高考数学二轮数学思想融会贯-课件2

二、分类讨论思想二、分类讨论思想1高考数学二轮数学思想融会贯-课件22总纲目录应用一

由概念、法则、公式引起的分类讨论应用二由运算、性质引起的分类讨论应用三由参数变化引起的分类讨论应用四由图形位置或形状引起的分类讨论总纲目录应用一

由概念、法则、公式引起的分类讨论应用二3应用一由概念、法则、公式引起的分类讨论例1

(2017江苏,9,5分)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和

为Sn.已知S3=

,S6=

,则a8=

.应用一由概念、法则、公式引起的分类讨论例1

(2014答案32解析设等比数列{an}的公比为q.当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意,∴q≠1,由题设可得

解得

∴a8=a1q7=

×27=32.答案32解析设等比数列{an}的公比为q.5【技法点评】由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论往

往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条

件下结论不一致.如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.【技法点评】由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论往

往是61.已知函数f(x)=

若f(2-a)=1,则f(a)等于

()A.-2

B.-1

C.1

D.21.已知函数f(x)= 若f(2-a)=1,则f(a)等于 7答案

A①当2-a≥2,即a≤0时,22-a-2-1=1,解得a=-1,则f(a)=f(-1)=-log2[3-(-1)]=-2;②当2-a<2,即a>0时,-log2[3-(2-a)]=1,解得a=-

,舍去.综合①②可知,f(a)=-2.答案

A①当2-a≥2,即a≤0时,22-a-2-182.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),则q的取值

范围为

.2.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,9答案(-1,0)∪(0,+∞)解析由{an}是等比数列,Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0.当q=1时,Sn=na1>0;当q≠1时,Sn=

>0,即

>0(n∈N*).则有①

或②

由①得-1<q<1,由②得q>1.故q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).答案(-1,0)∪(0,+∞)解析由{an}是等比数列,10应用二由运算、性质引起的分类讨论例2已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,则

()A.(a-1)(b-1)<0

B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0

D.(b-1)(b-a)>0应用二由运算、性质引起的分类讨论例2已知a,b>0且a≠11答案

D解析∵a,b>0且a≠1,b≠1,∴当a>1,即a-1>0时,不等式logab>1

可化为

>a1,即b>a>1,∴(a-1)(a-b)<0,(b-1)(a-1)>0,(b-1)(b-a)>0.当0<a<1,即a-1<0时,不等式logab>1可化为

<a1,即0<b<a<1,∴(a-1)(a-b)<0,(b-1)·(a-1)>0,(b-1)(b-a)>0.综上可知,选D.答案

D解析∵a,b>0且a≠1,b≠1,∴当a>12【技法点评】1.对于指数、对数型函数问题,应注意对底数是

否大于1进行讨论,进而确定函数的单调性.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引起的.比如除以一个数

时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数

是零、是正数、还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的

讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中

等价变形引发的讨论等.【技法点评】1.对于指数、对数型函数问题,应注意对底数是

133.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[-1,2]上的最大值为4,最小值为

m,且函数g(x)=(1-4m)

在区间[0,+∞)上是增函数,则a=

.3.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[-1,2]14答案

解析若a>1,则a2=4,a-1=m,此时a=2,m=

,此时g(x)=-

在[0,+∞)上为减函数,不合题意.若0<a<1,有a-1=4,a2=m,故a=

,m=

,此时g(x)=

在[0,+∞)上为增函数,符合题意.综上可知,a=

.答案

 解析若a>1,则a2=4,a-1=m,此时154.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,a=2bcosB,b≠c.(1)求证:A=2B;(2)若a2+c2=b2+2acsinC,求A.4.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,a16解析(1)证明:∵a=2bcosB,且

=

,∴sinA=2sinBcosB=sin2B,∵0<A<π,0<B<π,∴sinA=sin2B>0,∴0<2B<π,∴A=2B或A+2B=π.若A+2B=π,则B=C,b=c,这与“b≠c”矛盾,∴A+2B≠π,∴A=2B.(2)∵a2+c2=b2+2acsinC,解析(1)证明:∵a=2bcosB,且 = ,17∴

=sinC,由余弦定理得cosB=sinC,∵0<B<π,0<C<π,∴C=

-B或C=

+B.①当C=

-B时,由A=2B且A+B+C=π,得A=

,B=C=

,这与“b≠c”矛盾,∴A≠

;②当C=

+B时,由A=2B且A+B+C=π,得A=

,B=

,C=

,∴A=

.∴ =sinC,18应用三由参数变化引起的分类讨论例3

(2018北京,18节选)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.若f(x)

在x=2处取得极小值,求a的取值范围.应用三由参数变化引起的分类讨论例3

(2018北京,19解析因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.若a>

,则当x∈

时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a≤

,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤

x-1<0,所以f'(x)>0,所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是

.解析因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex20【技法点评】若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的

意义及对结果的影响进行分类讨论,此种题目为含参型,应全面分

析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适

当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确,不重不漏.【技法点评】若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的

意215.已知函数f(x)=mx2-x+lnx,若在函数f(x)的定义域内存在区间D,使

得该函数在区间D上为减函数,则实数m的取值范围为

.5.已知函数f(x)=mx2-x+lnx,若在函数f(x)22答案

解析由题意知f'(x)=2mx-1+

=

,x>0,即2mx2-x+1<0在(0,+∞)上有解.当m≤0时显然成立;当m>0时,由于函数y=2mx2-x+1的图象的对称轴为x=

>0,故只需Δ>0,即1-8m>0,故m<

.综上所述,m<

,故实数m的取值范围为

.答案

 解析由题意知f'(x)=2mx-1+ =236.(2017课标全国Ⅰ,21改编)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.讨论f(x)的

单调性.6.(2017课标全国Ⅰ,21改编)已知函数f(x)=ex(24解析函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex

-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增.②若a>0,则由f'(x)=0得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.③若a<0,则由f'(x)=0得x=ln

.当x∈

时,f'(x)<0;解析函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=25当x∈

时,f'(x)>0.故f(x)在

上单调递减,在

上单调递增.当x∈ 时,f'(x)>0.26应用四由图形位置或形状引起的分类讨论例4

(2018课标全国Ⅰ,19,12分)设椭圆C:

+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.应用四由图形位置或形状引起的分类讨论例4

(201827解析(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点A的坐标为

或

.又M(2,0),所以AM的方程为y=-

x+

或y=

x-

.(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<

,x2<

,直线MA,MB的斜率之和为解析(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,28kMA+kMB=

+

.由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=

.将y=k(x-1)代入

+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=

,x1x2=

.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=

=0,从而kMA+kMB=0,kMA+kMB= + .29故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.故MA,MB的倾斜角互补,30【技法点评】对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分

类整合法,这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关

系,以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究.破解此类题的

关键点:①确定特征,一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定.②分类,根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类.③得出结论,将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理.【技法点评】对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分

类整317.正三棱柱的侧面展开图是长和宽分别为6和4的矩形,则它的体

积为

()A.

B.4

C.

D.4

或

7.正三棱柱的侧面展开图是长和宽分别为6和4的矩形,则它的体32答案

D当正三棱柱的高为4时,体积V=2×

×

×4=4

;当正三棱柱的高为6时,体积V=

×

×

×6=

.答案

D当正三棱柱的高为4时,体积V=2× × ×4338.已知变量x,y满足的不等式组

表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k=

()A.-

B.

C.0

D.-

或08.已知变量x,y满足的不等式组 表示的是一个直角三34答案

D作出不等式组

表示的平面区域,易知当直线y=kx+1与直线x=0或y=2x垂直时平面区域是直角三角形区域.

∴k=0或-

.故选D.

答案

D作出不等式组 表示的平面区域,易知当直35二、分类讨论思想二、分类讨论思想36高考数学二轮数学思想融会贯-课件237总纲目录应用一

由概念、法则、公式引起的分类讨论应用二由运算、性质引起的分类讨论应用三由参数变化引起的分类讨论应用四由图形位置或形状引起的分类讨论总纲目录应用一

由概念、法则、公式引起的分类讨论应用二38应用一由概念、法则、公式引起的分类讨论例1

(2017江苏,9,5分)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和

为Sn.已知S3=

,S6=

,则a8=

.应用一由概念、法则、公式引起的分类讨论例1

(20139答案32解析设等比数列{an}的公比为q.当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意,∴q≠1,由题设可得

解得

∴a8=a1q7=

×27=32.答案32解析设等比数列{an}的公比为q.40【技法点评】由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论往

往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条

件下结论不一致.如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.【技法点评】由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论往

往是411.已知函数f(x)=

若f(2-a)=1,则f(a)等于

()A.-2

B.-1

C.1

D.21.已知函数f(x)= 若f(2-a)=1,则f(a)等于 42答案

A①当2-a≥2,即a≤0时,22-a-2-1=1,解得a=-1,则f(a)=f(-1)=-log2[3-(-1)]=-2;②当2-a<2,即a>0时,-log2[3-(2-a)]=1,解得a=-

,舍去.综合①②可知,f(a)=-2.答案

A①当2-a≥2,即a≤0时,22-a-2-1432.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),则q的取值

范围为

.2.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,44答案(-1,0)∪(0,+∞)解析由{an}是等比数列,Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0.当q=1时,Sn=na1>0;当q≠1时,Sn=

>0,即

>0(n∈N*).则有①

或②

由①得-1<q<1,由②得q>1.故q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).答案(-1,0)∪(0,+∞)解析由{an}是等比数列,45应用二由运算、性质引起的分类讨论例2已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,则

()A.(a-1)(b-1)<0

B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0

D.(b-1)(b-a)>0应用二由运算、性质引起的分类讨论例2已知a,b>0且a≠46答案

D解析∵a,b>0且a≠1,b≠1,∴当a>1,即a-1>0时,不等式logab>1

可化为

>a1,即b>a>1,∴(a-1)(a-b)<0,(b-1)(a-1)>0,(b-1)(b-a)>0.当0<a<1,即a-1<0时,不等式logab>1可化为

<a1,即0<b<a<1,∴(a-1)(a-b)<0,(b-1)·(a-1)>0,(b-1)(b-a)>0.综上可知,选D.答案

D解析∵a,b>0且a≠1,b≠1,∴当a>47【技法点评】1.对于指数、对数型函数问题,应注意对底数是

否大于1进行讨论,进而确定函数的单调性.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引起的.比如除以一个数

时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数

是零、是正数、还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的

讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中

等价变形引发的讨论等.【技法点评】1.对于指数、对数型函数问题,应注意对底数是

483.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[-1,2]上的最大值为4,最小值为

m,且函数g(x)=(1-4m)

在区间[0,+∞)上是增函数,则a=

.3.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[-1,2]49答案

解析若a>1,则a2=4,a-1=m,此时a=2,m=

,此时g(x)=-

在[0,+∞)上为减函数,不合题意.若0<a<1,有a-1=4,a2=m,故a=

,m=

,此时g(x)=

在[0,+∞)上为增函数,符合题意.综上可知,a=

.答案

 解析若a>1,则a2=4,a-1=m,此时504.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,a=2bcosB,b≠c.(1)求证:A=2B;(2)若a2+c2=b2+2acsinC,求A.4.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,a51解析(1)证明:∵a=2bcosB,且

=

,∴sinA=2sinBcosB=sin2B,∵0<A<π,0<B<π,∴sinA=sin2B>0,∴0<2B<π,∴A=2B或A+2B=π.若A+2B=π,则B=C,b=c,这与“b≠c”矛盾,∴A+2B≠π,∴A=2B.(2)∵a2+c2=b2+2acsinC,解析(1)证明:∵a=2bcosB,且 = ,52∴

=sinC,由余弦定理得cosB=sinC,∵0<B<π,0<C<π,∴C=

-B或C=

+B.①当C=

-B时,由A=2B且A+B+C=π,得A=

,B=C=

,这与“b≠c”矛盾,∴A≠

;②当C=

+B时,由A=2B且A+B+C=π,得A=

,B=

,C=

,∴A=

.∴ =sinC,53应用三由参数变化引起的分类讨论例3

(2018北京,18节选)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.若f(x)

在x=2处取得极小值,求a的取值范围.应用三由参数变化引起的分类讨论例3

(2018北京,54解析因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.若a>

,则当x∈

时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a≤

,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤

x-1<0,所以f'(x)>0,所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是

.解析因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex55【技法点评】若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的

意义及对结果的影响进行分类讨论,此种题目为含参型,应全面分

析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适

当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确,不重不漏.【技法点评】若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的

意565.已知函数f(x)=mx2-x+lnx,若在函数f(x)的定义域内存在区间D,使

得该函数在区间D上为减函数,则实数m的取值范围为

.5.已知函数f(x)=mx2-x+lnx,若在函数f(x)57答案

解析由题意知f'(x)=2mx-1+

=

,x>0,即2mx2-x+1<0在(0,+∞)上有解.当m≤0时显然成立;当m>0时,由于函数y=2mx2-x+1的图象的对称轴为x=

>0,故只需Δ>0,即1-8m>0,故m<

.综上所述,m<

,故实数m的取值范围为

.答案

 解析由题意知f'(x)=2mx-1+ =586.(2017课标全国Ⅰ,21改编)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.讨论f(x)的

单调性.6.(2017课标全国Ⅰ,21改编)已知函数f(x)=ex(59解析函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex

-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增.②若a>0,则由f'(x)=0得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.③若a<0,则由f'(x)=0得x=ln

.当x∈

时,f'(x)<0;解析函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=60当x∈

时,f'(x)>0.故f(x)在

上单调递减,在

上单调递增.当x∈ 时,f'(x)>0.61应用四由图形位置或形状引起的分类讨论例4

(2018课标全国Ⅰ,19,12分)设椭圆C:

+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.应用四由图形位置或形状引起的分类讨论例4

(201862解析(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点A的坐标为

或

.又M(2,0),所以AM的方程为y=-

x+

或y=

x-

.(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA