2022-2023学年人教版九年级数学专题《待定系数法求二次函数解析式》含答案解析

专题二次函数待定系数法求二次函数解析式一、填空题1．（2022·广西·平果市教研室九年级期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，现将抛物线向右平移，记平移后的抛物线顶点为，当点恰好落在y轴上时，平移后的抛物线解析式为______．【答案】【分析】首先求出m的值，再求出k的值，最后根据平移规律即可求出平移后的解析式．【详解】解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，∴把点A，B分别代入解析式中得：，，∴，即，∴，∴，把代入中得，∴函数解析式为：，当向右平移2个单位，点恰好落在y轴上，此时抛物线的解析式为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数图像的几何变换，解题的关键是求出m和k的值，此题难度不大．2．（2021·新疆医科大学子女学校九年级期末）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间（包含端点），有下列结论：①；②；③；④当时，；⑤．其中正确的序号是______．【答案】②④⑤【分析】根据图像开口向下，点，顶点坐标为，可确定，抛物线与x轴的另一个交点为，，可判断②④正确，①③错误；利用数形结合思想，可以判断④正确；设抛物线为，结合抛物线与轴的交点在，之间（包含端点），建立不等式组为，确定a的取值范围，根据顶点坐标公式，得，变形，从而得到关于n的不等式组，求解后，可以判断⑤正确．【详解】因为图像开口向下，点，顶点坐标为，所以，抛物线与x轴的另一个交点为，即，，所以②④正确，①③错误；设抛物线为，因为抛物线与轴的交点在，之间（包含端点），所以，解得，因为，使用，所以，解得，所以⑤正确．故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线的交点式，顶点坐标，函数的性质，数形结合思想，不等式组的解集，熟练掌握抛物线的交点式，对称性，准确求解不等式组的解集是解题的关键．二、解答题3．（2021·新疆医科大学子女学校九年级期末）已知二次函数的图象经过，两点．(1)求b，c的值；(2)二次函数的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由．【答案】(1)(2)有；和【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数表达式得出b、c的方程组，解方程组即可；（2）【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式得：，解得：．（2）解：有，理由如下：由（1）知，抛物线的表达式为，则，故抛物线与x轴有两个公共点，令，解得或8，故公共点坐标为和．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤，正确进行运算．4．（2019·广西河池·九年级期末）综合与探究抛物线与x轴交于两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知．(1)求两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点P，使的内心在x轴上？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）令可得，解之可得；（2）根据，得，可得a的值，即可得抛物线解析式；（3）假设存在点P，使三个内角的角平分线的交点在x轴上，则此时x轴就是的角平分线，从而得知点的对称点在直线上，待定系数法可得直线的解析式，由直线的解析式和抛物线解析式可得点P的坐标．【详解】（1）解：根据题意知，，即，∴，解得：或，∴；（2）∵，∴，∴，∴，代入抛物线得：，∴，∴抛物线解析式为；（3）存在，假设存在点P，使三个内角的角平分线的交点在x轴上，则此时x轴就是的角平分线．∴C点关于x轴的对称点必在直线上．设为，∵，∴，∴直线过，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∵直线与二次函数相交于P点，∴，解得：或，当时，，当时，，即为点A，∴存在一点P，使三个内角的角平分线的交点在x轴上，且点P的坐标为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题，三角形的内心，待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数的性质以及三角形内心的性质是解本题的关键．5．（2022·重庆市武隆区江口中学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线下方抛物线上的任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，求四边形面积的最大值；【答案】(1)(2)【分析】对于（1），把，两点坐标代入抛物线的关系式，得出方程组，求出解，即得出表达式；对于（2），作轴，交直线于点H，求出直线的关系式，表示点P，H的坐标，得出的长，根据平行四边形的面积关于x的函数，再讨论极值即可．【详解】（1）把，两点坐标，得，解得，所以抛物线的函数表达式为；（2）作轴，交直线于点H，令，，∴点．设直线的关系式为，将点，代入得解得，∴直线