充分条件与必要条件之辩

充分条件与必要条件之辩这里，我梢稍做了一次标题党。这一篇附录主要是聊一聊“逻辑”，理一理思路。其实大家平时为什么会被“什么的必要条件是什么”，“什么是什么的充分条件”诸如此类的表示弄得晕头转向呢（包括我自己，大客）。这其实不是大家的错，这最主要的原因是语言文字太博大精深了（笑）。错的是这个世界，全怪时辰U（正经）什么是逻辑？是一种思维的规律，但我更喜欢把它当做一种语言，他有自己一套语法和语义。不过她没有什么倒装句式，没有什么修辞手法之类的，所以它十分公正，明确。虽说这样听起来，一门语言没有这些乱七八糟的东西，会变得很容易理解和研究，其实不然，去掉繁杂的枝叶可以直指本质，而时本质的探索是最为困难的。这里，我要讲的是最浅显的内容。这篇文章，或许不会对你做题方法有宜接影响，但是能剖析自己的思路总是好的。/〃〃〃/〃〃//〃〃〃〃/〃〃以〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃//〃〃//〃〃/〃〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃〃〃/命题是一个非真即假的陈述句。大家都懂我就不多说了C要注意的是类似％>5的不是命题，因为又是变量，％>5的真值由x的取值来决定。要这样：\/xERx>5才算是命题©（类似r>5,我们称之为命题变项）（严格来说a+也不算命题）因为我们处理命题和命题变项的方法是一毛一样的，因比除了在概念上区分以外，在推理过程中我们就不再区分他们了。后面我们也会淡化“命题”这个概念。（不要说有条件和结论的才叫命题这种错误的想法）〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃2、简单命题和复杂命题表达一个命题就像积木一样，一个复杂的命题由简单命题和逻辑联结词按规则所组成。简单命题，就是不含逻辑联结词的命题：“我是beauty"（beauty是我一个同学）复杂命题：“我是beauty且我爱械车”，这里的“且”就是一个逻辑联结词了（接下来我们会用字母来表示一个命题）〃/〃/〃〃//〃〃/〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃/〃〃〃〃/〃//〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃//〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃/〃〃〃3、逻辑联结词逻辑联结词的作用相当于加减乘除，可把命题连接起来构成复杂的命题。有几个常用的逻辑联结词：-1（非）、八（且）、V（或）、T（蕴含，也可读作如果…那么…）、"（等价于）/〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃//〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃//〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃/〃〃//或且非我就不说了。〃〃//〃〃//〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃/〃/〃/〃/〃〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃/〃〃〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃/姑且提一下“一”：有两个命题PQ,用T构成可以一个命题尸TQ。读作P黄含于Q,也可以读作如果P,那么Q・在这里P就称为条件，Q就称为结论.真值表（相当于对此联结词的定义）如下：PQPTQ〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃//〃〃/〃//〃〃〃〃〃〃〃〃///〃〃〃//〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃蕴涵词“t”与自然语言中“如果…，那么…”有一致的一面，但也有不同的地方：①自然语言中如果那么所连接的两个句子是有一般都是关联的。而逻辑上允许“t”前后放不同的东西。（“或、且”也一样：“2+2=5”且“雪是白的”。这样的句子是合理的）（吐槽一句，其实前后亳无关联的句子也很多啊一一如果我带着黑框眼镜，那么一分钟只有59s（笑）一一对吧，前后毫无关联）②自然语言中很少有条件为假，命题为真的说法，S致让人很难理解。其实我列几个句子就很好明白了：（1）如果我是beauty（学的），那么我就能考全级第一。（2）如果我能考全级第一了，那么母猪都会上树了（心酸）：（3）如果太阳从西边出来了，那么我的是穿女装。（这是薛定叩的女装啊（笑））逻辑是自然思维的抽象，源于自然，高于自然。当你对逻辑进行演算的时候，大可不必时时刻刻想着它对应的意思，就好像数字运算一•样：而自然语言仅仅是用来辅助理解的，就好像学算术时作为例子的“苹果”一样。〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃//〃〃〃〃〃〃〃/〃〃//〃〃//〃〃〃/〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃/〃〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃把“T”抽象出来之后（不要再想着它的原本对应的意思了），我们发现「PVQ跟PtQ是完全等价的:PQ「PVQFTTFFT这个有什么用呢，等下再说。/〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃//〃/〃/〃/〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃//〃〃〃〃/〃〃/〃〃〃那么如果PtQ为真，我们可以记为P=Q・这时称：①P蕴含于Q(这里的蕴含于的含义稍稍有点变化)②P是Q的充分条件，Q是P的必要条件；(Q的充分条件是P，P的必要条件是Q)(如何理解等下再说)这有什么区别呢，这么说吧“t”相当于加减乘除，“=”相当于等于大于，也就是说是用来描述PQ之间的关系的，而是一个“运算符，同样我们可以定义=，我们当做用于命题之间的一个等号〃〃//〃〃//〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃/〃〃〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃〃/〃3、逻辑演算我们平时做题时候，我们需要一些推理规则。比如说遇到难证明题目，我们可以先求其必要条件，缩小其范围；正面难证明的问题，我们可以用反证法。无不需要逻辑的演算。〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃//〃〃/〃//〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃//〃〃/〃〃/〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃1、等价变形我们很多时候会遇到一些比较复杂的命题，我们需要对命题进行化简，这时候我们就要熟知一些逻辑联结词的运尊规则(就像是我们对尊式化而一般)一些等价公式：①双重否定：「「pop八、V、满足结合律(T不满足)八、V、T满足交换律(T不满足)(PA(QVR)=(FAQ)V(PA7?)PV(QVR)<=>(PVQ)A(PVR)(一不满足)P->(Q->R)<=>(PtQ)->(PtR)(PVP0PpYpZPt⑥吸收律/需悬三⑦德摩根津麻群二建

这里只是把公式列举出来而己，脑残的不用记，不常用的其实也不用记，这里最重要的是公式是德摩根律了（各种意义上）当然这些公式，都可以用真值表来证明（不过太困难了）。我们可以用韦恩图来理解这些公式（存点太过显然了）：PAQP7Q我们可以稍稍作个拓展：高中老师为了我们更好理解“且”“或”，把“且”比作乘法，“或”比作加法，其实这样并不准确。@我们这样定义命题的“加法"：尸+Q=（i产八Q）V（P/\-iQ）（就是并了之后去掉交的部分）：(意思是“或异”一一“鱼和熊掌不可得兼”)④这样定义命题的“乘法”：P-Q<=>PAQ⑤1定义为真，0定义为假除了「2=「和「+「=0两个特殊的运算性质以外，其他的运算性质跟数的运算完全一样。形如这样的运算，我们称之为布尔运算。点到即止，大家可以试下用这个来推一推上面的那些等价公式。〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃/〃//〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃//〃〃〃还有一个十分重要的等价公式，我们可以推一推：根据真值表可得(Ptq)o(「pvq)由双重否定律、交换律得(MVQnlLVjP))再根据真值表得(«Q)V([P))=((「Q)t([P))练上得(PTQ)=(JQ)T(「P))这就是所谓的逆否命题跟原命题等价了。/〃〃/〃〃〃//〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃//〃/〃/〃/〃//〃〃〃〃〃〃〃〃///〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃//〃〃〃2、逻辑推理我们做证明题就是一个推理过程。我们怎么把这个过程抽象出米，再为己所用呢。例1、如果我是人，那么我会死

因为我是人所以我会死这是自然语句给出的三个命翘，有前提，行结论，表示了一种推理关系。引入符号P表示我是人，Q表示我会死，便可以将这推理关系表示为：((PtQ)AP)=Q上面就是一个推理公式。一些推理公式：①②③④⑤⑥P八QnPpnPYQ-iP=PtQQnPtQ，(PtQ)AP)=Q(PtQ)八(QtR)=(PtR)①②③④⑤⑥我们一般用①②求一道题目的充分或者必要条件，缩小计算范围。⑤我们称为假言推理，是最常用的推理公式(例1)，我们做证明题的时候就是反反复复用这条公式而已(好好体会卜)。然后⑥就是著名的三段论：大前提，小前提，结论。/〃〃〃/〃〃//〃〃〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃//〃/〃〃〃/〃〃〃〃/〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃以上暂时没有引入量词，我们称之为命即逻辑，我们已将其公理化，公理的内容这里就不提了，无非就是将前面一些重要内容，基本的内容挑出来罢了。不过，有些数学家不承认一些公式，就有后来一些非标准逻辑了，故事我也不知道多少，这里我也不提了.大家有兴趣自己查一下。/〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃/〃〃〃//〃/////〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃/〃〃〃〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃/〃////4、谓词(为了方便起见，后面用小写字母表示命题，大写字母表示谓词)没有最词的命题逻辑表达能力实在是太低，所以我们要引入量词。引入量词之前，我们还得先引入“谓词)例：beauty是学丽骆飞是学前在命题逻辑里面，这两个是不同的命题，只能用不同的符号p,q来表示了。但分析一卜这两个命题的异同点，他们都有主词和谓词，不同的是主词“beauty”“骆飞”，而谓词“是学ST是相同的。若以P表示“是学新)那么这两个命题就可以表示为：P(beauty)P(骆飞)这样就可以明晰地表示这两个命题的异同点了。我们还可以引入变量x来表示主词，『是符号P(x)就表示“无是学新”。通常把P(x)称作谓词。(谓词不是命题，但是推理性质跟命题一样)其实谓词就是一个性质当然，还有多个变量的谓词，就不提了。/〃〃/〃〃//〃〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃//〃/〃/〃/〃〃〃〃/〃〃/〃〃〃/〃〃〃〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃/〃/〃/〃/〃〃〃〃/〃5、量词量词常用的有两个：V(全称量词：恒成立)、3(特称量词：存在)/〃〃〃〃/〃/〃//〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃//〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃//〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃量词和谓词共同使用才能构成一个命题：①(Vx)P(x)：所有的x都满足性质?②(3x)P(x)：存在x满足性质P一一用量词对谓词中变量进行约束。不过使用量词之前，先要默认为的取值范围，这个范围我们称之为论域，在不同的问题中，我们会用不同的论域。/〃〃/〃〃〃//〃〃〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃//〃〃〃/〃/〃/〃〃//〃〃〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃//〃〃〃〃/〃〃//〃〃〃〃〃〃〃〃//〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃例1：有的实数是有理数换句话说：有些东西，它是实数也是有理数注意不是：有些东西，如果它是实数，那么它是有理数形式化：0x)(4是实数八;r是有理数)不是(士)(%是实数一无是有理数)这个命题般来说成立的(在这种情况默认论域是所有实数)，不过我们也可以取•些奇葩的论域，这个命题就不一定成立了：{%兀,桌子,beauty}。/〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃/〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃〃〃〃〃/〃//〃/〃/〃//〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃//一般跟V搭配的是t,所以一般恒成立问题的形式为：(Vx)(P(x)tQ(x))(Vx)(P(%)八Q(x))长这样的几乎没什么意义的，在一般的论域中(万物)，这样的命题通常都是假的。一般跟三搭配的是A,所以一般存在性问题的形式为：(3x)(F(x)A(2(x))(五)(P(x)tQ(x))长这样的也是几乎没什么意义的，在一般的论域中(万物)，这样的命题通常都是真的。〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃/〃//〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃//〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃还有，我们一般采取缩记法：①(Vx)(xW4->P(x))我们记为(VxGA)P(x)②(3x)(x€/AP(x))我们记为JxG/)P(x)这些缩记大大缩短了很多命题的长度，也减少了一环套一环的括号，有益的化简总是好的。〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃//〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃//〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃除了这两个量词，在这里我还拓展一个量词：王豌一量词：唯一存在(有且仅有))这样定义：(于x)P(x)=(3x)a(Yy(P(y)->%=y)))不说了c〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃//〃/〃/〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃〃6、谓词逻辑的推理演算谓词逻辑的推理演算规则大体上与命题逻辑相似，只需要加上几条就可以了:否定式:i(Vx)P(x)=0x)(T>(x))

n(MP(x)=(Vx)(->?(%))否定式:量词的分配律1：量词的分配律1：(3x)(P(x)V(2(x))o(3x)P(x)V(3x)(2(x)量词的分配律2：(Vx)(P(x)Tp)=(Vx)P(x)Tp(这个太多，只举一个例子，意思就是，没有被约束的命题可以被提出来)@量词的分配律3・D里河打分配伴3.1(我)0y)(p(幻八Q(x))=0x)p(%)八0x)Q(x)⑤VxP(x)=>P(%o)=>3%oP(x。)其中最重要的是①和⑤。这些公式仔细看一遍大概都能理解。①可以这样理解：“不存在”等价于“所有都不”；“不是所有”等价于“有的不是，①给出了全称量词和特称量词相互之间的关系⑤可以这样理解：特殊值成立是恒成立的必要条件，是存在的充分条件理解起来大概就是：我恒成立了，我当然对其中一个成立咯：我都找到一个符合条件的了，就仃定是存在的了。(所以说，恒成立是最强的命题，而存在是最弱的命题)〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃//〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃/〃〃/〃//〃〃/〃〃〃//〃〃〃〃〃/〃〃/〃〃〃〃〃〃〃前面我们提到了缩记法，缩记法不仅仅减少式子的复杂度，事实上还能减少我们对式子的运算难度。比如说：①命题1:所有的XE4都满足P(x)这个命题写为：(W0Ge4tP(x))缩记为：(Vx€A)PM这时我们求它的否命题:否定律得：-i(Vx)(xE4tP(x))=(Bx)-i(-i%G4VP(x))德摩根律得：0x)(x八「P(x))可缩记为：(3x64)iP(x)也就是有(重要公式)：-i(VxGA)P(x)=(BxeA)-1P(x)采用缩记法的话，命题的否定形式更为直观，更加符合自然语言的用法:“不是所有的atE〃都满足P(M”与“存在xEA不满足P(x)”等价②同样有：-i(3xeA)PM«(Vxei4)iPW也就是：“不存在XEA满足P(X)”等价于“所有的XCA都不满足P(X)”不过唯一量词没有这样的性质，大家可以自己算一下。/〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃〃//〃〃〃/〃〃〃////〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃〃〃〃/////〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃/〃/〃/〃〃/〃〃//7、逻辑与集合的关系(这里只提朴素集合论)为了研究的方便，数学家引入了“集合”的概念，使得逻辑更加直观，简练。(具体有什么好处我就不说了)什么是集合呢？简单地说，就是一个“袋子”，这个袋子有两重含义：①满足某个性质的所有物体都被扔进了这个袋子里②这个袋子里的所有物体都满足同一个性质事实上，集合就是代替了一个谓词的作用，比如一个集合力=卜管(翼)}的内在含义便是：Vx(x64<->P(x))(注意要有论域，不然就会出现悖论)我们可以根据性质去构造一个集合，当然也可以直接把集合的元素列举出来，这是集合的表示法，翻开必修一，有更详细的说明。〃/〃/〃〃///〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃/〃//〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃(事实上有了集合的概念，逻辑的表达能力上升了一个等级，比如我要一个自然数的集合，我们可以这样去定义：N={n|n=0V(3thEN)(n=m+1)}这个集合是由递归的方法去定义的：由oeN,得到1eN由1eN.得到2eN而这样的定义直接用谓词是不行的。)/〃〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃/〃//〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃//〃/〃〃〃〃//〃〃〃〃/〃〃〃//〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃/〃〃//我们去理解逻辑的时候，