2023年高考复习数列求通项题型解析

一、数列求通项（法、法）必备秘籍1对于数列，前项和记为；①；②②：使用法注意两步：①②法归类角度1：已知与的关系；或与的关系用，得到例子：已知，求角度2：已知与的关系；或与的关系替换题目中的例子：已知，，求；已知首项为1的数列的前项和为，且．求数列的通项公式；角度3：已知等式中左侧含有：作差法（类似）例子：已知求记得检验n=1时数列满足．求2对于数列，前项积记为；①；②①②：法归类角度1：已知和的关系角度1：用，得到例子：的前项之积.角度2：已知和的关系角度1：用替换题目中例子：已知数列的前n项积为，且.法：角度2：将题意中的用替换例题1．已知首项为1的数列的前项和为，且．求数列的通项公式；由由思路点拨：根据题意：，已知与的关系，用替换题目中的由约分，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，当时，，又当时，也满足上式，所以解答过程化简再用作差法感悟升华（核心秘籍）1、已知与，使用法时，用替换作为核心秘籍记忆；2、当遇到，使用法时，用替换作为核心秘籍记忆；【答案】依题意，，故，因为，所以，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，．当时，，又当n＝1时，也满足上式，所以．法：角度2：已知和的关系例题2．已知数列的前项积为，且.求数列的通项公式；①①当时，思路点拨：根据题意：，已知和的关系，用替换题目中②当时，∴代入已知条件，得即解答过程下结论∴∴，∴是以3为首项，2为公差的等差数列，∴，【答案】，当时，当时，∴由得即∴∴是以3为首项，2为公差的等差数列，∴，练习1、（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；（2）∴2、（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【解析】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．3．已知数列的前项和为，各项均为正数的数列的前项积为，且，，.(1)求的通项公式；(2)证明：为等比数列.【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：当时，，，当时，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；(2)证明：，，当时，，则，由于，则，所以数列是等比数列.二、数列求通项（累加法、累乘法）必备秘籍一、累加法（叠加法）若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：=整理得：=二、累乘法（叠乘法）若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：整理得：例题：在数列中，，求数列的通项公式；【答案】依题意，，即，所以当时当时也满足上式，所以三、数列求通项（隔项等差（等比）数列）必备秘籍1、隔项等差数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；2、隔项等比数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：①构成以为首项的等比数列，公比为；②构成以为首项的等比数列，公比为；例题1．，，求的通项公式；思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列解答过程：由，可推出，两式作差（）所以是隔项等差数列：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；下结论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：为第项：综上：无论为奇数还是偶数：.核心秘籍核心秘籍对于本例中作为一个模型直接记忆，考试遇到判断为隔项等差数列.便于快速求解特别注意分奇偶时，判断是第几项【答案】(1)因为所以，两式相减得，所以是隔项等差数列，且，所以为奇数，为偶数，所以.

例题2．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列解答过程：由，可推出，及两式作差∵，∴.所以是隔项等差数列：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；下结论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：为第项：综上：无论为奇数还是偶数：.【答案】由题意得，，则，两式相减得，∵，∴.∵，∴当，，又，∴，∴当时，.综上，.角度2：隔项等比数列例题3．已知数列满足，，.求数列的通项公式；思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，可推出，两式作商，判断为隔项等比数列解答过程：由，可推出，两式作商所以是隔项等比数列：①构成以为首项的等比数列，公比为；②构成以为首项的等比数列，公比为；下结论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：为第项：综上：.核心秘籍核心秘籍对于本例中作为一个模型直接记忆，考试遇到判断为隔项等比数列.便于快速求解特别注意分奇偶时，判断是第几项【答案】(1)解：由题意，当时，，可得，因为，可得，所以，，所以数列的奇数项和偶数项都是公比为的等比数列.所以当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则.因此，.练习：1．已知数列满足，．求数列的通项公式；【答案】；依题意，，由得：，则当n为奇数，时，，满足上式，当n为偶数，时，，满足上式，即当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以．2.若数列，，，求数列的通项公式.答案当是奇数时：，整理得；当是偶数时：，整理得解：因为，所以，两式相除：，所以是隔项等比数列；构成以为首项的等比数列，公比为；构成以为首项的等比数列，公比为；当是奇数时：，整理得当是偶数时：，整理得四、数列求通项（构造法、倒数法）必备秘籍1.构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.标准模型：（为常数，）或（为常数，）例：在数列中，，且.证明：为等比数列，并求的通项公式；类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.例：设数列满足：.求数列的通项公式.（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.例：已知正项数列中，，，求数列的通项公式．（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.例：已知数列中，，.求数列的通项公式；2.倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.例：已知数列中，，，求的通项公式.类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）例：已知数列的通项公式为，，求数列的通项公式.二、典型例题例题1．在数列中，，且.证明：为等比数列，并求的通项公式；思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，符合构造法的标准模型（类型2），左右两边同时加：“”解答过程：两边同时加“”：所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.感悟升华（核心秘籍）1、使用构造法模型的标准（类型1）：标准模型：（为常数，）或（为常数，）其中“待定系数”，作为核心模型直接记忆【答案】(1)证明见解析，解：因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.例题2．设数列满足：.求数列的通项公式.思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，符合构造法的标准模型（类型2）左右两边同时除：“”解答过程：左右两边同时除：“”：由数列是首项、公差为的等差数列，即感悟升华（核心秘籍）1、使用构造法模型的标准（类型2）：①②③注意对比例题2,3,4的技巧【答案】.由知：，而，∴数列是首项、公差为的等差数列，即，∴.例题3．已知正项数列中，，，求数列{an}的通项公式．思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，符合构造法的标准模型（类型2）左右两边同时除：“”解答过程：左右两边同时除：“”：由令，则原式变为：为方便求解过程，换元判断模型，使用待定系数法两边同时加“”，即，所以数列是等比数列，其首项为，公比为所以，即，所以，【答案】.在递推公式的两边同时除以，得＝×＋，①令，则①式变为，即，所以数列是等比数列，其首项为，公比为，所以，即所以，例题4．已知数列中，，.求数列的通项公式；思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，符合构造法的标准模型（类型2）左右两边同时除：“”解答过程：左右两边同时除：“”：由所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；【答案】；因为，令，则，又，所以.对两边同时除以，得，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；例题5．已知数列中，，，求的通项公式.思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，符合倒数法的标准模型（类型1），两边同时取倒数解答过程：两边同时取倒数：，即所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；感悟升华（核心秘籍）1、使用倒数法模型的标准：（类型1），此类型取倒数化简后，从而构造出新的等差数列【答案】.，两边取倒数得，即，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；例题6．已知数列的通项公式为，求数列的通项公式.为方便解答，可换元为方便解答，可换元思路点拨：根据题意：，符合倒数法的标准模型（类型2），两边同时取倒数解答过程：两边同时取倒数：，即令，原式化简为：判断模型，可用构造法两边同时加“”所以数列是以为首项，为公比的等比数；感悟升华（核心秘籍）1、使用倒数法模型的标准：（类型2）形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形