高中数学人教A版必修(第二册)第六章平面向量及其应用知识点

高中数学人教A版必修(第二册)第六章平面向量及其应用知识点高中数学人教A版必修(第二册)第六章平面向量及其应用知识点11/11高中数学人教A版必修(第二册)第六章平面向量及其应用知识点第六章平面向量及其应用1．向量的看法与向量的模（1）向量看法：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．海拔、温度、角度都是数量，不是向量。向量能够平移，与地址没关。（2）向量的几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量→→→→的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，比方????、????，字母表示，用小写字母??、??，表示．有→→向线段的长度为模，表示为|AB|、|??．→→→（3）向量的模：????的大小，也就是????的长度（或称模），记作|AB|．→（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0，零向量的长度为0，方向是任意的．→→（5）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与????????共线的单位向量是±→）．|AB|6）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传达性．→→7）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．若是??，??，??是非零向量且方向相同或相反（向量所在→→→的直线平行或重合），则??∥??∥??。任一组平行向量都可搬动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自己是平行向量，并且规定，零向量与任向来量平行．平行向量没有传达性。相等向量必然是共线向量，但共线向量不用然相等。→→→（8）相反向量：与??长度相等方向相反的向量叫做??的相反向量，记作-??．2．向量的加法运算→→→1）三角形法规：????+????=????特色：首尾相接的几个向量相加，等于从首向量的起点指向末向量的终点的向量。1→→→2）平行四边形法规：ABCD为平行四边形，则????+????=????特色：同起点的两个向量相加，等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线所在向量（起点不变）（3）向量的加法性质→→→→→→→→??+0=0+??=??；??+（-??）=0；→→→→??+??=??+??；→→→→→→③（??+??）+??=??+（??+??）．→→→→|??+??|≤|??+|??4．向量的减法运算→→→法规：????-????=????特色；同起点的两个向量相减，等于由减向量终点指向被减向量终点的向量.(一个向量等于由第三点指向终点的向量减去由第三点指向起点的向量)5．向量数乘和线性运算→→→→（1）向量的数乘：实数λ与向量??的积是一个向量，记作λ??，它的大小为|λ??|||＝λ|??，其方向与λ的正负有关．若→→→→→→→|λ|??≠0，当λ＞0时，λ的方向与??的方向相同，当λ＜0时，λ??的方向与??的方向相反．当λ＝0时，λ??与??平行．??→→→→对于非零向量a、b，当λ≠0时，有??∥?????=λ??.（2）向量数乘运算法规→→→→1??=??；（﹣1）??=-??；→→→②（λμ）??=λ（μ）??=μ（λ??）；→→→③（λ+μ）??=λ??+μ??；2→→→→④λ（??+??）＝λ??+λ??．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量，注意→→→????=0。-→→→→→→→→→→一般地，λ??叫做??，??的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．若是??，则称??能够用??，??线性表示．+μ??=λ??+μ??→→→→→→（3）向量??共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使??(??≠??)与向量??=λ??.→→→→4）A、B、C三点共线?????∥?????????=??????.6．平面向量数量积（1）向量的夹角：对于两个非零向量→→→→→→??，??若是以O为起点，作????，????，那么射线OA，OB的夹角θ叫=??=??→→做向量??与向量??的夹角，其中0≤θ≤π．（2）向量的数量积：若是两个非零向量→→→→→→→→??，??的夹角为θ，那么我们把与??的数量积，记做?????|??|??osθ叫做??→→→→→→即：?????=|??|??cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0???=0．注意：→→cosθ决定；①???b表示数量而不表示向量，符号由②符号“?”在数量积运算中既不能够省略也不能够用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，必然要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（3）平面向量数量积的重要性质：→→→→→→设??，??都是非零向量，??是与??方向相同的单位向量，??与??和夹角为θ，则：→→→→→?????=?????=|??cosθ；→→→→②??⊥????????=0；（判断两向量垂直的充要条件）3→→→→→→→→→→→→③当??，??方向相同时，?????=|??|??；当??，??方向相反时，?????=-|??|??；→→→2→→→特别地：?????=|??或|??=√?????（用于计算向量的模）→→→→→→→→→→→→→→④cosθ=??→??→（θ为锐角??|??||??→→→→|?????|≤|??|??（4）平面向量数量积的运算律→→→→①交换律：?????=；?????→→→→→→②数乘向量的结合律：（λ）????=λ（?????）=??（?????）；→→→→→→→③分配律：（??+??）???=?????+?????（5）平面向量数量积的运算性质→→→2→→→2①（??±）2=??±2????．??+??→→→→→2→2②（??-）（???）=??．??+??-??→→→→→→??（????）≠（????）???，→→→（6）投影：??在??上的投影是一个数量|??cosθ，它能够为正，能够为负，也能够为0→→→→→→（7）投影向量：??在??上的投影向量等于|??cosθ??（其中??为与??同向的单位向量）7．平面向量基本定理→→那么对这一平面内任向来量→→→、??是同一平面内两个不共线向量，??，有且仅有一对实数λ1、λ2，使??若是??????=????????+→→

→??．我们把{??，??}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．??????8．平面向量的坐标运算4→（1）平面向量的坐标表示：??=（x，y）表示以原点为起点，以（x，y）为终点的向量．（2）平面向量的坐标运算：→①若A（x1，y1），B（x2，y2），则????=（x2﹣x1，y2﹣y1）→→22→2→222→②若??=（x，y）则|??=，??=|??|，λ??（λ，xλ）y√??→→③若??=（x1，y1），??=（x2，y2），则：→→→→→→??+??=（x1+x2，y1+y2）；??-??=（x1﹣x2，y1﹣y2）；?????=x1x2+y1y2。→→→→→→→→④平面向量平行的坐标表示：若??=（x1，y1），??=（x2，y2），则∥??（??）???λ???x1y2﹣x2y1＝0．??≠??=→→→→→→xx+yy＝0．⑤平面向量垂直的坐标表示：若??=（x，y），??=（x，y），则??⊥??????=0?1122??1212→→x1x2+y1y2⑥向量的夹角公式：cosθ=????=→→√x12+y12?√x22+y22|??||??9．向量中一些常用的结论：（1）在ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则其重心的坐标为Gx1x2x3,y1y2y3。33②uuur1uuuruuuruuur为重心，特别地uuuruuuruuurr为ABC的重心；PG3(PAPBPC)GABCPAPBPC0PuuuruuuruuuruuuruuuruuurP为ABC的垂心；③PAPBPBPCPCPAuuuruuurABAC④向量(uuur)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角均分线所在直线)；uuur|AB||AC|→→→→→→、????、????=λ????+μ????（2）向量????三终点A、B、C共线存在实数λ、μ使得????且λ+μ=1.510．三角形中的重要结论①在三角形中，大边对大角，中边对中角，小边对小角，等边同等角。

abABsinAsinB②在三角形中，只有最大的角才可能是钝角或直角，自然也能够是锐角，中间的角和最小的角必然为锐角。③三角形内角的正弦值必然大于0，锐角的余弦值大于0，直角的余弦值等于0，钝角的余弦值小于0.11．三角形中的引诱公式sinBCsinAcosBCcosAtanBCtanAsinABcosCsinACsinBcosABcosCtanABtanCA22sinABsinCcosACcosBtanACtanBBCcos2sin212．正弦定理和余弦定理三角形常用面积公式定理正弦定理余弦定理??=??=??=2Ra2＝b2+c2﹣2bccosA，????????????????????????内容b2＝a2+c2﹣2accosB，（R是△ABC外接圆半径）c2＝a2+b2﹣2abcosCa＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=??，sinB=??，sinC=??；222cosA=??+??-??，2??2??2??2????变形③asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA222cosB=??+??-??，2????形式??????????④a：b：c＝sinA：sinB：sinC；=????????222??cosC=??+??-??2????⑤????+????+??+??==????????????????+?????????????+????????+????????解决①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；①已知三边，求各角；6三角②已知两边和一边对角，求另一边和其他两角②已知两边和一角，求第三边和其他两角形的③边角互化问题13．三角形常用面积公式111??????1S=2absinC=2acsinB=2bcsinA=4??=（a+b+c）r214．三角形解的个数的判断已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知??，??，A，则:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解7平面向量基础知识练习题、与→→共线的单位向量是__________，??的相反向量是__________1??2、平行向量也叫__________→→→→→→3、????????-????=_________??-??=____+????=_________8→→→→|___|??|+|??|4、|??+??→→→→λ，使_________≠0)与向量??共线的充要条件是：存在唯一一个实数5、向量??(??→→6、A、B、C三点共线?∥?????????________、→→→2→→???=________?????=__________7??=_________0→→?_______________________→→__________，??方向相同??，??方向相反?8、??→→→→____________a，b夹角θ为锐角?______________________a，b夹角θ为直角?→→_____________________a，b夹角θ为钝角?→→→→→→在??上的投影=为与同向的单位向量，在上的投影向量等于______________9、??、平面向量基本定理：若是→→→、??是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任向来量??，10??12→→叫做表示这一平面内所有向量的一个_______12}11、平面向量的坐标运算：→①若1，y1），B（x2，y2），则????A（x=__________→→→2→②若??=（x，y）则|??=__________，??=__________，λ??=__________→→→→→→→→x③若??=（x=+??=__________??-??=__________?????=__________→1，1），→→→→→）?__________．④平面向量平行的坐标表示：若??（2，2），则∥??（????=（x=x0→→→→⑤平面向量垂直的坐标表示：若??=（x1，y1），??（x2，y2），则??⊥???__________．=⑥向量的夹角公式：cosθ=__________=__________→→→→→→且__________、向量、PB、PC三终点A、B、C共线存在实数λ、μ使得PA=λ12PAPB+μPC913、以下运算错误的选项是_________→→→→→→→→??+??=??+??=??；??+（-??）=??；→→→→??+??=??+??；→→→→→→(3)（