《二次根式》课件-(公开课获奖)2022年沪科版-1

1⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。a的平方根记作:⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？一个正数正的平方根叫做它的算术平方根。用(a≥0)表示。0的算术平方根是0(a≥0)⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等2

（1）正数有两个平方根且互为相反数；

（2）0有一个平方根就是0；

（3）负数没有平方根。1、平方根的性质：1、16的平方根是?算术平方根是？2、0的平方根是？算术平方根是？3、－7的平方根是？算术平方根是？正数和0有算术平方根负数没有算术平方根（1）正数有两个平方根且互为相反数；1、平方根的性质：350米a米

塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为______________米。塔座?米50米a米塔座所形成的这个直角三角形的塔座?4下球体S

圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____________.下球体S圆形的下球体在平面图上的面积为S，5

如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是b-3表示一些正数的算术平方根．a叫被开方数，你认为所得的各代数式有哪些共同特点？称为二次根号如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是b6请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识！

?请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识！72.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号4.a≥0,≥0

5.既可指开方运算,也可指运算的结果.1.表示a的算术平方根(双重非负性)2.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号4.8说一说:

下列各式是二次根式吗?

(m≤0),(x,y异号)在实数范围内,负数没有平方根火眼金睛说一说:下列各式是二次根式吗?(m≤0),(x,y91、判断下列代数式中哪些是二次根式？

⑴

⑵

⑶⑷⑸⑹1、判断下列代数式中哪些是二次根式？⑵⑶⑷⑸⑹10求下列二次根式中字母的取值范围：解：（1）由题意得：即当时，有意义.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。（2）(3)为任意实数求下列二次根式中字母的取值范围：解：（1）由题意得：即当111、x取何值时,下列二次根式有意义?快速口答(7)(8)1、x取何值时,下列二次根式有意义?快速口答(12x,y取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？x,y取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？132.已知a,b为实数，且满足

，你能求出a及a+b

的值吗？若=0，则=_____。3、已知有意义,那A(a,)在

象限.二∵由题意知a＜0∴点A(－,＋)2.已知a,b为实数，且满足144.当x分别取下列值时，求二次根式的值：

(1)x=0(2)x=1(3)x=‐1变式练习:若二次根式的值为3，求x的值.4.当x分别取下列值时，变式练习:若二次根式的值15练习：求下列二次根式中字母的取值范围（8）练习：求下列二次根式中字母的取值范围（8）16梳理一下吧（1）二次根式的概念（2）根号内字母的取值范围哪些式子对字母有条件限制？分母；根号；实际问题梳理一下吧（1）二次根式的概念17

18观察与思考∠1是∠3的

，两边分别在同一条直线上.因此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边

延长得到的没有公共边的角观察与思考∠1是∠3的19∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.对顶角：观察总结

∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD20那么对顶角有什么样的关系呢？对顶角相等那么对顶角有对顶角相等21实验探究

由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，可得∠1＝∠3.对顶角相等实验探究由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠322（对顶角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知∴∠3=68°解：（等量代换）∴∠2=180°—∠1=112°∴∠4=∠2=112°（对顶角相等）（对顶角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知23

如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个扇形零件的圆心角的度数.如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个24生活拓展观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)

⑴如图a，图中共有

对对顶角⑵如图b，图中共有

对对顶角⑶如图c，图中共有

对对顶角⑷研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成

对对顶角⑸若有2008条直线相交于一点，则可形成

对对顶角.

生活拓展观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)⑴如图25其中一条直线叫做另一条直线的垂线1.定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直.2.垂直用符号“⊥”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.OABCD3.交点O叫做垂足探究新知：垂线的定义其中一条直线叫做另一条直线的垂线1.定义：当两条直线AB和C26FEMNO记作：_________,垂足为___.ABOE记作：

______，垂足为____.试一试填一填MN⊥EFOAB⊥OEO或者MN⊥EF于O或者AB⊥OE于OFEMNO记作：_________,垂足为___.ABOE27日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗?你能举出生活中直线互相垂直的例子吗？日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相28生活中的垂直生活中的垂直291、∵AB⊥CD（已知）∴∠1=90°（垂线的定义）2、∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD（垂线的定义）ABCD1ABCD1垂直有以下两层含义1、∵AB⊥CD（已知）2、∵∠1=90°（已知）ABCD130解：∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）

垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2

＝180°－35°－55°

＝90°∴OE⊥AB(垂直的定义)CDABOE12例如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是

.

应用新知解：垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2∴OE⊥A311、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是()

（A）有两个角相等（B）有两对角相等（C）有三个角相等（D）有四对邻补角（C）

练一练（C）练一练322、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直（A）4（B）3

（C）2（D）1A2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）33问题：这样画L的垂线可以画几条？1靠、2画线、LO(1)如图，已知直线L,作L的垂线.A无数条1.用三角尺画垂线动手操作问题：怎么样画已知直线的垂线？问题：LO(1)如图，已知直线L,作L的垂线.A无数条1.34LA(2)如图，已知直线L和L上的一点A,作L的垂线.B1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上;3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点;则所画直线AB是过点A的直线L的垂线.问题：这样画L的垂线可以画几条？1条LA(2)如图，已知直线L和L上的一点A,作L的垂线.35LA(3)如图，已知直线L和L外的一点A,作L的垂线.B3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点;1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上;则所画直线AB是过点A的直线L的垂线.问题：这样画L的垂线可以画几条？1条LA(3)如图，已知直线L和L外的一点A,作L的垂线.36根据以上的操作，你能得出什么结论？垂线的第一性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外.

（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.注意：

总结：根据以上的操作，你能得出什么结论？垂线的第一性质：过一点有且371.在小学学段我们曾通过折纸的方法，得到两条垂线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？

2.用折纸方法画垂线1.在小学学段我们曾通过折纸的方法，得到两条垂线，现在你可以382.如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a垂直的直线？如图(6)：直线a外有一点B,经过点B，你能折出几条与a垂直的直线？想一想做一做过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？2.如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a391.过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（）.

ABCDC课堂练习PPPPPPABO1.过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（40EEE注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.2、问题：如何画一条线段或射线的垂线？EEE注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将413.如图，已知AB.CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=36°，则∠BOE=.

（A）36°(B)64°(C)144°(D)54°ABOCDED3.如图，已知AB.CD相交于O,OE⊥CD42

43⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。a的平方根记作:⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？一个正数正的平方根叫做它的算术平方根。用(a≥0)表示。0的算术平方根是0(a≥0)⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等44

（1）正数有两个平方根且互为相反数；

（2）0有一个平方根就是0；

（3）负数没有平方根。1、平方根的性质：1、16的平方根是?算术平方根是？2、0的平方根是？算术平方根是？3、－7的平方根是？算术平方根是？正数和0有算术平方根负数没有算术平方根（1）正数有两个平方根且互为相反数；1、平方根的性质：4550米a米

塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为______________米。塔座?米50米a米塔座所形成的这个直角三角形的塔座?46下球体S

圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____________.下球体S圆形的下球体在平面图上的面积为S，47

如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是b-3表示一些正数的算术平方根．a叫被开方数，你认为所得的各代数式有哪些共同特点？称为二次根号如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是b48请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识！

?请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识！492.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号4.a≥0,≥0

5.既可指开方运算,也可指运算的结果.1.表示a的算术平方根(双重非负性)2.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号4.50说一说:

下列各式是二次根式吗?

(m≤0),(x,y异号)在实数范围内,负数没有平方根火眼金睛说一说:下列各式是二次根式吗?(m≤0),(x,y511、判断下列代数式中哪些是二次根式？

⑴

⑵

⑶⑷⑸⑹1、判断下列代数式中哪些是二次根式？⑵⑶⑷⑸⑹52求下列二次根式中字母的取值范围：解：（1）由题意得：即当时，有意义.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。（2）(3)为任意实数求下列二次根式中字母的取值范围：解：（1）由题意得：即当531、x取何值时,下列二次根式有意义?快速口答(7)(8)1、x取何值时,下列二次根式有意义?快速口答(54x,y取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？x,y取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？552.已知a,b为实数，且满足

，你能求出a及a+b

的值吗？若=0，则=_____。3、已知有意义,那A(a,)在

象限.二∵由题意知a＜0∴点A(－,＋)2.已知a,b为实数，且满足564.当x分别取下列值时，求二次根式的值：

(1)x=0(2)x=1(3)x=‐1变式练习:若二次根式的值为3，求x的值.4.当x分别取下列值时，变式练习:若二次根式的值57练习：求下列二次根式中字母的取值范围（8）练习：求下列二次根式中字母的取值范围（8）58梳理一下吧（1）二次根式的概念（2）根号内字母的取值范围哪些式子对字母有条件限制？分母；根号；实际问题梳理一下吧（1）二次根式的概念59

60观察与思考∠1是∠3的

，两边分别在同一条直线上.因此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边

延长得到的没有公共边的角观察与思考∠1是∠3的61∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.对顶角：观察总结

∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD62那么对顶角有什么样的关系呢？对顶角相等那么对顶角有对顶角相等63实验探究

由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，可得∠1＝∠3.对顶角相等实验探究由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠364（对顶角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知∴∠3=68°解：（等量代换）∴∠2=180°—∠1=112°∴∠4=∠2=112°（对顶角相等）（对顶角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知65

如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个扇形零件的圆心角的度数.如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个66生活拓展观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)

⑴如图a，图中共有

对对顶角⑵如图b，图中共有

对对顶角⑶如图c，图中共有

对对顶角⑷研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成

对对顶角⑸若有2008条直线相交于一点，则可形成

对对顶角.

生活拓展观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)⑴如图67其中一条直线叫做另一条直线的垂线1.定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直.2.垂直用符号“⊥”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.OABCD3.交点O叫做垂足探究新知：垂线的定义其中一条直线叫做另一条直线的垂线1.定义：当两条直线AB和C68FEMNO记作：_________,垂足为___.ABOE记作：

______，垂足为____.试一试填一填MN⊥EFOAB⊥OEO或者MN⊥EF于O或者AB⊥OE于OFEMNO记作：_________,垂足为___.ABOE69日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗?你能举出生活中直线互相垂直的例子吗？日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相70生活中的垂直生活中的垂直711、∵AB⊥CD（已知）∴∠1=90°（垂线的定义）2、∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD（垂线的定义）ABCD1ABCD1垂直有以下两层含义1、∵AB⊥CD（已知）2、∵∠1=90°（已知）ABCD172解：∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）

垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2

＝180°－35°－55°

＝90°∴OE⊥AB(垂直的定义)CDABOE12例如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是

.

应用新知解：垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2∴OE⊥A731、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是()

（A）有两个角相等（B）有两对角相等（C）有三个角相等（D）有四对邻补角（C）

练一练（C）练一练742、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直（A）4（B）3

（C）2（D）1A2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）75问题：这样画L的垂线可以画几条？1靠、2画线、LO(1)如图，已知直线L,作L的垂线.A无数条1.用三角尺画垂线动手操作问题：怎么样画已知直线的垂线？问题：LO(1)如图，已知直线L,作L的垂线.A无数条1.76LA(2)如图，已知直线L和L上的一点A,作L的垂线.B1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上;3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点;则所画直线AB是过点A的直线L的垂线.问题：这样画L的垂线可以画几条？1条LA(2)如图，已知直线L