不为0,〃+1阶子式全部为0；(两句话)②、r(A)<n,A中有〃阶子式全部为0；③、r(A)>n,A中有〃阶子式不为0；线性方程组：Ax=b,其中▲为mx”矩阵，则:

①、〃，与方程的个数相同，即方程组Ax=8有"，个方程；②、”与方程组得未知数个数相同，方程组Ar=。为“元方程；线性方程组Ax=6的求解：①、对增广矩阵8进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；山“个未知数个方程的方程组构成n元线性方程:a2lX\+，2电+…+电〃/=b2am^+^^l+---+anmX^bn②、2mb.<=>②、2mb.<=>Ax=b（向量方程，A为〃ix〃矩阵，加个方程,"个未知数）aam2am.③、③、（4）=/3（全部按列分块，其中£=④、。内+/与+…=£（线性表出）⑤、有解的充要条件：r（A）=r（A4）&〃（〃为未知数的个数或维数）向量组的线性相关性m个〃维列向量所组成的向量组A：。［.，…，4构成小而矩阵4=（%,%，…，4）；'£、，"个"维行向量所组成的向量组3：尸.屋，…,凡构成，八"矩阵5=P\;事…含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；①、向量组的线性相关、无关=Ax=O有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示 oAX=B是否有解；（矩阵方程）例14)矩阵4.”与修,.行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组4*=0和防=0同解；例14)r(ATA)=r(A)；(Pw例15)维向量线性相关的几何意义:①、a线性相关 <=>a=0；②、a,。线性相关 。a/坐标成比例或共线（平行）;③、a/,y线性相关 oa/,y共面；线性相关与无关的两套定理：若囚.4,…,a,线性相关，则即知…,a,,a.”必线性相关：若名,%,…,a,线性无关，则4,a?,…,a,必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上”-r个分量，构成“维向量组B：若A线性无关，则8也线性无关；反之若3线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组4（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且4线性无关，则r4s（二版招&定理7）；向量组A能由向量组8线性表示，则r（A）4r（8）；（/定理3）向量组4能由向量组B线性表示<=>AX=3有解；or（A）=r（A,8）（%定理2）向量组A能由向量组5等价or（A）=r（3）=r（A5）（15定理2推论）方阵A可逆O存在有限个初等矩阵耳了,…出,使A=4舄…=；①、矩阵行等价：A:8oPA=8（左乘，P可逆）<=>Ar=O与8x=0同解②、矩阵列等价：A~B<^>AQ=B（右乘，Q可逆）；③、矩阵等价：A~B^PAQ=B（P、。可逆）；对于矩阵41nli“与名,”：①、若A与8行等价，则A与5的行秩相等；②、若A与8行等价，则Ax=0与8x=0同解，且A与5的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵4的行秩等于列秩；若4"%,=J“，则：①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，8为系数矩阵；②、C的行向量组能由8的行向量组线性表示，*为系数矩阵：（转置）齐次方程组取=0的解一定是ARr=O的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、A5x=0只有零解=>5x=0只有零解：②、Bx=O有非零解=>A8x=0一定存在非零解；设向量组B”,：“也,…也可由向量组4” …,巴线性表示为:(4io题19结论)他也，…也)=(4，。2,…,4)K(B=AK)其中K为sxr,且A线性无关，则8组线性无关。r(K)=r；(8与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性：•.•r=r(5)=r(AK)4r(K),r(K)4r,.-.r(K)=r；充分性：反证法)注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用；①、对矩阵4.“，存在Q“*”，AQ=Emor(A)=m、。的列向量线性无关；(4)②、对矩阵存在已由，PA=E„or(A)="、P的行向量线性无关；4,a?,…,多线性相关=存在一组不全为0的数片,七,…,人,使得4乌+4.+…+幺4=0成立：(定义)丁、<=>(a],a2,---,as)三=0有非零解，即4r=0有非零解；、%><=>r(a],a2,--,ai)<s,系数矩阵的秩小于未知数的个数；设mx”的矩阵A的秩为r,则”元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为：r(S)=n-r；若〃'为Ax=b的•个解，，为Ax=0的•个基础解系，则〃…，a一线性无关；(《||题33结论)相似矩阵和二次型正交矩阵=Al=E或(定义)，性质：①、4的列向量都是单位向量，且两两正交，即\，(i,j=1,2,…”)；[0 J*J②、若A为正交矩阵，则A'=A『也为正交阵，且阳=±1；③、若A、8正交阵，则也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；施密特正交化：(q.4=6；b=a.生回中一皿曲一一改应功瓦外'屹也J2 曲…如］I对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；①、4与8等价oA经过初等变换得到5；«PAQ=B,尸、Q可逆：<=>r(A)=r(B),A>8同型；②、4与B合同^>CtAC=B,其中可逆；oX1Ax与x'Bx有相同的正、负惯性指数：③、4与8相似<=>P'AP=B;相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则C「AC=B=>A~5,(合同、相似的约束条件不同，相似的更严格)；A为对称阵，则A为二次型矩阵；"元二次型//U•为正定：O4的正惯性指数为“；与E合同，即存在可逆矩阵C,使C『AC=E；=A的所有特征值均为正数；=A的各阶顺序主子式均大于0；=>a..>0,|A|>0；(必要条件)全国考研教学一小式手姆初等数学常用公式乘法公式与二项式定理(a+b)2=a?+2ab+〃;(Q—人/=/-2ab+b?(a+〃)3=a34-3a2h+3ah2+hy;(a-b)3=/-3a?b+3ab?-hy(a+»〃=C：%〃+C1b+C；tan-2b2+…+C^an-kbk+C^abn-}+C：b〃(q+〃+c)(q2+力2+c2-ab-ac-bc)=a3+/?'+/- ；(a+Z?-c)2=a2+Z?2+c2+lab-lac-2bc二、因式分解a2=(a+/?)(〃-〃)/ =(a+b*/-ab+b?);/-3=(a-/?)(tz2+a/?+/?2)；an-b,l=(a-3(4+a^b+…+*)三、分式裂项x（x+1）X三、分式裂项x（x+1）Xx+1(2)(x+a)(x+b)h—ax+ax+b■)(1)。(1)。〃=-。。）a(2)a°=l(arl)(3)an=\lci"'(a>0)(4)aman=a,n+n(5)am^an=am-n(6)(am)n=amn(7)（分=。田）aa(8)(ah)"=a"b"(9)\J'a^=p|五、对数运算(1)a啥=N(2)log："=〃log：（3）log：」k）g：n(4)log：=1⑸log：=。(6)log，'=log：+log：(7)Mlog：=log：-log：、«1(8)log”=——bg；(9)lga=log；o,lna=log：六、排列组合(1)/f=〃(〃-1)…[〃—(加-1)]=―--(约定0!=1)(72-/77)!(2)C'J__(3)C；=C：-mmi —(4)C+c：t=g⑸c：+c：+C：+…+C：=2"四、指数运算常见函数的图像：分数指数惠与根式的性质：a"= (a>O,m,〃eN*,且〃>1).-巴1 1an=——=,—(a>O,m,及wN*,且〃>1).巴nlma〃 7a(3)(标)"=a.(4)当”为奇数时，折=a；当〃为偶数时，=\a\=\a，a~G.[—a,a<0指数式与对数式的互化式：log4N=b=a'=n(a>0,awl,N>0).指数性质：(1)1、: (2)、a0=1(a#0) :(3)、(4),ar-as=ar+s(a>O,r,seQ)； ⑸、a"=\[cF；指数函数：(1)、y=a*(a>l)在定义域内是单调递增函数；(2)、y=/(0<a<l)在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点皿Q对数性质：M⑴、log(,M+log((N=\og(i(MN)；(2)、logaM-loguN=logu—；n(3)、log"b"'=%log46；(4),logbn=—■loguh； (5)、log((1=0m⑹、log(ia=1 ； (7),a'o,sfc=h对数函数：(1)、y=logux(a>1)在定义域内是单调递增函数；(2)、y=log〃x(0<a<l)在定义域内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点S_QL(3)、 1ogx>tt=>ajce(喊11xe,+(((4)、log“x<Ooae(0,1)贝ke(l,+oo)或ae(1,+oo)51ijxe(0,1)logN对数的换底公式:loguN=--—(a>0,且a4l,6>0,且帆片1,N>0).

log,”a对数恒等式：d°g/=N(。>0,且QH1,N>0).推论log,„h"=—\ogab(a>0,fifz^l,N>0).atn对数的四则运算法则:若a>0,a=#l,M>0,N>0,则M⑴log.(MN)=log“M+log“N; (2)log„—=log(,M-log„N;log(