百师联盟2021届高三冲刺卷（三）新高考卷数学试题【含答案】

百师联盟2021届高三冲刺卷（三）新高考卷数学试卷注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上..回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效..结束后，将本试卷和答题卡一并交回.时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合4={x|—lvx<2},4=»|y= £4},则()A.(-1,2]C.(-1,4)D.02.角a和夕满足sin（a+夕）=2sin（a-夕）,则tan('+a)tan£=()111D.3A.——B.——C.一3233.已知直线/,a,b,平面a,夕，贝U_La的一个充分条件可以是（）A.qua,bua,a±/>bLID.alia,ILa4.已知。>0,b>0,Ra+2h=3ah,则。人的最小值为（）88-9B.5.在新高考改革中，某校在一次高三模拟中使用赋分制对学生的化学成绩（满分100分）进行赋分，按照分数从高到低相应等级和所占人数比例分别为：/等级（7%）,8等级（33%）,C等级（40%）,。等级（15%）,E等级（5%）.现从全年级随机抽取了200名学生的化学原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，下列说法中正确的是（）0.0150.0100.005o'io5060708090100A.图中。值为0.035B.该200名学生中，一定有45%的学生化学原始分数在75分数分及以上C.根据样本分析，估计化学原始成绩77分可以在8等级处赋分D.采用分层抽样的方法从原始成绩在[40,50)和[50,60)共抽取10人，则需从[50,60)中抽取8人.英国数学家贝叶斯(1701-1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件4,B,A(Z的对立事件)存在如下关系：P(B)=P(B\A)-P(A)+P[B 若某地区一种疾病的患病率是0.02,现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性：该试剂的误报率为5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为A.0.0688 B.0.0198 C.0.049 D.0.05X2V2 .点/在双曲线E:土y—J=l(a>0,6>0)上，点片、入分别为双曲线E的左右焦点，且耳小52=0,ZAOFX=120°,则该双曲线的离心率为()B.1+5/3C.B.1+5/3.函数/(x)=#cos3x-sin3x+l(o>0)在内存在最小值但无最大值，则口的范围是()(5111 (5J sci 1TA.匕，司| B.[-,4j C.[0,2] 口.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分..复数z=a+6i满足』=l+i,则下列说法正确的是()A.在复平面内点(a,6)落在第四象限

/2 1C.|zl=— D.复数z的虚部为一一1 2 210.在A48。中，点D、E、尸分别是边AB、8c和ZC的中点，则()A.2DF=BC B.CD=2(CE+CF)C.CD(CB-CA)=0 D.屈屈=4加一定.直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)48。-44Gq的底面为长方形，AD=\,AB=6441=2,点尸在线段。4上，并满足印=f函，其中/为实数(0</<1),点〃在线段。。上，并满足加=/丽，异面直线。P与/1/所成角为6,则cose的取值可能是()A.01B.A.01B.—3C.一D..定义在R上的函数/(x)的导函数为了'(X),当xe(O,2)时，/'(x)〈号，函数g(x)=/g。满足:g(x+l)为奇函数，且对于定义域内的所有实数x,都有g(4-x)=g(x).则OA.g(x)是周期为4的函数 B.g(x)为偶函数C.gf-y^|>g(2021)>g(e) D.g(x)的值域为[—1,1]三、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.已知|叫=百，|K|=1,且1+23与五垂直，则彳与B的夹角为.14数列也｝为等比数列，/>(),公比为“，且满足4，2%+4，%成等差数列，则4=..探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面(其纵断面是抛物线的一部分)，正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C：F=8x,一条光线经过M(8,-6),与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过N(8j0)射出，则为=,光线从点M到N经过的总路程为..定义在［0,1］上的函数/(x)=eh+x2-去伏〉0),若2-eV/(x)4e恒成立，则后的取值范围为四、解答题：本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤./ *、 4,,+,-4 4a-4.在①々=16,afl+1+4a„=32an_1(«>2,77eN)；②T.=2一-；③北=一—三个条件中任选一个补充到下面问题中，然后解答补充完整的题目.等比数列｛4｝中，%>0,其前〃项和为7；，且，数列也｝的前〃项和为S“，且”=log2a“.(1)求”；(2)若 1 1 1 1 >0.96,求〃的最小值.SS］s3Sn.已知A48。的内角力、B、。所对的边分别为a、b,c,且a=26cosC.(1)判断AJ8C的形状并证明；(2)若C=30°,AJ8C的面积5=2百，求AJ8C的内切圆半径r..如图，四棱锥中，尸4_1平面/8。。，四边形/3CO是边长为2的正方形，AP//O是等腰直角三角形，E为棱PD上一点,且近=4万.(1)当九=1时，证明：直线P8//平面ZCE；(2)当2=2时，求二面角E-ZC-O的余弦值.20.2015年10月16日，他在减贫与发展高层论坛上强调，中国扶贫工作要实施精准扶贫方略，坚持中国制度优势，坚持分类施策.当年11月23日，中共中央政治局召开会议，审议通过了《关于打鬲脱贫攻坚战的决定》等有关文件，会议确定了通过产业扶持、转移就业、教育支持和医疗救助等措施帮助5000万左右贫困人口脱贫的目标.下表为某贫困县在实施扶贫政策过程中贫困户的统计数据：年份2015年2016年2017年2018年2019年2020年序号X第0年第1年第2年第3年第4年第5年贫困户数y(百户)5.44.63.42.51.60.5(1)从这六组数据的贫困户数中任意抽取两个值a,b(百户)，设4为卜-4四舍五入后的整数值，求随机变量§的分布列及期望值E&；(2)以2015-2019年五组数据进行相关性分析发现，贫困户数y(百户)与年份的序号x存在较强的线性相关性，试用最小二乘法求相应的回归方程，并利用2020年的数据对该回归方程进行检验.若实际数与预测值的差值的绝对值不超过10户，则认为回归方程可靠.请问该回归方程是否可靠？附：回归方程)=庆+。中斜率和截距的最小二乘法公式为：TOC\o"1-5"\h\z_ _Zxe一〃xyX(X,一三)(匕一7)8= =-^-^ ,a=y-bx.ZX；-MX2 Z(X,-x)~;=1 1=1.椭圆。：《+《=1(。>6>0)的上下焦点分别为耳，F2,离心率为逅，P为椭圆C上的一个动点，ab 3AP耳月的面积最大值为4正.(1)求椭圆C的标准方程：(2)过点作直线与椭圆C相交于Z,B两点,是否存在x轴上的点Q(f,0),使得7•丽为定值？若存在，求出/：若不存在，说明理由.Inx.函数/(x)=ae、 1,a为常数.X(1)当4=0时，求函数/(X)的单调性和极值：(2)当a=l时，证明：对任意xw(0,+8),/(x)>-.X百师联盟2021届高三冲刺卷(三)新高考卷数学答案及评分意见.BJ={x|-l<x<2}=(-1,2),8=也|y=2",xe]}=1；,4),所以406=(；,2)..人因为5布(a+/?)=2$山([一4)，所以sina•cosfi+cosa-sin/?=2sina・cos夕一2cosa・sin夕,所以sina•cos/?=3cosasin夕,/ 、 sin—+a.八 .八7r}万\2 )sinpcosa•sin0故tan—+a-tan/?=——) < -= -=一一.V2 ) (n\cos/—sina•cos/ 3cos|j+ajCA选项若a//6,则不能得到/J_a；B和D中/与a的位置关系无法确定;C选项正确.B因为。>0,b>0,且。+26=3。6,12所以上+上=3,baTOC\o"1-5"\h\z2 l~2~所以3=±+*N2、H，haVah )历 o所以 ,即QbZ一3 9当且仅当Jba[〃+2b=3ab即a=±b=2时等号成立，故"的最小值号.3 3 9C由(0.010+0.015+0.015+4+0.025+0.005)x10=1得a=0.030,A错误；200名学生为随机抽取，原始分数分布无法完全确定，B错误：原始分数位于［90,100］的频率为0.05，位于［80,90)的频率为0.25,由(80-x)x0.030+0.3=0.4得xx76.67,所以77分可以在8等级处赋分，C正确；3成绩在［40,50)和［50,60)的比例为2:3,所以应在［50,60)中抽取的人数为10x币=6,D错误.A设用该试剂检测呈现阳性为事件8,被检测者患病为事件/,未患病为事件则P(3|Z)=0.99,P(/)=0.02,P(B\J)=0.05,P(彳)=0.98,故所求概率P(B)=0.99x0.02+0.05x0.98=0.0688.

B不妨设点4在双曲线的右支上.因为品邛=0,所以/J.4月,所以|。4|=|0用=|。局.又因为乙4。片=120°,所以=30°,所以|/用=]6玛卜c,卜周=&,所以离心率为e=£=2^=i一音一|=-^^=V3+1.a2a\AF\-\AF^&-c因为/(x)在(因为/(x)在(0,1)内存在最小值但无最大值,当X£^0,—J时，故结合图象可得：所以*<&><—.3 37TI7t7TCD7t\所以。=一,b=—,2 2点落在第四象限，A正确;AD根据已知条件，易知2而=》，A正确；因为四边形CFQE是平行四边形，所以丽=3月+《不，故B错误;因为而-0=1万，而COJ.Z5不一定成立，所以C错误；—•1一一•因为8E=-(B4+8C),所以(方法一)=(BA+BC)2-(BC-BA)2=4BCBA,故D正确.(方法二)4BF~-AC~=(BA+5C)2-Ac'=|直『+|前『一|祝『+2BC-~BA=2\BA\\BC\cosB+2BCBA=2BC~BA+2BC~BA=4BC~BA故D正确BC如图建立空间直角坐标系，则。(0,0,0),4(1,0,0),尸(f,M(0,0,2f),所以丽=&',2),布=(一1,02).设直线OP与直线ZM所成角为8,由0<f41知，\dp-am\cos^=i!==r=!i

3t2j，+i.“r+i令=J 2〃+1•“J+1则八=_变一—<1,-4(?+师+】)⑪一+5广、1 J?当且仅当4『=下即，=J时等号成立,V 2所以/(1)4；，又因为直线OP与直线异面,所以0<cos6W4，故选BC.2ABC因为g(x)=/8,所以g'(x)=—(X)；/(X),在X£(0,2)时，所以M'(x)-/(x)<0,所以g'(x)<0,故g(x)在(0,2)上单调递减.因为g(x+l)为奇函数，所以函数g(x)关于点(1,0)中心对称；又g(4-x)=g(x),所以函数g(x)关于直线x=2对称，所以g(x)在(2,4)单调递增，且可得g(x)是周期为4的周期函数，A正确.g(2021)=g(l),结合草图可知g(2021)=g(l),结合草图可知g33>g(2021)>g(e),C正确.对于定义域内任一个x,结合周期性可得g(-x)=g(-x+4)=g(x),故g(x)为偶函数，B正确.而g(x)的函数最值无法确定，故D错误.-(a+2b)-a=a2+2a-b=3+2a-b=0,所以限3=—之6 2所以cos(5,B)=G勺=_立,所以夹角cos&B)=2'/同似2 '/63由题意知4a3+2%=4+%，所以3%+2。31=4夕二即/-24—3=0,且由%>0知q>0,所以夕=3.1,20如图，易得尸(小一6),因为尸(2,0),所以直线房的方程为12x+5歹-24=0.TOC\o"1-5"\h\z" 2vz=8x -联立， 消去x整理得3/+10y-48=0,12x+5y-24=0I J可设。(X。，儿)，显然一6和K是该方程的两个根，Q则-6%=-16,所以为=§.(方法一)光线从点〃到N经过的总路程为IMP\+1PQ|+|QN|=(xw-xp)+&+x。+4)+(x~-)=x”+X、+4=20.(方法二)设抛物线的准线为/,则其方程为x=-2,分别过点尸，0做准线/的垂线，垂足分别为G,H,M|PF|=|PG|,\QF\=\QH\,所以|尸°|=|"|+|亦|=|尸3+|。叫,故光线从点M到N经过的总路程为\MP\+\PQ\+\QN\=\MG\+\NH\=8+2+8+2=20.16.(0,1］因为〃％)=*+苫2-履，所以/，。)=左*+2*一%,易知/'(0)=0且/〃(x)=%2*+2>o,所以/(x)单调递增,所以当xc(O,l］时，r(x)>0,/(x)单调递增.又因为2-eW/(x)We恒成立，所以需同时满足如下条件：(1)/(0)>2-e；(2)/⑴4e.因为/(O)=lN2-e,所以(1)成立；对于(2),f(\)=ek+l-k,设g(A：)=e*+l-%,则g'(Q=e*—1,因为左>0,所以g")>0,则g(左)单调递增，而g(I)=e,所以0〈发41.(1)设数列｛为｝的公比为夕，则由。“>0得g>0.方案一：选择①%=16,+4。“=32%_］(〃22,〃wN)因为勺+1+4。“=32。“_|(〃22,"eN'),所以a”/+4an_tq-32az=0>即q2+4q-32=0,解得q=-8或q=4.因为q>0,所以g=4.所以。“=。2«"2=16-4"-2=4"

所以=log,%=log24"=2",即bn-2n.4"+i_4方案二：选择②[= 42-4所以q=7]=---=442+i_4又因为《= =202 3即。]+出=20,所以。2=16,故乡="=4所以%=%4"-2=16.4"2=4"所以a=log2an=log24"=2〃，即b“=2n.方案三：选择③因为7；=色3.34a—4 4〃一4因为北=-^一，所以q=M=竺一，解得q=442+1-4又因为---=20,即%+的=20,所以4=16,故q所以%=。2-/-2=16・4"-2=4"所以=log?an=log,4"=2",即"=2〃.⑵由（1）可得，S.=2+4+6+…+2〃=〃（2+2〃）,所以匚S.所以匚S.[/7（1+77）所以一+—+—+•••+—=1--+ +•+ S|S2s3 Sn223nn+因为—i 1 1•…H 20.96,所以］ >0.96S\S2S'Sn 〃+l所以〃224,故〃的最小值为24.(1)&48C是等腰三角形.下面证明：因为a=26cosC,所以sin/i=2sinBcosC所以sin(B+C)=2sin5cosC,即sinBcosC+cosBsinC=2sin5cosC所以cos8sinC=sin8cosC,所以sin(B-C)=sin3cosC-cos6sinC=0.在ZV18C中，8-Ce(—肛乃)，所以8-C=0,故8=C,所以是等腰三角形.2 >2_2 2 »2_2(方法二)因为。=26cosC,所以〃=2力・一二一2ab a所以从一。2=0,所以6=c,故&48C是等腰三角形.(2)因为NC=30°,所以8=30°,且有6=c,Z=120。所以S=」bcsinZ=2ji,2所以be=8,故6=c=2j^.又a?=力2+d—2bccos/=24,所以a=2痴.又S=，・(a+b+c>r,所以@&+#)r=2百，所以厂=2后一3五.(1)证明：连接ZC交6。于O,连接OE因为四边形488是正方形，所以O为8。的中点.因为PE=ED,所以E为尸。的中点所以PB//OE因为尸8Z平面NCE,OEu平面NCE

所以08//平面4CE.(2)因为尸Z1平面Z8CO,四边形Z8CO是边长为2的正方形，AP4。是等腰直角三角形，所以AP=2.以4为原点，分别以射线Z8,AD,4P为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则4(0,0,0),皿(0,2,0),尸(0,0,2)由丽=2而可得因为PZJ_平面力8c。，所以平面4C。的一个法向量为后=(0,0,2).设平面ZCE的法向量为万=(x,y,z),因为就=(2,2,0), =I2,-,-^AC-n=2x+2y=0所以―A+”。取x=l,得y=-l,z=2,所以力=(1,-1,2),1)用(x,y)表示取得的数据分别为x和y,则所有的基本事件有(5.4,4.6),(54,3.4),(5.4,2.5),(5.4,1.6),(5.4,0.5),(4.6,34),(4.6,2.5),(4.6,1.6),(4.6,0.5),(34,2.5),(34,1.6),(3.4,0.5)

(2.5,1.6),(2.5,0.5),(1.6,0.5)共15个,对应的彳的取值分别为1,2,3,4,5,1,2,3,4,1,2,3,1,2,1,即彳的取值有1,2,3,4,5,且5 1 4 3 1 2 1产(4=1)=—=一,尸(§=2)=—,P(J=3)=—=—,0(4=4)=—,P(J=5)=—,15 3 15 15 5 15 15故变量4的分布列为012345P3415]_5215»155 4 3 2 1 7期望值EJ=1x—+2x—+3x—+4x—+5x—=L.15 15 15 15 15 3(2)根据题意知，x=2,y=3.5,=-0.970+4.6+6.8+7.5+=-0.97所以6= 5 0+1+4+9+16-5x22则6=3.5+0.97x2=5.44.所以夕=—0.97x+5.44.当x=5时，y=-0.97x5+5.44=0.59,而预测数与实际数的差值的绝对值为|0.59-0.5|=0.09(百户)，即差值为9户，所以该回归方程可靠.(1)离心率e=£=——,所以c=——a,a3 3y/3所以6=*1。.3因为6的面积最大值为4夜，所以;Nc-bud及，BP—a2=4V2,3所以"=12,故/=4.

所以椭圆C的标准方程为匕+工=1.124(2)假设存在符合要求的点Q&0).若直线/斜率存在，则可设直线/的方程为歹=X(x-l).叶炉+《=1联立。24y=k(x-\)消去y,整理得(3+公卜2_2rx+左2-12=0.由题意可知A>0,设B(x2,y2y,nI2k2 k2-\l则Xi+X-y— 、9XiX-y— ,1 -3+k223+